Дроби са обичайни и десетични. Когато ученикът научи за съществуването на последното, той започва да преобразува всичко възможно в десетична форма при всяка възможност, дори ако това не се изисква.
Колкото и да е странно, гимназистите и студентите имат различни предпочитания, защото е по-лесно да се извършват много аритметични операции с обикновени дроби. А стойностите, с които се справят завършилите, понякога е просто невъзможно да се преобразуват в десетична форма без загуба. В резултат и двата вида фракции по един или друг начин са адаптирани към случая и имат своите предимства и недостатъци. Нека видим как да работим с тях.
Определение
Дроби са едни и същи дроби. Ако в един портокал има десет резена и ви е дадена една, значи имате 1/10 от плода в ръката си. С такава нотация, както в предишното изречение, дробът ще се нарича обикновена дроб. Ако напишете същото като 0, 1 е десетична. И двата варианта са равни, но имат своите предимства. Първият вариант е по-удобен при умножаване иделение, второто - за събиране, изваждане и в редица други случаи.
Как да конвертирате дроб в друга форма
Да предположим, че имате обикновена дроб и искате да я преобразувате в десетична. Какво трябва да се направи за това?
Между другото, трябва предварително да решите, че не никое число може да бъде записано в десетична форма без проблеми. Понякога трябва да закръглите резултата, губейки определен брой десетични знака, а в много области - например в точните науки - това е напълно недостъпен лукс. В същото време действията с десетични и обикновени дроби в 5. клас позволяват такова прехвърляне от една форма в друга без намеса, поне като практика.
Ако можете да получите кратно на 10 от знаменателя чрез умножение или разделяне на цяло число, прехвърлянето ще премине без никакви затруднения: ¾ става 0,75, 13/20 става 0,65.
Обратната процедура е още по-лесна, защото от десетична дроб винаги можете да получите обикновена без загуба на точност. Например 0,2 става 1/5, а 0,08 става 4/25.
Вътрешни трансформации
Преди да извършите съвместни действия с обикновени дроби, трябва да подготвите числа за възможни математически операции.
На първо място, трябва да приведете всички дроби в примера в една обща форма. Те трябва да са обикновени или десетични. Нека направим резервация веднага, че е по-удобно да извършвате умножение и деление с първите.
При подготовката на числата за по-нататъшни действия ще ви помогне едно правило, известно като основно свойство на дроб и използвано както в първите години на изучаване на предмета, така и във висшата математика, която се изучава в университетите.
Свойства на дроби
Да предположим, че имате някаква стойност. Да кажем 2/3. Какво се случва, ако умножите числителя и знаменателя по 3? Вземете 6/9. Ами ако е милион? 2000000/3000000. Но изчакайте, защото числото изобщо не се променя качествено - 2/3 остават равни на 2000000/3000000. Променя се само формата, а не съдържанието. Същото се случва, когато и двете части са разделени на една и съща стойност. Това е основното свойство на дроба, което многократно ще ви помогне да извършвате действия с десетични и обикновени дроби на тестове и изпити.
Умножаването на числителя и знаменателя по едно и също число се нарича разширяване на дроби, а деленето се нарича намаляване. Трябва да кажа, че зачеркването на едни и същи числа отгоре и отдолу при умножение и деление на дроби е изненадващо приятна процедура (като част от урок по математика, разбира се). Изглежда, че отговорът е близо и примерът е почти решен.
Неправилни дроби
Неправилна дроб е тази, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя. С други думи, ако от него може да се различи цяла част, тя попада в това определение.
Ако такова число (по-голямо или равно на едно) е представено като обикновена дроб, то ще бъде нареченопогрешно. И ако числителят е по-малък от знаменателя - правилно. И двата вида са еднакво удобни при изпълнението на възможни действия с обикновени дроби. Те могат свободно да се умножават и разделят, събират и изваждат.
Ако в същото време е избрана цяла част и има остатък под формата на дроб, полученото число ще се нарече смесено. В бъдеще ще срещнете различни начини за комбиниране на такива структури с променливи, както и решаване на уравнения, където това знание е необходимо.
Аритметични операции
Ако всичко е ясно с основното свойство на дроб, тогава как да се държим при умножаване на дроби? Действията с обикновени дроби в 5. клас включват всички видове аритметични операции, които се извършват по два различни начина.
Умножението и деленето са много лесни. В първия случай числителите и знаменателите на две дроби просто се умножават. Във втория - същото, само напречно. Така числителят на първата дроб се умножава по знаменателя на втората и обратно.
За да извършите събиране и изваждане, трябва да извършите допълнително действие - да доведете всички компоненти на израза до общ знаменател. Това означава, че долните части на дробите трябва да бъдат променени на една и съща стойност - кратна на двата налични знаменателя. Например за 2 и 5 ще бъде 10. За 3 и 6 - 6. Но тогава какво да правя с върха? Не можем да го оставим както беше, ако сменихме долния. Според основното свойство на дроб, ние умножаваме числителя по същото число,което е знаменателят. Тази операция трябва да се извърши върху всяко от числата, които ще събираме или изваждаме. Въпреки това, такива действия с обикновени дроби в 6-ти клас вече се извършват „на машината“и трудности възникват само в началния етап на изучаване на темата.
