В училищния курс по твърда геометрия една от най-простите фигури, която има ненулеви размери по три пространствени оси, е четириъгълна призма. Помислете в статията какъв вид фигура е, от какви елементи се състои, както и как можете да изчислите нейната повърхност и обем.
Концепцията за призма
В геометрията призмата е пространствена фигура, която е образувана от две еднакви основи и странични повърхности, които свързват страните на тези основи. Забележете, че и двете бази се трансформират една в друга, като се използва операцията на паралелна транслация от някакъв вектор. Това присвояване на призмата води до факта, че всичките й страни винаги са успоредни.
Броят на страните на основата може да бъде произволен, започвайки от три. Когато това число се стреми към безкрайност, призмата плавно се превръща в цилиндър, тъй като основата й се превръща в кръг, а страничните паралелограми, свързвайки се, образуват цилиндрична повърхност.
Като всеки полиедър, призмата се характеризира сстрани (равнини, които ограничават фигурата), ръбове (сегменти, по които се пресичат всякакви две страни) и върхове (точки на среща на три страни, за призма две от тях са странични, а третата е основата). Количествата на посочените три елемента на фигурата са свързани помежду си със следния израз:
P=C + B - 2
Тук P, C и B са съответно броят на ръбовете, страните и върховете. Този израз е математическата нотация на теоремата на Ойлер.
На снимката по-горе са показани две призми. В основата на един от тях (A) лежи правилен шестоъгълник, а страничните страни са перпендикулярни на основите. Фигура B показва друга призма. Страните му вече не са перпендикулярни на основите, а основата е правилен петоъгълник.
Какво е четириъгълна призма?
Както е ясно от описанието по-горе, типът на призмата се определя преди всичко от типа на многоъгълника, който образува основата (и двете основи са еднакви, така че можем да говорим за една от тях). Ако този многоъгълник е паралелограм, тогава получаваме четириъгълна призма. По този начин всички страни на този тип призма са успоредни. Четириъгълната призма има свое име - паралелепипед.
Броят на страните на паралелепипед е шест и всяка страна има подобен паралел на него. Тъй като основите на кутията са две страни, останалите четири са странични.
Броят на върховете на паралелепипеда е осем, което е лесно да се види, ако си припомним, че върховете на призмата се образуват само във върховете на основните многоъгълници (4x2=8). Прилагайки теоремата на Ойлер, получаваме броя на ръбовете:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
От 12 ребра само 4 са оформени независимо от страните. Останалите 8 лежат в равнините на основите на фигурата.
По-нататък в статията ще говорим само за четириъгълни призми.
Видове паралелепипеди
Първият тип класификация са характеристиките на основния паралелограма. Може да изглежда така:
- правилен, чиито ъгли не са равни на 90o;
- правоъгълник;
- квадратът е правилен четириъгълник.
Вторият тип класификация е ъгълът, под който страната пресича основата. Тук са възможни два различни случая:
- този ъгъл не е прав, тогава призмата се нарича наклонена или наклонена;
- ъгълът е 90o, тогава такава призма е правоъгълна или просто права.
Трети тип класификация е свързана с височината на призмата. Ако призмата е правоъгълна, а основата е квадрат или правоъгълник, тогава тя се нарича кубоид. Ако в основата има квадрат, призмата е правоъгълна и нейната височина е равна на дължината на страната на квадрата, тогава получаваме добре познатата фигура на куб.
Повърхност и площ на призмата
Множеството от всички точки, които лежат върху две основи на призма(успоредник) и от неговите страни (четири успоредника) образуват повърхността на фигурата. Площта на тази повърхност може да се изчисли чрез изчисляване на площта на основата и тази стойност за страничната повърхност. Тогава тяхната сума ще даде желаната стойност. Математически това се записва по следния начин:
S=2So+ Sb
Тук So и Sb са съответно площта на основата и страничната повърхност. Числото 2 преди So се появява, защото има две основи.
Забележете, че написаната формула е валидна за всяка призма, а не само за площта на четириъгълна призма.
Полезно е да припомним, че площта на паралелограма Sp се изчислява по формулата:
Sp=ah
Където символите a и h означават съответно дължината на една от нейните страни и височината, изтеглена от тази страна.
Площта на правоъгълна призма с квадратна основа
В правилна четириъгълна призма основата е квадрат. За определеност обозначаваме неговата страна с буквата а. За да изчислите площта на обикновена четириъгълна призма, трябва да знаете нейната височина. Според определението за тази величина тя е равна на дължината на перпендикуляра, спуснат от една основа към друга, тоест равна на разстоянието между тях. Нека го обозначим с буквата h. Тъй като всички странични лица са перпендикулярни на основите за разглеждания тип призма, височината на правилната четириъгълна призма ще бъде равна на дължината на нейния страничен ръб.
