Съдейки по популярността на заявката "Теоремата на Ферма - кратко доказателство", този математически проблем наистина представлява интерес за мнозина. Тази теорема е заявена за първи път от Пиер дьо Ферма през 1637 г. на ръба на копие на Аритметика, където той твърди, че има решение, което е твърде голямо, за да се побере на ръба..
Първото успешно доказателство беше публикувано през 1995 г. - това беше пълното доказателство на теоремата на Ферма от Андрю Уайлс. Това е описано като "зашеметяващ напредък" и накара Уайлс да получи наградата Абел през 2016 г. Въпреки че е описано сравнително накратко, доказателството на теоремата на Ферма също доказа голяма част от теоремата за модулност и откри нови подходи към множество други проблеми и ефективни методи за повдигане на модулността. Тези постижения са напреднали в математиката 100 години напред. Доказателството на малката теорема на Ферма днес не ее нещо необичайно.
Нерешеният проблем стимулира развитието на алгебричната теория на числата през 19-ти век и търсенето на доказателство на теоремата за модулността през 20-ти век. Това е една от най-забележителните теореми в историята на математиката и до пълното доказателство за разделяне на последната теорема на Ферма тя беше в Книгата на рекордите на Гинес като "най-трудният математически проблем", една от характеристиките на която е, че има най-голям брой неуспешни доказателства.
Историческа история
Питагорово уравнение x2 + y2=z2 има безкраен брой положителни целочислени решения за x, y и z. Тези решения са известни като питагорейските триединства. Около 1637 г. Ферма пише на края на книгата, че по-общото уравнение a + b =cняма решения в естествени числа, ако n е цяло число, по-голямо от 2. Въпреки че самият Ферма твърди, че има решение на проблема си, той не остави никакви подробности за неговото доказателство. Елементарното доказателство на теоремата на Ферма, претендирано от нейния създател, е по-скоро негово самохвално изобретение. Книгата на великия френски математик е открита 30 години след смъртта му. Това уравнение, наречено последната теорема на Ферма, остава нерешено в математиката в продължение на три века и половина.
Теоремата в крайна сметка се превърна в един от най-забележителните нерешени проблеми в математиката. Опитите да се докаже това предизвикаха значително развитие на теорията на числата и с пасажавреме, последната теорема на Ферма стана известна като нерешен проблем в математиката.
Кратка история на доказателствата
Ако n=4, както е доказано от самия Ферма, достатъчно е да се докаже теоремата за индекси n, които са прости числа. През следващите два века (1637-1839) хипотезата е доказана само за простите числа 3, 5 и 7, въпреки че Софи Жермен актуализира и доказа подход, който се прилага към целия клас прости числа. В средата на 19 век Ернст Кумер разшири това и доказа теоремата за всички редовни прости числа, при което неправилните прости числа бяха анализирани поотделно. Въз основа на работата на Кумер и използвайки сложни компютърни изследвания, други математици успяха да разширят решението на теоремата с цел да покрият всички основни експоненти до четири милиона, но доказателството за всички експоненти все още не беше налично (което означава, че математиците обикновено се смята, че решението на теоремата е невъзможно, изключително трудно или недостижимо с настоящите познания).
Работа на Шимура и Танияма
През 1955 г. японските математици Горо Шимура и Ютака Танияма подозираха, че има връзка между елиптичните криви и модулните форми, два много различни клона на математиката. Известна по онова време като предположението Танияма-Шимура-Вейл и (в крайна сметка) като теорема за модулност, тя съществува сама по себе си, без видима връзка с последната теорема на Ферма. Самата тя беше широко смятана за важна математическа теорема, но се смяташе (като теоремата на Ферма) за невъзможна за доказване. На товаВ същото време доказателството на последната теорема на Ферма (чрез разделяне и прилагане на сложни математически формули) е извършено само половин век по-късно.
