Поредицата от числа и нейната граница са били един от най-важните проблеми в математиката през цялата история на тази наука. Постоянно актуализирани знания, формулирани нови теореми и доказателства - всичко това ни позволява да разгледаме тази концепция от нови позиции и от различни ъгли.
Последователност от числа, в съответствие с една от най-често срещаните дефиниции, е математическа функция, в основата на която е наборът от естествени числа, подредени по един или друг модел.
Тази функция може да се счита за дефинирана, ако е известен законът, според който реално число може да бъде ясно определено за всяко естествено число.
Има няколко опции за създаване на поредици от числа.
Първо, тази функция може да бъде дефинирана по така наречения "изричен" начин, когато има определена формула, по която всеки от нейните членове може да бъде определенчрез просто заместване на серийния номер в дадена последователност.
Вторият метод се нарича "повтарящ се". Същността му се крие във факта, че са дадени първите няколко члена на числовата последователност, както и специална рекурсивна формула, с помощта на която, познавайки предишния член, можете да намерите следващия.
Накрая, най-общият начин за определяне на последователности е така нареченият "аналитичен метод", когато без особени затруднения човек може не само да идентифицира един или друг термин под определен сериен номер, но и, знаейки няколко последователни термина, стигаме до общата формула на дадена функция.
Последователността от числа може да бъде намаляваща или увеличаваща се. В първия случай всеки следващ член е по-малък от предишния, а във втория случай, напротив, е по-голям.
Разглеждайки тази тема, не е възможно да не засегнем въпроса за границите на последователностите. Границата на последователността е такова число, когато за всяка стойност, включително безкрайно малка, има пореден номер, след който отклонението на последователните членове на последователността от дадена точка в числова форма става по-малко от стойността, определена по време на формирането на тази функция.
Концепцията за границата на числова последователност се използва активно при извършване на определени интегрални и диференциални изчисления.
Математическите последователности имат цял набор от доста интереснисвойства.
Първо, всяка числова последователност е пример за математическа функция, следователно тези свойства, които са характерни за функциите, могат безопасно да се прилагат към последователности. Най-яркият пример за такива свойства е разпоредбата за нарастващи и намаляващи аритметични редове, които са обединени от едно общо понятие - монотонни поредици.
На второ място, има доста голяма група от последователности, които не могат да бъдат класифицирани като нарастващи или намаляващи - това са периодични последователности. В математиката те се считат за онези функции, в които има така наречената дължина на периода, тоест от определен момент (n) започва да действа следното равенство y =yn+T, където T ще бъде самата дължина на периода.
