За да получите обща представа какво е кръг, погледнете пръстен или обръч. Можете също така да вземете кръгла чаша и чаша, да я поставите с главата надолу върху лист хартия и да я кръгнете с молив. При многократно увеличение получената линия ще стане дебела и не съвсем равномерна, а ръбовете й ще бъдат замъглени. Кръгът като геометрична фигура няма такава характеристика като дебелина.
Обиколка: дефиниция и основни средства за описание
Кръгът е затворена крива, състояща се от набор от точки, разположени в една и съща равнина и на еднакво разстояние от центъра на окръжността. В този случай центърът е в същата равнина. По правило се обозначава с буквата O.
Разстоянието от която и да е от точките на окръжността до центъра се нарича радиус и се обозначава с буквата R.
Ако свържете произволни две точки от окръжността, полученият сегмент ще се нарече хорда. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, е диаметърът, обозначен с буквата D. Диаметърът разделя окръжността на две равни дъги и е два пъти по-голяма от дължината на радиуса. Така че D=2R, или R=D/2.
Свойства на акордите
- Ако начертаете хорда през произволни две точки от окръжността и след това начертаете радиус или диаметър, перпендикулярен на последния, тогава този сегмент ще раздели хордата и дъгата, отрязани от нея на две равни части. Обратното също е вярно: ако радиусът (диаметърът) разделя хордата наполовина, тогава тя е перпендикулярна на нея.
- Ако две успоредни хорди са начертани в рамките на една и съща окръжност, тогава дъгите, отрязани от тях, както и затворените между тях, ще бъдат равни.
- Нека начертаем две хорди PR и QS, пресичащи се в окръжност в точка T. Произведението на сегментите на една хорда винаги ще бъде равно на произведението на сегментите на другата хорда, тоест PT x TR=QT x TS.
Обиколка: обща концепция и основни формули
Една от основните характеристики на тази геометрична фигура е обиколката. Формулата се извлича с помощта на стойности като радиус, диаметър и константа "π", отразяващи постоянството на съотношението на обиколката на окръжността към неговия диаметър.
По този начин L=πD или L=2πR, където L е обиколката, D е диаметърът, R е радиусът.
Формулата за обиколката на окръжност може да се разглежда като първоначална формула за намиране на радиуса или диаметъра за дадена окръжност: D=L/π, R=L/2π.
Какво е кръг: основни постулати
1. Права линия и окръжност могат да бъдат разположени в равнина, както следва:
- няма общи точки;
- има една обща точка, докато правата се нарича допирателна: ако начертаете радиус през центъра и точкатадокосване, ще бъде перпендикулярно на допирателната;
- има две общи точки, докато правата се нарича секанс.
2. През три произволни точки, лежащи в една и съща равнина, може да се начертае най-много една окръжност.
3. Два кръга могат да се докосват само в една точка, която се намира на сегмента, свързващ центровете на тези кръгове.
4. При всяко завъртане около центъра, кръгът се превръща в себе си.
5. Какво е кръг по отношение на симетрия?
- една и съща кривина на линията във всяка точка;
- централна симетрия около точка O;
- огледална симетрия относно диаметъра.
6. Ако построите два произволни вписани ъгъла на базата на една и съща кръгова дъга, те ще бъдат равни. Ъгълът, базиран на дъга, равна на половината от обиколката на окръжността, тоест отсечена с диаметър на хорда, винаги е 90 °.
7. Ако сравним затворени извити линии със същата дължина, тогава се оказва, че кръгът ограничава сечението на равнината на най-голямата площ.
Кръг, вписан в триъгълник и описан около него
Идеята за това какво представлява кръгът ще бъде непълна без описание на връзката между тази геометрична фигура и триъгълници.
- При конструиране на окръжност, вписана в триъгълник, нейният център винаги ще съвпада с точката на пресичане на ъглите на ъглите на триъгълника.
- Центърът на описания триъгълник се намира в пресечната точкасредни перпендикуляри към всяка страна на триъгълника.
- Ако опишете кръг около правоъгълен триъгълник, тогава неговият център ще бъде в средата на хипотенузата, тоест последната ще бъде диаметърът.
- Центровете на вписаната и описаната окръжност ще бъдат в една и съща точка, ако основата за конструкцията е равностранен триъгълник.
Основни твърдения за кръга и четириъгълника
- Кръг може да бъде описан около изпъкнал четириъгълник само ако сумата от противоположните му вътрешни ъгли е 180°.
- Възможно е да се построи окръжност, вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сборът от дължините на противоположните му страни е еднакъв.
- Възможно е да се опише кръг около паралелограма, ако ъглите му са прави.
- Можете да впишете окръжност в успоредник, ако всичките му страни са равни, тоест това е ромб.
- Възможно е да се построи окръжност през ъглите на трапец, само ако е равнобедрен. В този случай центърът на описаната окръжност ще бъде разположен в пресечната точка на оста на симетрия на четириъгълника и средния перпендикуляр, начертан отстрани.
