В пространството една равнина може да бъде дефинирана по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни форми. Също така при определени условия равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще се научим как да напишем общото уравнение на равнината и не само.
Нормално уравнение
Да кажем, че има пространство R3, което има правоъгълна XYZ координатна система. Нека зададем вектора α, който ще бъде освободен от началната точка O. През края на вектора α ще начертаем равнината П, която ще бъде перпендикулярна на него.
Означете с P произволна точка Q=(x, y, z). Ще подпишем радиус вектора на точка Q с буквата p. В този случай дължината на вектора α е p=IαI и Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
Това е единичен вектор, който сочи странично, точно кактовектор α. α, β и γ са ъглите, които се образуват между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z, съответно. Проекцията на някаква точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, равна на р: (р, Ʋ)=р(р≧0).
Гореното уравнение има смисъл, когато p=0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α=0), която е началото, а единичният вектор Ʋ, освободен от точка O, ще бъде перпендикулярен на P, независимо от неговата посока, което означава, че векторът Ʋ се определя от знак-точно. Предишното уравнение е уравнението на нашата P равнина, изразено във векторна форма. Но в координати ще изглежда така:
Р тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнината в пространството в нормална форма.
Общо уравнение
Ако умножим уравнението в координати по произволно число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото, което дефинира същата равнина. Ще изглежда така:
Тук A, B, C са числа, които са различни от нула по едно и също време. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.
Уравнения на равнините. Специални случаи
Уравнението в общ вид може да бъде модифицирано при наличие на допълнителни условия. Нека да разгледаме някои от тях.
Да приемем, че коефициентът A е равен на 0. Това означава, че дадената равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Ву+Cz+D=0.
По подобен начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:
- Първо, ако B=0, тогава уравнението ще се промени на Ax+Cz+D=0, което ще покаже паралелизъм на оста Oy.
- На второ място, ако С=0, тогава уравнението ще се трансформира в Ах+Ву+D=0, което ще покаже успоредност на дадената ос Oz.
- Трето, ако D=0, уравнението ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което означава, че равнината пресича O (началото).
- Четвърто, ако A=B=0, тогава уравнението ще се промени на Cz+D=0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
- Пето, ако B=C=0, тогава уравнението става Ax+D=0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
- Шесто, ако A=C=0, тогава уравнението ще приеме формата Ву+D=0, тоест ще докладва паралелизъм на Oxz.
Преглед на уравнението в сегменти
В случай, когато числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:
x/a + y/b + z/c=1, където a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
В резултат получаваме уравнението на равнината в сегменти. Струва си да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) и Oz - (0, 0, c).
Като се вземе предвид уравнението x/a + y/b + z/c=1, е лесно да се визуализира разположението на равнината спрямо дадена координатна система.
Координати на нормалния вектор
Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициентите на общото уравнение на тази равнина, тоест n(A, B, C).
За да се определят координатите на нормалното n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.
При използване на уравнението в сегменти, което има формата x/a + y/b + z/c=1, както и когато използвате общото уравнение, можете да запишете координатите на всеки нормален вектор на a дадена равнина: (1/a + 1 /b + 1/c).
Заслужава да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните са проблеми, които се състоят в доказване на перпендикулярност или успоредност на равнините, проблеми при намиране на ъгли между равнините или ъгли между равнини и прави.
Изглед на уравнението на равнината според координатите на точката и нормалния вектор
Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.
Да приемем, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) Oxyz са дадени:
- точка Mₒ с координати (xₒ, yₒ, zₒ);
- нулев вектор n=Ai+Bj+Ck.
Трябва да направите уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ, перпендикулярна на нормата n.
В пространството избираме произволна точка и я означаваме с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x, y, z) е r=xi+yj+zk, а радиус векторът на точка Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) е rₒ=xₒ i+yₒ j+zₒk. Точката M ще принадлежи на дадена равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектора n. Записваме условието за ортогоналност, използвайки скаларното произведение:
[MₒM, n]=0.
Тъй като MₒM=r–rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:
[r – rₒ, n]=0.
Това уравнение може да има друг вид. За да направите това, се използват свойствата на скаларния продукт и лявата страна на уравнението се трансформира. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Ако [rₒ, n] се обозначи като c, тогава ще се получи следното уравнение: [r, n] - c \u003d 0 или [r, n] u003d c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус векторите на дадени точки, които принадлежат на равнината.
Сега можем да получим координатната форма на векторното уравнение на нашата равнина [r – rₒ, n]=0. Тъй като r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k и n=Ai+Bj+Ck, имаме:
Оказва се, че имаме уравнение за равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормалното n:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Изглед на уравнението на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеален на равнината
Нека зададем две произволни точки M' (x', y', z') и M″ (x″, y″, z″), както и вектора a (a', a″, a ‴).
Сега можем да формулираме уравнение за дадена равнина, която ще минава през наличните точки M' и M″, както и всяка точка M с координати (x, y, z), успоредни на дадения вектор a.
Векторите M'M={x-x';y-y';z-z'} и M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' } трябва да бъде компланарен с вектора a=(a', a″, a‴), което означава, че (M'M, M″M, a)=0.
