Планиметрията е клон на геометрията, който изучава свойствата на плоските фигури. Те включват не само добре познати триъгълници, квадрати, правоъгълници, но и прави линии и ъгли. В планиметрията има и такива понятия като ъгли в кръг: централен и вписан. Но какво означават те?
Какъв е централният ъгъл?
За да разберете какво е централен ъгъл, трябва да дефинирате кръг. Кръгът е съвкупност от всички точки, еднакво отдалечени от дадена точка (центъра на окръжността).
Много е важно да го разграничите от кръг. Трябва да се помни, че кръгът е затворена линия, а кръгът е част от равнина, ограничена от нея. Многоъгълник или ъгъл могат да бъдат вписани в кръг.
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността и чиито страни пресичат окръжността в две точки. Дъгата, която ъгълът ограничава от пресечните точки, се нарича дъга, върху която лежи даденият ъгъл.
Разгледайте пример 1.
На снимката ъгълът AOB е централен, тъй като върхът на ъгъла и центъра на окръжността са една точка O. Той лежи върху дъгата AB, която не съдържа точка C.
По какво се различава вписаният ъгъл от централния?
Въпреки това, освен централните, има и вписани ъгли. Каква е разликата между тях? Точно като централния, ъгълът, вписан в окръжност, почива върху определена дъга. Но неговият връх не съвпада с центъра на окръжността, а лежи върху него.
Нека вземем следния пример.
Ъгъл ACB се нарича ъгъл, вписан в окръжност с център в точка O. Точка C принадлежи на окръжността, тоест лежи върху нея. Ъгълът лежи върху дъгата AB.
Какъв е централният ъгъл
За да се справите успешно с проблемите в геометрията, не е достатъчно да можете да правите разлика между вписани и централни ъгли. Като правило, за да ги решите, трябва да знаете точно как да намерите централния ъгъл в кръг и да можете да изчислите стойността му в градуси.
Значи, централният ъгъл е равен на градусната мярка на дъгата, върху която почива.
На снимката ъгълът AOB лежи върху дъгата AB, равна на 66°. Значи ъгълът AOB също е равен на 66°.
По този начин централните ъгли, базирани на равни дъги, са равни.
На фигурата дъгата DC е равна на дъгата AB. Значи ъгъл AOB е равен на ъгъл DOC.
Как да намерим вписан ъгъл
Може да изглежда, че ъгълът, вписан в окръжността, е равен на централния ъгъл,който разчита на същата дъга. Това обаче е груба грешка. Всъщност, дори само да погледнете чертежа и да сравнявате тези ъгли един с друг, можете да видите, че техните градусни мерки ще имат различни стойности. И така, какъв е ъгълът, вписан в окръжността?
Градусната мярка на вписан ъгъл е половината от дъгата, върху която почива, или половината от централния ъгъл, ако разчитат на една и съща дъга.
Нека разгледаме пример. Ъгълът ACB се основава на дъга, равна на 66°.
Значи ъгълът DIA=66°: 2=33°
Нека разгледаме някои последствия от тази теорема.
- Вписаните ъгли, ако са базирани на една и съща дъга, хорда или равни дъги, са равни.
- Ако вписаните ъгли се основават на една и съща хорда, но върховете им лежат от противоположните страни на нея, сумата от градусните мерки на тези ъгли е 180°, тъй като в този случай и двата ъгъла се основават на дъги, общата градусова мярка на която е 360° (цял кръг), 360°: 2=180°
- Ако вписаният ъгъл се основава на диаметъра на дадения кръг, неговата степенна мярка е 90°, тъй като диаметърът обхваща дъга, равна на 180°, 180°: 2=90°
- Ако централният и вписаният ъгъл в окръжността се основават на една и съща дъга или хорда, тогава вписаният ъгъл е равен на половината от централния.
Къде могат да се намерят проблеми по тази тема? Техните видове и решения
Тъй като кръгът и неговите свойства са един от най-важните раздели на геометрията, в частност планиметрията, вписаните и централните ъгли в окръжността са тема, която е широко и подробноучи по училищната програма. Задачите, посветени на техните свойства, се намират в главния държавен изпит (OGE) и единния държавен изпит (USE). Като правило, за да решите тези проблеми, трябва да намерите ъглите на окръжността в градуси.
Ъгли, базирани на една и съща дъга
Този тип задача е може би един от най-лесните, тъй като за да го разрешите, трябва да знаете само две прости свойства: ако двата ъгъла са вписани и се опират на една и съща хорда, те са равни, ако единият от тях е централен, тогава съответният вписан ъгъл е равен на половината от него. Въпреки това, когато ги решавате, трябва да бъдете изключително внимателни: понякога е трудно да се забележи това свойство и учениците, когато решават такива прости задачи, попадат в задънена улица. Помислете за пример.
