Темата "аритметична прогресия" се изучава в общия курс по алгебра в училищата в 9. клас. Тази тема е важна за по-нататъшно задълбочено изучаване на математиката на числовите редове. В тази статия ще се запознаем с аритметичната прогресия, нейната разлика, както и с типичните задачи, пред които могат да се сблъскат учениците.
Концепцията за алгебричната прогресия
Числовата прогресия е поредица от числа, в която всеки следващ елемент може да бъде получен от предишния, ако се приложи някакъв математически закон. Има два прости вида прогресия: геометрична и аритметична, която също се нарича алгебрична. Нека се спрем на това по-подробно.
Нека си представим някакво рационално число, обозначаваме го със символа a1, където индексът показва неговия порядков номер в разглеждания ред. Нека добавим някакво друго число към a1 , нека го обозначим с d. След това вториятелемент от серия може да бъде отразен по следния начин: a2=a1+d. Сега добавете отново d, получаваме: a3=a2+d. Продължавайки тази математическа операция, можете да получите цяла серия от числа, които ще бъдат наречени аритметична прогресия.
Както може да се разбере от горното, за да намерите n-тия елемент от тази последователност, трябва да използвате формулата: a =a1+ (n -1)d. Всъщност, замествайки n=1 в израза, получаваме a1=a1, ако n=2, тогава формулата предполага: a2=a1 + 1d и т.н.
Например, ако разликата в аритметична прогресия е 5 и a1=1, тогава това означава, че числовият ред от въпросния тип изглежда така: 1, 6, 11, 16, 21, … Както можете да видите, всеки от членовете му е по-голям от предишния с 5.
Формули за разликата в аритметичната прогресия
От горната дефиниция на разглежданата серия от числа следва, че за да я определите, трябва да знаете две числа: a1 и d. Последното се нарича разлика на тази прогресия. Той уникално определя поведението на цялата серия. Наистина, ако d е положително, тогава числовият ред постоянно ще нараства, напротив, в случай на отрицателно d, числата в серията ще се увеличават само по модул, докато абсолютната им стойност ще намалява с увеличаване на числото n.
Каква е разликата в аритметичната прогресия? Помислете за двете основни формули, които се използват за изчисляване на тази стойност:
- d=an+1-a , тази формула следва директно от дефиницията на въпросния числов ред.
- d=(-a1+a)/(n-1), този израз се получава чрез изразяване на d от дадената формула в предходния параграф на статията. Обърнете внимание, че този израз става неопределен (0/0), ако n=1. Това се дължи на факта, че е необходимо да се познават поне 2 елемента от серията, за да се определи нейната разлика.
Тези две основни формули се използват за решаване на всеки проблем за намиране на разликата в прогресията. Има обаче друга формула, за която също трябва да знаете.
Сбор от първите елементи
Формулата, която може да се използва за определяне на сумата от произволен брой членове на алгебричната прогресия, според историческите доказателства, е получена за първи път от "принца" на математиката от 18-ти век, Карл Гаус. Немски учен, още като момче в началните класове на селско училище, забеляза, че за да добавите естествени числа в редицата от 1 до 100, първо трябва да сумирате първия елемент и последния (резултантната стойност ще бъде равна до сбора на предпоследния и втория, предпоследния и третия елемент и т.н.), и след това това число трябва да се умножи по броя на тези суми, тоест по 50.
Формулата, която отразява посочения резултат в конкретен пример, може да бъде обобщена до произволен случай. Ще изглежда така: S =n/2(a +a1). Имайте предвид, че за да се намери определената стойност, не се изисква познаване на разликата d,ако са известни два термина на прогресията (a и a1).
Пример №1. Определете разликата, като знаете двата члена от серията a1 и an
Нека покажем как да приложим формулите, споменати по-горе в статията. Нека дадем прост пример: разликата в аритметичната прогресия е неизвестна, необходимо е да се определи на какво ще бъде равна, ако a13=-5, 6 и a1 =-12, 1.
Тъй като знаем стойностите на два елемента от числовата последователност и единият от тях е първото число, можем да използваме формула № 2, за да определим разликата d. Имаме: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. В израза използвахме стойността n=13, тъй като членът с този пореден номер е известен.
Получената разлика показва, че прогресията се увеличава, въпреки факта, че елементите, дадени в условието на задачата, имат отрицателна стойност. Вижда се, че a13>a1, въпреки че |a13|<|a 1 |.
Пример 2. Положителни членове на прогресията в пример 1
Нека използваме резултата, получен в предишния пример, за да решим нов проблем. Формулира се по следния начин: от какъв пореден номер елементите на прогресията в пример 1 започват да приемат положителни стойности?
Както е показано, прогресията, в която a1=-12, 1 и d=0. 54167 се увеличава, така че от някакво число числата ще започнат да приемат само положителни стойности. За да се определи това число n, трябва да се реши просто неравенство, което ематематически записано, както следва: a >0 или, използвайки съответната формула, пренаписваме неравенството: a1 + (n-1)d>0. Необходимо е да се намери неизвестното n, нека го изразим: n>-1a1/d + 1. Сега остава да се заменят известните стойности на разликата и първия член на последователността. Получаваме: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 или n>23, 338. Тъй като n може да приема само цели числа, от полученото неравенство следва, че всички членове на редицата, които ще има число по-голямо от 23 ще бъде положително.
Проверете отговора си, като използвате горната формула, за да изчислите 23-ия и 24-ия елемент от тази аритметична прогресия. Имаме: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (отрицателно число); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (положителна стойност). Така полученият резултат е правилен: започвайки от n=24, всички членове на числовия ред ще бъдат по-големи от нула.
Пример 3. Колко трупа ще се поберат?
Нека да дадем един любопитен проблем: по време на дърводобива беше решено да се подреждат нарязани трупи един върху друг, както е показано на фигурата по-долу. Колко трупа могат да бъдат подредени по този начин, като се знае, че 10 реда ще се поберат общо?
При този начин на подреждане на трупи можете да забележите едно интересно нещо: всеки следващ ред ще съдържа един дневник по-малко от предишния, тоест има алгебрична прогресия, чиято разлика е d=1. Ако приемем, че броят на регистрите във всеки ред е член на тази прогресия,и също така като се има предвид, че a1=1 (само един дневник ще се побере в самия връх), намираме числото a10. Имаме: a10=1 + 1(10-1)=10. Тоест в 10-ия ред, който лежи на земята, ще има 10 трупа.
Общата сума на тази "пирамидална" конструкция може да се получи с помощта на формулата на Гаус. Получаваме: S10=10/2(10+1)=55 лога.
