Още в началното училище учениците се сблъскват с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действията с тези числа. Следователно, трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези понятия са прости, основното е да разберете всичко по ред.
Защо имаме нужда от дроби?
Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно подтиква хората да работят с части от предмети и неща.
Например, шоколадът се състои от няколко филийки. Помислете за ситуацията, когато нейната плочка е оформена от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, ще получите 6 части. Тя ще бъде добре разделена на три. Но на пет не може да се даде цял брой парчета шоколад.
Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до по-сложни числа.
Какво е "фракция"?
Това е число, състоящо се от части от едно. Външно изглежда като две числа, разделени отхоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича дробна. Числото, изписано отгоре (вляво), се нарича числител. Този по-долу (вдясно) е знаменателят.
Всъщност дробната лента се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят може да се нарече делител.
Какви дроби съществуват?
Има само два вида от тях в математиката: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторият учи в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.
Обикновени дроби - всички онези, които се записват като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетичното число е число, в което дробната част има позиционна нотация и се отделя от цялото число със запетая. Например 4, 7. Учениците трябва да им е ясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.
Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична. Това твърдение почти винаги е вярно и в обратната посока. Има правила, които ви позволяват да пишете десетична дроб като обикновена дроб.
Кои подтипове имат тези видове дроби?
По-добре започнете в хронологичен ред, докато се изучават. Обикновените дроби са на първо място. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.
- Правилно. Неговият числител винаги е по-малък от знаменателя.
- Грешно. Нейният числител е по-голям или равен на знаменателя.
- Намаляем/ненамаляем. Тя може да е катоправилно и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят и двете части на дроба, тоест да я намалят.
- Смесено. На обичайната му правилна (неправилна) дробна част се приписва цяло число. И винаги стои отляво.
- Композит. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, съдържа три дробни характеристики наведнъж.
Десетичните дроби имат само два подтипа:
- окончателен, тоест такъв, чиято дробна част е ограничена (има край);
- infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не свършват (те могат да се пишат безкрайно).
Как да преобразуваме десетична в обикновена дроб?
Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциацията, базирана на правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна линия.
Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е единица и някои нули. Последните трябва да бъдат написани толкова, колкото цифрите в дробната част на въпросното число.
Как да преобразуваме десетичните дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест равна на нула? Например 0,9 или 0,05 След като приложите посоченото правило, се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. На първото числознаменателят ще бъде равен на 10, вторият ще има 100. Тоест, посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последният може да бъде намален с 5. Следователно, резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.
Как да направя обикновена дроб от десетична дроб, ако нейната цяла част е различна от нула? Например 5, 23 или 13, 00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория - 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число се появява 23/100, второто - 108/100 000. Втората стойност трябва да бъде намалена отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25 000.
Как да преобразуваме безкраен десетичен знак в обикновена дроб?
Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува в крайна или периодична.
Единственото нещо, което можете да направите с такава дроб, е да я закръглите. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуването в десетичен - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превръщат в обикновени дроби. Това е нещо, което трябва да запомните.
Как да напиша безкрайна периодична дроб като обикновена дроб?
В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат периоди. Например 03(3). Тук "3" в периода. Те са класифицирани като рационални, защото могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби.
Онези, които са се сблъсквали с периодични дроби, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.
Правилото, според което трябва да запишете безкраен десетичен знак като обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да се запишат чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както и при крайните, те трябва да бъдат преобразувани: напишете периода в числителя, а числото 9 ще бъде знаменател, повтаряйки се толкова пъти, колкото има цифри в периода.
Например, 0, (5). Числото няма цяла част, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. Напишете 5 в числителя и 9 в знаменателя. Тоест отговорът ще бъде дроб 5/9.
Правилото как се записва обикновена десетична периодична дроб, която е смесена.
- Пребройте дробните цифри до точката. Те ще посочат броя на нулите в знаменателя.
- Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.
- Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.
- За да определите числителя, трябва да запишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изваждане - без точка.
Например, 0, 5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката еедна цифра. Така че нулата ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест в знаменателя трябва да напишете 90.
За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Оказва се 53. Например, отговорът ще трябва да бъде написан 53/90.
Как конвертирате обикновени дроби в десетични?
Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се отхвърля и се поставя запетая между дробната и целата част.
Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Изисква се само умножение не само за знаменателя, но и за числителя по същото число.
За всички останали случаи е полезно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай може да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.
Действия с обикновени дроби
Сбиране и изваждане
Учениците ги опознават преди другите. И отначало дробите имат едни и същи знаменатели, а след това различни. Общите правила могат да бъдат сведени до този план.
- Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.
- Запишете допълнителни фактори към всички общи дроби.
- Умножете числителите и знаменателите по факторите, определени за тях.
- Добавете (извадете) числителите на дроби и оставете общия знаменател безпромени.
- Ако числителят на минуса е по-малък от изваждането, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.
- В първия случай цялата част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждане.
- Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на minuend от модула на изваждането и поставете знака „-“в отговор.
- Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест разделете числителя на знаменателя.
Умножение и деление
За тяхното изпълнение не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но те все пак трябва да спазват правилата.
- При умножение на обикновени дроби е необходимо да се вземат предвид числата в числители и знаменатели. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.
- Умножете числители.
- Умножете знаменателите.
- Ако резултатът е намалена дроб, тогава се предполага, че ще бъде опростена отново.
- При деление първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втората дроб) с реципрочен (разменете числителя и знаменателя).
- След това продължете както при умножението (започвайки от стъпка 1).
- В задачи, при които трябва да умножите (делите) по цяло число, последнототрябва да се запише като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.
Десетични операции
Сбиране и изваждане
Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте по вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за добавянето и изваждането им ще бъдат абсолютно същите.
- Изравняване на броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.
- Напишете дроби, така че запетаята да е под запетаята.
- Добавяне (изваждане) като естествени числа.
- Премахнете запетаята.
Умножение и деление
Важно е да не добавяте нули тук. Дробите трябва да бъдат оставени, както са дадени в примера. И след това върви по план.
- За умножение напишете дробите една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.
- Умножете като естествени числа.
- Поставете запетая в отговора, като броите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.
- За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: да го направите естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.
- Умножете дивидента по същото число.
- Разделете десетичната запетая на естествено число.
- Поставете запетая в отговора в момента, когато разделянето на цялата част приключи.
Ами ако има и двата вида дроби в един пример?
Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.
Първи начин: представлява обикновени десетични знаци
Подходящо е, ако разделянето или преобразуването води до крайни дроби. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не ви харесва да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.
Втори начин: запишете десетични дроби като обикновени дроби
Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Затова винаги трябва трезво да оценявате задачата и да избирате най-простия метод за решение.