BОбщата формула за повърхността на призмата е два члена. Площта на основата в този случай е лесна за изчисляване, тя е равна на:
So=a2
За да изчислим площта на страничната повърхност, ние аргументираме следното: тази повърхност е образувана от 4 еднакви правоъгълника. Освен това страните на всеки от тях са равни на a и h. Това означава, че площта на Sb ще бъде равна на:
Sb=4ah
Забележете, че продуктът 4a е периметърът на квадратната основа. Ако обобщим този израз за случай на произволна основа, тогава за правоъгълна призма страничната повърхност може да се изчисли по следния начин:
Sb=Poh
Където Po е периметърът на основата.
Връщайки се към проблема за изчисляване на площта на правилна четириъгълна призма, можем да напишем окончателната формула:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Площ на наклонен паралелепипед
Изчисляването е малко по-трудно, отколкото за правоъгълен. В този случай основната площ на четириъгълна призма се изчислява по същата формула като за паралелограма. Промените се отнасят до начина, по който се определя страничната повърхност.
За да направите това, използвайте същата формула през периметъра, както е дадено в параграфа по-горе. Само сега ще има малко по-различни множители. Общата формула за Sb в случай на наклонена призма е:
Sb=Psrc
Тук c е дължината на страничния ръб на фигурата. Стойността Psr е периметърът на правоъгълния отрязък. Тази среда е изградена по следния начин: необходимо е всички странични лица да се пресекат с равнина, така че да е перпендикулярна на всички тях. Полученият правоъгълник ще бъде желания разрез.
Фигурата по-горе показва пример за наклонена кутия. Неговото напречно щриховано сечение образува прави ъгли със страните. Периметърът на секцията е Psr. Образува се от четири височини на странични успоредници. За тази четириъгълна призма площта на страничната повърхност се изчислява по горната формула.
Дължината на диагонала на кубоид
Диагоналът на паралелепипед е сегмент, който свързва два върха, които нямат общи страни, които ги образуват. Във всяка четириъгълна призма има само четири диагонала. За кубоид с правоъгълник в основата, дължините на всички диагонали са равни една на друга.
Фигурата по-долу показва съответната цифра. Червеният сегмент е неговият диагонал.
Изчисляването на дължината му е много просто, ако си спомняте Питагоровата теорема. Всеки ученик може да получи желаната формула. Има следната форма:
D=√(A2+ B2 + C2)
Тук D е дължината на диагонала. Останалите знаци са дължините на страните на кутията.
Много хора бъркат диагонала на паралелепипед с диагоналите на неговите страни. По-долу е снимка, където цветнитесегментите представляват диагоналите на страните на фигурата.
Дължината на всеки от тях също се определя от Питагоровата теорема и е равна на корен квадратен от сбора на квадратите на съответните дължини на страните.
Обем на призмата
В допълнение към площта на обикновена четириъгълна призма или други видове призми, за да решите някои геометрични задачи, трябва да знаете и техния обем. Тази стойност за абсолютно всяка призма се изчислява по следната формула:
V=Soh
Ако призмата е правоъгълна, тогава е достатъчно да изчислите площта на основата й и да я умножите по дължината на ръба на страната, за да получите обема на фигурата.
Ако призмата е обикновена четириъгълна призма, тогава нейният обем ще бъде:
V=a2h.
Лесно е да се види, че тази формула се преобразува в израз за обема на куб, ако дължината на страничния ръб h е равна на страната на основата a.
Проблем с кубоид
За консолидиране на изучавания материал ще решим следната задача: има правоъгълен паралелепипед, чиито страни са 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо е да се изчисли неговата повърхност, дължината на диагонала и обема.
За категоричност ще приемем, че основата на фигурата е правоъгълник със страни 3 см и 4 см. Тогава площта му е 12 см2, а периодът е 14 см. Използвайки формулата за повърхността на призмата, получаваме:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 см2
За да определите дължината на диагонала и обема на фигурата, можете директно да използвате горните изрази:
D=√(32+42+52)=7 071 см;
V=345=60 см3.
Проблем с наклонен паралелепипед
Фигурата по-долу показва наклонена призма. Страните му са равни: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Трябва да намерите повърхността на тази фигура.
Първо, нека определим площта на основата. Фигурата показва, че острият ъгъл е 50o. Тогава неговата площ е:
So=ha=sin(50o)ba
За да определите площта на страничната повърхност, трябва да намерите периметъра на защрихования правоъгълник. Страните на този правоъгълник са asin(45o) и bsin(60o). Тогава периметърът на този правоъгълник е:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Общата повърхност на тази кутия е:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Заместваме данните от условието на задачата за дължините на страните на фигурата, получаваме отговора:
S=458, 5496 см3
Може да се види от решението на този проблем, че тригонометричните функции се използват за определяне на областите на наклонените фигури.