През 1984 г. Герхард Фрей забелязва очевидна връзка между тези два досега несвързани и нерешени проблема. Пълно потвърждение, че двете теореми са тясно свързани, е публикувано през 1986 г. от Кен Рибет, който се основава на частично доказателство от Жан-Пиер Сера, който доказва всички с изключение на една част, известна като „хипотеза на епсилон“. Най-просто казано, тези работи на Фрей, Сера и Рибе показаха, че ако теоремата за модулност може да бъде доказана поне за полустабилен клас елиптични криви, тогава доказателството на последната теорема на Ферма рано или късно също ще бъде открито. Всяко решение, което може да противоречи на последната теорема на Ферма, може да се използва и за противоречие на теоремата за модулност. Следователно, ако теоремата за модулността се окаже вярна, тогава по дефиниция не може да има решение, което да противоречи на последната теорема на Ферма, което означава, че е трябвало да бъде доказано скоро.
Въпреки че и двете теореми бяха трудни задачи в математиката, считани за нерешими, работата на двамата японци беше първото предложение за това как последната теорема на Ферма може да бъде разширена и доказана за всички числа, а не само за някои. Важно за изследователите, избрали темата на изследване, е фактът, че за разлика от последната теорема на Ферма, теоремата за модулността е основната активна област на изследване, за кояторазработени са доказателства, а не само историческа странност, така че времето, прекарано в работата й, може да бъде оправдано от професионална гледна точка. Въпреки това, общият консенсус беше, че решаването на предположението Танияма-Шимура се оказа неподходящо.
Последната теорема на фермата: доказателство на Уайлс
Научил, че Рибет е доказал, че теорията на Фрей е вярна, английският математик Андрю Уайлс, който се интересува от последната теорема на Ферма от детството и има опит в работата с елиптични криви и съседни области, решава да се опита да докаже Танияма-Шимура Предположение като начин за доказване на последната теорема на Ферма. През 1993 г., шест години след обявяването на целта си, докато тайно работи върху проблема за решаването на теоремата, Уайлс успява да докаже свързано предположение, което от своя страна ще му помогне да докаже последната теорема на Ферма. Документът на Уайлс беше огромен по размер и обхват.
Недостатък беше открит в една част от оригиналната му статия по време на партньорска проверка и изискваше още една година сътрудничество с Ричард Тейлър за съвместно решаване на теоремата. В резултат на това окончателното доказателство на Уайлс за последната теорема на Ферма не закъсня. През 1995 г. тя е публикувана в много по-малък мащаб от предишната математическа работа на Уайлс, което илюстрира, че той не е сгрешил в предишните си заключения относно възможността за доказване на теоремата. Постижението на Уайлс беше широко разгласено в популярната преса и популяризирано в книги и телевизионни програми. Останалите части от предположението Танияма-Шимура-Вейл, които сега са доказани иизвестна като теорема за модулността, впоследствие бяха доказани от други математици, които надграждаха работата на Уайлс между 1996 и 2001 г. За своето постижение Уайлс е удостоен и получава множество награди, включително наградата Абел за 2016 г.
Доказателството на Уайлс за последната теорема на Ферма е специален случай на решаване на теоремата за модулност за елиптични криви. Това обаче е най-известният случай на толкова мащабна математическа операция. Наред с решаването на теоремата на Рибе, британският математик получава и доказателство за последната теорема на Ферма. Последната теорема на Ферма и теоремата за модулността бяха почти повсеместно смятани за недоказуеми от съвременните математици, но Андрю Уайлс успя да докаже на научния свят, че дори експертите могат да грешат.
Wyles за първи път обяви своето откритие в сряда, 23 юни 1993 г. на лекция в Кеймбридж, озаглавена „Модулни форми, елиптични криви и представяния на Галоа“. През септември 1993 г. обаче беше установено, че изчисленията му съдържат грешка. Година по-късно, на 19 септември 1994 г., в това, което той би нарекъл „най-важният момент от трудовия си живот“, Уайлс се натъква на откровение, което му позволява да определи решението на проблема до точката, в която то може да удовлетвори математическото общност.