И така, нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:
Изглед на уравнението на равнина, пресичаща три точки
Да предположим, че имаме три точки: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), които не принадлежат на същото направо. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, само че тя е единствена и неподражаема. Тъй като тази равнина пресича точката (x', y', z'), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:
Тук A, B, C са различни от нула едновременно. Също така, дадената равнина пресича още две точки: (x″, y″, z″) и (x‴, y‴, z‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:
Сега можем да съставим хомогенна система от уравнения (линейна) с неизвестни u, v, w:
В нашия случай x, y или z е произволна точка, която удовлетворява уравнение (1). Като се има предвид уравнение (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, показана на фигурата по-горе, удовлетворява вектора N (A, B, C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.
Уравнение (1), което получихме, това е уравнението на равнината. Преминава точно през 3 точки и това е лесно да се провери. За това имате нуждаразширете нашия детерминант върху елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминанта следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално дадени точки (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴). Тоест, ние сме решили поставената пред нас задача.
Диедричен ъгъл между равнините
Двугранният ъгъл е пространствена геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които произлизат от една права линия. С други думи, това е частта от пространството, която е ограничена от тези полуравнини.
Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:
Знаем, че векторите N=(A, B, C) и N¹=(A¹, B¹, C¹) са перпендикулярни според дадените равнини. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (диедър), който е между тези равнини. Скаларното произведение има формата:
NN¹=|N||N¹|cos φ, само защото
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))
Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≦φ≦π.
Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два (диедрични) ъгъла: φ1 и φ2. Тяхната сума е равна на π (φ1+ φ2=π). Що се отнася до техните косинуси, абсолютните им стойности са равни, но се различават по знаци, тоест cosφ1=-cos φ2. Ако в уравнение (0) заменим A, B и C с числата -A, -B и -C, съответно, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият ъгъл φ в уравнението cos φ=NN1/|N||N1| ще бъде заменен с π-φ.
Уравнение на перпендикулярна равнина
Перпендикулярни се наричат равнини, между които ъгълът е 90 градуса. Използвайки материала, описан по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да кажем, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ=0. Това означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Уравнение на успоредна равнина
Успоредни са две равнини, които не съдържат общи точки.
Условието за паралелизъм на равнините (техните уравнения са същите като в предишния параграф) е, че векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, са колинеарни. Това означава, че са изпълнени следните условия за пропорционалност:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Ако условията за пропорционалност са разширени - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, това показва, че тези равнини са еднакви. Това означава, че уравненията Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.
Разстояние до самолета от точка
Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Трябва да намерим разстоянието до него от точкатас координати (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:
(ρ, v)=p (p≧0).
В този случай ρ (x, y, z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра P, който е освободен от нулевата точка, v е единичен вектор, който е разположен към a.
Разлика ρ-ρº на радиус вектора на точка Q=(x, y, z), принадлежаща на P, както и радиус вектор на дадена точка Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) е такъв вектор, абсолютната стойност на проекцията на който върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) до P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, но
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=р–(ρ0, v).
Така се оказва, d=|(ρ0, v)-p|.
Сега е ясно, че за да изчислите разстоянието d от Q0 до равнината P, трябва да използвате нормалната форма на уравнението на равнината, докато преместване на p на лявата страна и на последното вместо x, y, z заместете (xₒ, yₒ, zₒ).
По този начин ще намерим абсолютната стойност на получения израз, тоест желаното d.
Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Ако дадената точка Q0 е от другата страна на равнината P, както и началото, тогава между вектора ρ-ρ0 и v е тъп ъгъл, следователно:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
В случай, когато точката Q0 заедно с началото се намира от една и съща страна на P, тогава създаденият ъгъл е остър, тоест:
d=(ρ-ρ0, v)=р - (ρ0, v)>0.
В резултат се оказва, че в първия случай (ρ0, v)>r, във втория случай (ρ0, v)<r.
Допирателна равнина и нейното уравнение
Допирателната равнина към повърхността в точката на допирателна Mº е равнината, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.
С тази форма на уравнението на повърхността F(x, y, z)=0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº(xº, yº, zº) ще изглежда така:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fх(хº, yº, zº)(z-zº)=0.
Ако посочите повърхността изрично z=f (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана с уравнението:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Пресичане на две равнини
В триизмерното пространство е разположена координатната система (правоъгълна) Oxyz, дадени са две равнини P' и P″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, разположена в правоъгълна координатна система, се определя от общо уравнение, ще приемем, че P' и P″ са дадени от уравненията A'x+B'y+C'z+D'=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. В този случай имаме нормалата n '(A', B', C') на P' равнината и нормалата n ″ (A ″, B ″, C ″) на равнината P ″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тезивекторите не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие, както следва: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. Нека правата, която лежи в пресечната точка на P' и P″, бъде обозначена с буквата a, в този случай a=P' ∩ P″.
a е права линия, състояща се от множеството на всички точки от (общи) равнини П' и П″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на правата a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A'x+B'y+C'z+D'=0 и A″x+B″y+C″z+D″=0 Това означава, че координатите на точката ще бъдат конкретно решение на следната система от уравнения:
В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата линия, която ще действа като пресечна точка на P' и P″, и определете правата линия a в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.
