В средните и гимназиалните ученици изучаваха темата "Дроби". Това понятие обаче е много по-широко от даденото в процеса на обучение. Днес понятието за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли какъвто и да е израз, например умножаване на дроби.
Какво е дроб?
Исторически се случи така, че дробните числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент, обема на правоъгълен паралелепипед, площта на правоъгълник.
Първоначално учениците се запознават с концепцията за споделяне. Например, ако разделите една диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от диня. Тази част от осем се нарича дял.
Акция, равна на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записи като 5/8, 4/5, 2/4 се наричат обикновени дроби. Обикновената дроб се разделя начислител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Дробна лента може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай това означава знак за деление.
Знаменателят представлява на колко равни дяла е разделен обектът; а числителят е колко равни дяла са взети. Числителят е изписан над дробната черта, знаменателят е написан под него.
Най-удобно е да се показват обикновени дроби върху координатния лъч. Ако един сегмент е разделен на 4 равни части, всяка част е обозначена с латинска буква, тогава в резултат можете да получите отлична визуална помощ. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия сегмент на единицата, а точка B маркира 2/8 от този сегмент.
Разновидности на дроби
Дроби са обикновени, десетични, а също и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.
Правилната дроб е число, чийто числител е по-малък от знаменателя. Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяла и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробна. Въпреки това, ако трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се превежда внеправилна дроб.
Правилният дробен израз винаги е по-малък от един, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.
Що се отнася до десетичните дроби, този израз се разбира като запис, в който е представено произволно число, знаменателят на дробния израз на което може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробът е правилен, тогава цялата част в десетичния знак ще бъде нула.
За да напишете десетичен знак, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробната със запетая и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа толкова цифри, колкото има нули в знаменателя.
Пример. Представете дроба 721/1000 в десетичен знак.
Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно
Неправилно е да се записва неправилна дроб в отговора на задачата, така че трябва да се преобразува в смесено число:
- разделете числителя на наличния знаменател;
- в конкретен пример непълното частно е цяло число;
- и остатъкът е числител на дробната част, а знаменателят остава непроменен.
Пример. Преобразуване на неправилна дроб в смесено число: 47/5.
Решение. 47: 5. Частично коефициент е 9, остатък=2. Така че 47/5 =92/5.
Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използватеследния алгоритъм:
- цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
- резултантният продукт се добавя към числителя;
- резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.
Пример. Изразете смесено число като неправилна дроб: 98/10.
Решение. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 е числителят.
Отговор: 98/10.
Умножение на обикновени дроби
Различни алгебрични операции могат да се извършват върху обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножението на дроби с различни знаменатели не се различава от произведението на дробни числа със същите знаменатели.
Случва се, че след като намерите резултата, трябва да намалите дроба. Наложително е полученият израз да се опрости колкото е възможно повече. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.
Пример. Намерете произведението на две общи дроби: ½ и 20/18.
Както можете да видите от примера, след намиране на продукта, получаваме намалена дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4 и резултатът е отговорът 5/9.
Умножение на десетични дроби
Произведение на изкуствотодесетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:
- две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
- трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
- изчислете броя на цифрите след запетаята във всяко от числата;
- в резултата, получен след умножение, трябва да преброите толкова цифри вдясно, колкото се съдържат в сбора в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
- ако има по-малко цифри в продукта, тогава трябва да напишете толкова нули пред тях, за да покриете това число, да поставите запетая и да присвоите цяла част, равна на нула.
Пример. Изчислете произведението на два знака след десетичната запетая: 2, 25 и 3, 6.
Решение.
Умножение на смесени дроби
За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:
- преобразувайте смесени числа в неправилни дроби;
- намерете произведението на числители;
- намерете произведението на знаменателите;
- запишете резултата;
- опростете израза колкото е възможно повече.
Пример. Намерете произведението на 4½ и 62/5.
Умножаване на число по дроб(дроби на число)
В допълнение към намирането на произведението на две дроби, смесени числа, има задачи, при които трябва да умножите естествено число по дроб.
И така, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, ви трябва:
- запишете числото под дроба, така че най-десните цифри да са една над друга;
- намерете продукт въпреки запетая;
- в резултата отделете цялата част от дробната част, като използвате запетая, като броите вдясно броя на знаците, който е след десетичната запетая в дроба.
За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е намалена дроб, трябва да се преобразува.
Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.
Решение. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Отговор: 71/2.
Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали получения резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.
Също така, умножението на дроби важи и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателят непроменен. Ако е необходимо, опростете резултата колкото е възможно повече.
Пример. Да намеряпродуктът на 95/6 и 9.
Решение. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Отговор: 881/2.
Умножете по фактори 10, 100, 1000 или 0, 1; 0,01; 0, 001
Следното правило следва от предишния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя след един.
Пример 1. Намерете произведението на 0, 065 и 1000.
Решение. 0,065 x 1000=0065=65.
Отговор: 65.
Пример 2. Намерете произведението на 3, 9 и 1000.
Решение. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Отговор: 3900.
Ако трябва да умножите естествено число и 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво в получения продукт с толкова цифри, колкото има нули преди единица. Ако е необходимо, пред естественото число се записват достатъчен брой нули.
Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0, 01.
Решение. 56 x 0,01=0056=0,56.
Отговор: 0, 56.
Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0, 001.
Решение. 4 x 0,001=0004=0,004.
Отговор: 0, 004.
Така че намирането на произведението на различни дроби не трябва да е трудно, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.