Работно описание
Доказателството за теоремата на Ферма от Андрю Уайлс използва много методи от алгебричната геометрия и теорията на числата и има много разклонения в тезиобласти на математиката. Той също така използва стандартните конструкции на съвременната алгебрична геометрия, като категорията на схемите и теорията на Ивасава, както и други методи от 20-ти век, които не са били достъпни за Пиер дьо Ферма.
Двете статии, съдържащи доказателства, са дълги 129 страници и са написани в продължение на седем години. Джон Коутс описва това откритие като едно от най-големите постижения на теорията на числата, а Джон Конуей го нарече основното математическо постижение на 20-ти век. Уайлс, за да докаже последната теорема на Ферма чрез доказване на теоремата за модулност за специалния случай на полустабилни елиптични криви, разработи мощни методи за повдигане на модулността и отвори нови подходи към множество други проблеми. За решаването на последната теорема на Ферма той е посветен в рицар и получава други награди. Когато стана известно, че Уайлс е спечелил наградата Абел, Норвежката академия на науките описва постижението му като „възхитително и елементарно доказателство за последната теорема на Ферма“.
Как беше
Един от хората, които прегледаха оригиналния ръкопис на Уайлс с решението на теоремата, беше Ник Кац. В хода на прегледа си той зададе на британеца редица уточняващи въпроси, които накараха Уайлс да признае, че работата му очевидно съдържа пропуск. В една критична част от доказателството е допусната грешка, която дава оценка за реда на определена група: системата на Ойлер, използвана за разширяване на метода на Коливагин и Флах, е непълна. Грешката обаче не направи работата му безполезна - всяка част от работата на Уайлс беше много значима и новаторска сама по себе си, както и многоразработки и методи, които той създава в хода на работата си и които засягат само една част от ръкописа. Въпреки това, тази оригинална работа, публикувана през 1993 г., всъщност нямаше доказателство за последната теорема на Ферма.
Уайлс прекара близо година, опитвайки се да преоткрие решение на теоремата, първо сам, а след това в сътрудничество с бившия си ученик Ричард Тейлър, но всичко изглеждаше напразно. До края на 1993 г. се разпространяват слухове, че доказателството на Уайлс е неуспешно при тестване, но не се знае колко сериозен е този провал. Математиците започнаха да оказват натиск върху Уайлс да разкрие детайлите на работата си, независимо дали е направена или не, така че по-широката общност от математици да може да изследва и използва всичко, което той е в състояние да постигне. Вместо бързо да коригира грешката си, Уайлс открива само допълнителни трудни аспекти в доказателството на последната теорема на Ферма и накрая осъзна колко трудно е било.
Wyles заявява, че сутринта на 19 септември 1994 г. той е бил на ръба да се откаже и да се откаже и почти се е примирил с провала. Той беше готов да публикува недовършената си работа, за да могат другите да я надграждат и да открият къде греши. Английският математик решава да си даде последен шанс и анализира теоремата за последен път, за да се опита да разбере основните причини, поради които подходът му не работи, когато изведнъж осъзнава, че подходът на Коливагин-Флак няма да работи, докато тойсъщо така ще включи теорията на Ивасава в процеса на доказване, което ще я накара да работи.
На 6 октомври Уайлс помоли трима колеги (включително Фалтинс) да прегледат новата му работа, а на 24 октомври 1994 г. той изпрати два ръкописа - "Модулни елиптични криви и последната теорема на Ферма" и "Теоретични свойства на пръстен на някои алгебри на Хеке“, вторият от които Уайлс написа съвместно с Тейлър и доказа, че са изпълнени определени условия, за да оправдаят коригираната стъпка в основната статия..
