Решаването на уравнения в математиката има специално място. Този процес се предшества от много часове изучаване на теорията, по време на които ученикът се научава как да решава уравнения, да определя тяхната форма и да довежда умението до пълен автоматизъм. Търсенето на корени обаче не винаги има смисъл, тъй като те може просто да не съществуват. Има специални методи за намиране на корени. В тази статия ще анализираме основните функции, техния обхват, както и случаите, когато техните корени отсъстват.
Кое уравнение няма корени?
Уравнението няма корени, ако няма такива реални аргументи x, за които уравнението е идентично вярно. За неспециалист тази формулировка, както повечето математически теореми и формули, изглежда много неясна и абстрактна, но това е на теория. На практика всичко става изключително просто. Например: уравнението 0x=-53 няма решение, тъй като няма такова число x, чието произведение с нула би дало нещо различно от нула.
Сега ще разгледаме най-основните типове уравнения.
1. Линейно уравнение
Едно уравнение се нарича линейно, ако дясната и лявата му части са представени като линейни функции: ax + b=cx + d или в обобщен вид kx + b=0. Където a, b, c, d са известни числа, а x е неизвестна величина. Кое уравнение няма корени? Примери за линейни уравнения са показани на илюстрацията по-долу.
По принцип линейните уравнения се решават чрез просто преместване на числовата част в едната част и съдържанието на x в другата. Оказва се уравнение от формата mx \u003d n, където m и n са числа, а x е неизвестно. За да намерите x, е достатъчно да разделите двете части на m. Тогава x=n/m. По принцип линейните уравнения имат само един корен, но има случаи, когато има или безкрайно много корени, или изобщо няма. С m=0 и n=0, уравнението приема формата 0x=0. Абсолютно всяко число ще бъде решение на такова уравнение.
Но кое уравнение няма корени?
Когато m=0 и n=0, уравнението няма корени от множеството реални числа. 0x=-1; 0x=200 - тези уравнения нямат корени.
2. Квадратно уравнение
Квадратното уравнение е уравнение от формата ax2 + bx + c=0 за a=0. Най-често срещаният начин за решаване на квадратно уравнение е да се реши чрез дискриминанта. Формулата за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение: D=b2 - 4ac. Тогава има два корена x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Когато D > 0 уравнението има два корена, когато D=0 - един корен. Но кое квадратно уравнение няма корени?Най-лесният начин да наблюдавате броя на корените на квадратното уравнение е върху графиката на функция, която е парабола. При > 0 клоните са насочени нагоре, при < 0 клоните са спуснати надолу. Ако дискриминантът е отрицателен, такова квадратно уравнение няма корени в набора от реални числа.
Можете също така визуално да определите броя на корените, без да изчислявате дискриминанта. За да направите това, трябва да намерите върха на параболата и да определите в коя посока са насочени клоните. Можете да определите x-координата на даден връх, като използвате формулата: x0 =-b / 2a. В този случай y-координата на върха се намира чрез просто заместване на стойността x0 в оригиналното уравнение.
Квадратното уравнение x2 – 8x + 72=0 няма корени, защото има отрицателен дискриминант D=(–8)2 - 4172=-224. Това означава, че параболата не докосва оста x и функцията никога не приема стойност 0, следователно уравнението няма реални корени.
3. Тригонометрични уравнения
Тригонометричните функции се разглеждат върху тригонометричен кръг, но могат да бъдат представени и в декартова координатна система. В тази статия ще разгледаме две основни тригонометрични функции и техните уравнения: sinx и cosx. Тъй като тези функции образуват тригонометричен кръг с радиус 1, |sinx| и |cosx| не може да бъде по-голямо от 1. И така, кое sinx уравнение няма корени? Помислете за графиката на функцията sinx, представена на снимкатапо-долу.
Виждаме, че функцията е симетрична и има период на повторение от 2pi. Въз основа на това можем да кажем, че максималната стойност на тази функция може да бъде 1, а минималната -1. Например изразът cosx=5 няма да има корени, тъй като неговият модул е по-голям от единица.
Това е най-простият пример за тригонометрични уравнения. Всъщност тяхното решение може да отнеме много страници, в края на които разбирате, че сте използвали грешната формула и трябва да започнете отначало. Понякога, дори при правилно намиране на корените, можете да забравите да вземете предвид ограниченията на ODZ, поради което в отговора се появява допълнителен корен или интервал и целият отговор се превръща в грешен. Затова спазвайте стриктно всички ограничения, защото не всички корени се вписват в обхвата на задачата.
4. Системи от уравнения
Система от уравнения е набор от уравнения, комбинирани с къдрави или квадратни скоби. Къдравите скоби означават съвместното изпълнение на всички уравнения. Тоест, ако поне едно от уравненията няма корени или противоречи на другото, цялата система няма решение. Квадратните скоби означават думата "или". Това означава, че ако поне едно от уравненията на системата има решение, тогава цялата система има решение.
Отговорът на системата с квадратни скоби е съвкупността от всички корени на отделните уравнения. А системите с къдрави скоби имат само общи корени. Системите от уравнения могат да включват абсолютно различни функции, така че тази сложност не е такавави позволява незабавно да кажете кое уравнение няма корени.
Обобщение и съвети за намиране на корените на уравнението
В задачниците и учебниците има различни видове уравнения: тези, които имат корени, и тези, които ги нямат. Първо, ако не можете да намерите корени, не мислете, че те изобщо не съществуват. Може да сте направили грешка някъде, тогава просто проверете отново решението си.
Обхванахме най-основните уравнения и техните типове. Сега можете да кажете кое уравнение няма корени. В повечето случаи това изобщо не е трудно да се направи. За постигане на успех при решаването на уравнения са необходими само внимание и концентрация. Практикувайте повече, това ще ви помогне да се ориентирате в материала много по-добре и по-бързо.
И така, уравнението няма корени, ако:
- в линейното уравнение mx=n стойността m=0 и n=0;
- в квадратно уравнение, ако дискриминантът е по-малък от нула;
- в тригонометрично уравнение от вида cosx=m / sinx=n, ако |m| > 0, |n| > 0;
- в система от уравнения с къдрави скоби, ако поне едно уравнение няма корени, и с квадратни скоби, ако всички уравнения нямат корен.