Проблем 1
Дадена е окръжност с център в точка O. Ъгълът AOB е 54°. Намерете градусната мярка на ъгъла DIA.
Тази задача се решава в една стъпка. Единственото нещо, от което се нуждаете, за да намерите бързо отговора на него, е да забележите, че дъгата, върху която лежат двата ъгъла, е обща. Виждайки това, можете да приложите вече познатото свойство. Ъгъл ACB е половината от ъгъла AOB. Така че
1) AOB=54°: 2=27°.
Отговор: 54°.
Ъгли, базирани на различни дъги на една и съща окръжност
Понякога размерът на дъгата, върху която лежи необходимият ъгъл, не е пряко посочен в условията на задачата. За да го изчислите, трябва да анализирате големината на тези ъгли и да ги сравните с известните свойства на окръжността.
Проблем 2
В окръжност с център O, ъгъл AOCе 120°, а ъгълът AOB е 30°. Намерете ъгъла ВИЕ.
За начало си струва да се каже, че е възможно да се реши този проблем с помощта на свойствата на равнобедрените триъгълници, но това ще изисква повече математически операции. Ето защо тук ще анализираме решението, използвайки свойствата на централните и вписаните ъгли в кръг.
И така, ъгълът AOC лежи върху дъгата AC и е централен, което означава, че дъгата AC е равна на ъгъла AOC.
AC=120°
По същия начин ъгълът AOB лежи върху дъгата AB.
AB=30°.
Знаейки това и градусната мярка на целия кръг (360°), можете лесно да намерите големината на дъгата BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Върхът на ъгъла CAB, точка A, лежи върху окръжността. Следователно ъгълът CAB е вписан и равен на половината от дъгата CB.
CAB ъгъл=210°: 2=110°
Отговор: 110°
Проблеми, базирани на съотношения на дъгата
Някои проблеми изобщо не съдържат данни за ъгли, така че те трябва да се търсят въз основа само на известни теореми и свойства на окръжност.
Проблем 1
Намерете ъгъла, вписан в окръжност, който се поддържа от хорда, равна на радиуса на дадения кръг.
Ако мислено начертаете линии, свързващи краищата на сегмента с центъра на окръжността, ще получите триъгълник. След като го разгледате, можете да видите, че тези линии са радиусите на окръжността, което означава, че всички страни на триъгълника са равни. Знаем, че всички ъгли на равностранен триъгълникса равни на 60°. Следователно дъгата AB, съдържаща върха на триъгълника, е равна на 60°. От тук намираме дъгата AB, на която се основава желаният ъгъл.
AB=360° - 60°=300°
Ъгъл ABC=300°: 2=150°
Отговор: 150°
Проблем 2
В окръжност с център в точка O, дъгите са свързани като 3:7. Намерете по-малкия вписан ъгъл.
За решението, ние означаваме една част като X, тогава една дъга е равна на 3X, а втората, съответно, 7X. Знаейки, че градусната мярка на окръжност е 360°, можем да напишем уравнение.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Според условието трябва да намерите по-малък ъгъл. Очевидно, ако стойността на ъгъла е право пропорционална на дъгата, върху която той лежи, тогава необходимият (по-малък) ъгъл съответства на дъга, равна на 3X.
Така че по-малкият ъгъл е (36°3): 2=108°: 2=54°
Отговор: 54°
Проблем 3
В окръжност, центрирана в точка O, ъгълът AOB е 60°, а дължината на по-малката дъга е 50. Изчислете дължината на по-голямата дъга.
За да изчислите дължината на по-голяма дъга, трябва да направите пропорция - как по-малката дъга се отнася към по-голямата. За да направите това, изчисляваме величината на двете дъги в градуси. По-малката дъга е равна на ъгъла, който лежи върху нея. Градусната му мярка е 60°. По-голямата дъга е равна на разликата между степенната мярка на окръжността (равна е на 360° независимо от други данни) и по-малката дъга.
Голямата дъга е 360° - 60°=300°.
Тъй като 300°: 60°=5, по-голямата дъга е 5 пъти по-малка.
Голяма дъга=505=250
Отговор: 250
Така че, разбира се, има и другиподходи за решаване на подобни проблеми, но всички те по някакъв начин се основават на свойствата на централните и вписаните ъгли, триъгълници и окръжности. За да ги решите успешно, трябва внимателно да проучите чертежа и да го сравните с данните на проблема, както и да можете да приложите теоретичните си знания на практика.