Тези две статии бяха прегледани и накрая публикувани като пълно текстово издание в Annals of Mathematics от май 1995 г. Новите изчисления на Андрю бяха широко анализирани и в крайна сметка приети от научната общност. В тези статии е установена теоремата за модулност за полустабилни елиптични криви - последната стъпка към доказване на последната теорема на Ферма, 358 години след създаването й.
История на големия проблем
Решаването на тази теорема се смята за най-големия проблем в математиката от много векове. През 1816 и 1850 г. Френската академия на науките предлага награда за общо доказателство на последната теорема на Ферма. През 1857 г. Академията присъжда 3000 франка и златен медал на Кумер за изследванията му върху идеалните числа, въпреки че той не кандидатства за наградата. Друга награда му е предложена през 1883 г. от Брюкселската академия.
Wolfskell награда
През 1908 г. немският индустриалец и математик-любител Пол Волфскел завещава 100 000 златни марки (голяма сума за онова време)Академията на науките в Гьотинген, така че тези пари да станат награда за пълното доказателство на последната теорема на Ферма. На 27 юни 1908 г. Академията публикува девет правила за награждаване. Наред с други неща, тези правила изискваха доказателството да бъде публикувано в рецензирано списание. Наградата трябваше да бъде връчена само две години след публикуването. Конкурсът трябваше да изтече на 13 септември 2007 г. - около век след началото му. На 27 юни 1997 г. Уайлс получава паричната награда на Wolfschel и след това още 50 000 долара. През март 2016 г. той получи 600 000 евро от норвежкото правителство като част от наградата на Абел за „удивително доказателство на последната теорема на Ферма с помощта на предположението за модулност за полустабилни елиптични криви, което отваря нова ера в теорията на числата“. Това беше световният триумф на смирения англичанин.
Преди доказателството на Уайлс, теоремата на Ферма, както бе споменато по-рано, се смяташе за абсолютно неразрешима от векове. Хиляди неверни доказателства в различни моменти бяха представени на комисията Wolfskell, възлизащи на приблизително 10 фута (3 метра) кореспонденция. Само през първата година от съществуването на наградата (1907-1908) са подадени 621 заявления с претенции за решаване на теоремата, въпреки че до 70-те години броят им е намалял до около 3-4 заявления на месец. Според Ф. Шлихтинг, рецензентът на Волфшел, повечето от доказателствата се основават на елементарни методи, преподавани в училищата и често са представяни като „хора с технически опит, но неуспешни кариери“. Според историка на математиката Хауърд Ейвс, последниятТеоремата на Ферма постави своеобразен рекорд - това е теоремата с най-голям брой неверни доказателства.
Лаврите на фермата отидоха при японците
Както беше споменато по-рано, около 1955 г., японските математици Горо Шимура и Ютака Танияма откриха възможна връзка между два очевидно напълно различни клона на математиката - елиптични криви и модулни форми. Получената теорема за модулност (тогава известна като предположението Танияма-Шимура) гласи, че всяка елиптична крива е модулна, което означава, че може да бъде асоциирана с уникална модулна форма.
Теорията първоначално беше отхвърлена като малко вероятна или силно спекулативна, но беше взета по-сериозно, когато теоретикът на числата Андре Вейл намери доказателства в подкрепа на японските заключения. В резултат на това хипотезата често е наричана хипотезата Танияма-Шимура-Вейл. Тя стана част от програмата Langlands, която е списък с важни хипотези, които трябва да бъдат доказани в бъдеще.
Дори след сериозно изследване, предположението е признато от съвременните математици като изключително трудно или може би недостъпно за доказване. Сега тази конкретна теорема чака своя Андрю Уайлс, който може да изненада целия свят с решението си.
Теорема на Ферма: доказателство на Перелман
Въпреки популярния мит, руският математик Григорий Перелман, при целия си гений, няма нищо общо с теоремата на Ферма. Което обаче по никакъв начин не го омаловажава.многобройни приноси към научната общност.