Сравнение
Ако две дроби имат еднакъв знаменател, тогава тази с по-голям числител ще бъде по-голяма. Ако горните части са еднакви, тогава тази с по-малкия знаменател ще бъде по-голяма. Трябва да се има предвид, че подобни успешни ситуации за сравнение се случват рядко. Най-вероятно и горната, и долната част на изразите няма да съвпадат. След това трябва да запомните възможните действия с обикновени дроби и да използвате техниката, използвана при събиране и изваждане. Също така не забравяйте, че ако говорим за отрицателни числа, тогава по-голямата част ще бъде по-малка.
Предимства на обикновените дроби
Случва се учителите да казват на децата една фраза, чието съдържание може да се изрази по следния начин: колкото повече информация се дава при формулирането на задачата, толкова по-лесно ще бъде решението. Звучи ли странно? Но наистина: с голям брой известни стойности можете да използвате почти всяка формула, но ако са предоставени само няколко числа, може да са необходими допълнителни разсъждения, ще трябва да запомните и докажете теореми, да дадете аргументи в полза на вашето същество правилно…
За какво правим това? И освен това обикновените дроби, въпреки цялата си тромавост, могат значително да опростят живота.на ученика, което позволява при умножение и деление да се намаляват цели редове от стойности, а при изчисляване на сумата и разликата да се изваждат общи аргументи и отново да се намаляват.
Когато се изисква да се извършват съвместни действия с обикновени и десетични дроби, трансформациите се извършват в полза на първата: как се преобразува 3/17 в десетична форма? Само със загуба на информация, не иначе. Но 0, 1 може да бъде представено като 1/10, а след това като 17/170. И тогава двете получени числа могат да се добавят или изваждат: 30/170 + 17/170=47/170.
Предимствата на десетичните дробове
Ако операциите с обикновени дроби са по-удобни, тогава писането на всичко с тяхна помощ е изключително неудобно, десетичните дроби имат значително предимство тук. Сравнете: 1748/10000 и 0,1748 Това е една и съща стойност, представена в две различни версии. Разбира се, вторият начин е по-лесен!
Освен това десетичните знаци са по-лесни за представяне, тъй като всички данни имат обща база, която се различава само по порядък. Да кажем, че лесно можем да разпознаем 30% отстъпка и дори да я оценим като значителна. Веднага ли ще разберете кое е повече - 30% или 137/379? По този начин десетичните дроби осигуряват стандартизиране на изчисленията.
В гимназията учениците решават квадратни уравнения. Тук вече е изключително проблематично да се извършват действия с обикновени дроби, тъй като формулата за изчисляване на стойностите на променливата съдържа корен квадратен от сумата. При наличието на дроб, която не може да се сведе до десетична дроб, решението става толкова сложно, честава почти невъзможно да се изчисли точният отговор без калкулатор.
Така че всеки начин за представяне на дроби има своите предимства в съответния контекст.
Формуляри за участие
Има два начина за записване на действия с обикновени дроби: през хоризонтална линия, на две „нива“и чрез наклонена черта (известна още като „наклонена черта“) - в ред. Когато ученик пише в тетрадка, първият вариант обикновено е по-удобен и следователно по-често срещан. Разпределението на редица числа в клетки допринася за развитието на внимание при изчисления и трансформации. Когато пишете в низ, можете неволно да объркате реда на действията, да загубите всякакви данни - тоест да направите грешка.
Доста често в наше време има нужда от печат на числа на компютър. Можете да разделяте дроби с традиционна хоризонтална лента, като използвате функция в Microsoft Word 2010 и по-нови версии. Факт е, че в тези версии на софтуера има опция, наречена "формула". Той показва правоъгълно трансформируемо поле, в което можете да комбинирате всякакви математически символи, да съставите както дву-, така и „четириетажни“дроби. В знаменателя и числителя можете да използвате скоби, знаци за операция. В резултат на това ще можете да записвате всякакви съвместни действия с обикновени и десетични дроби в традиционната форма, т.е. както ги учат да правят в училище.
Ако използвате стандартния текстов редактор на Notepad, тогава всичкодробните изрази ще трябва да бъдат записани чрез наклонена черта. За съжаление тук няма друг начин.
Заключение
Така че разгледахме всички основни действия с обикновени дроби, които, както се оказва, не са толкова много.
Ако в началото може да ви се стори, че това е труден раздел от математиката, тогава това е само временно впечатление - не забравяйте, че веднъж сте мислили така за таблицата за умножение, а дори и по-рано - за обичайните тетрадки и броене от едно до десет.
Важно е да се разбере, че дробите се използват навсякъде в ежедневието. Ще се занимавате с пари и инженерни изчисления, информационни технологии и музикална грамотност, и то навсякъде – навсякъде! - ще се появят дробни числа. Затова не бъдете мързеливи и проучете тази тема задълбочено - особено след като не е толкова трудно.
