Дори в училище всички ученици се запознават с концепцията за "евклидова геометрия", чиито основни положения са фокусирани около няколко аксиоми, базирани на такива геометрични елементи като точка, равнина, права, движение. Всички те заедно образуват това, което отдавна е известно под термина "евклидово пространство".
Евклидовото пространство, чиято дефиниция се основава на концепцията за скаларно умножение на вектори, е специален случай на линейно (афинно) пространство, което удовлетворява редица изисквания. Първо, скаларното произведение на векторите е абсолютно симетрично, тоест векторът с координати (x;y) е количествено идентичен с вектора с координати (y;x), но противоположен по посока.
На второ място, ако се изпълни скаларното произведение на вектор със себе си, тогава резултатът от това действие ще бъде положителен. Единственото изключение ще бъде случаят, когато началните и крайните координати на този вектор са равни на нула: в този случай произведението му със себе си също ще бъде равно на нула.
На трето място, скаларното произведение е разпределително, тоест е възможно да се разложи една от неговите координати в сбор от две стойности, което няма да доведе до промени в крайния резултат от скаларно умножение на вектори. И накрая, четвърто, когато векторите се умножат по едно и също реално число, техният скаларен продукт също ще се увеличи със същия фактор.
Ако всички тези четири условия са изпълнени, можем да кажем с увереност, че имаме евклидово пространство.
Евклидовото пространство от практическа гледна точка може да се характеризира със следните конкретни примери:
- Най-простият случай е наличието на набор от вектори със скаларен продукт, дефиниран според основните закони на геометрията.
- Евклидово пространство също ще се получи, ако под вектори имаме предвид определен краен набор от реални числа с дадена формула, описваща скаларната им сума или продукт.
- Специален случай на евклидовото пространство е така нареченото нулево пространство, което се получава, ако скаларната дължина на двата вектора е равна на нула.
Евклидовото пространство има редица специфични свойства. Първо, скаларният фактор може да бъде изваден от скоби както от първия, така и от втория фактор на скаларното произведение, резултатът от това няма да се промени по никакъв начин. Второ, заедно с дистрибутивността на първия елемент на скаларапродукт, действа и дистрибутивността на втория елемент. Освен това, в допълнение към скаларната сума на векторите, дистрибутивността се осъществява и в случай на векторно изваждане. И накрая, трето, когато вектор се умножи скаларно по нула, резултатът също ще бъде нула.
По този начин евклидовото пространство е най-важното геометрично понятие, използвано при решаване на задачи с взаимното подреждане на векторите един спрямо друг, което се характеризира с такова понятие като скаларно произведение.
