Още в древен Египет се появява науката, с помощта на която е възможно да се измерват обеми, площи и други величини. Тласък за това е изграждането на пирамидите. Той включваше значителен брой сложни изчисления. И освен строителството, беше важно правилното измерване на земята. Оттук и науката за "геометрията" се появи от гръцките думи "geos" - земя и "metrio" - измервам.
Изучаването на геометричните форми беше улеснено от наблюдението на астрономически явления. И вече през 17 век пр.н.е. д. са открити първоначалните методи за изчисляване на площта на окръжност, обема на топката, а най-важното откритие е Питагоровата теорема.
Изявлението на теоремата за окръжност, вписана в триъгълник, е както следва:
В триъгълник може да бъде вписан само един кръг.
С тази подредба окръжността е вписана, а триъгълникът е описан близо до окръжността.
Изявлението на теоремата за центъра на окръжност, вписана в триъгълник, е както следва:
Централна точка на вписана окръжносттриъгълник, има точка на пресичане на ъглополовящите на този триъгълник.
Кръг, вписан в равнобедрен триъгълник
Кръг се счита за вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни с поне една точка.
Снимката по-долу показва кръг вътре в равнобедрен триъгълник. Условието на теоремата за окръжност, вписана в триъгълник, е изпълнено – тя докосва всички страни на триъгълника AB, BC и CA съответно в точки R, S, Q.
Едно от свойствата на равнобедрен триъгълник е, че вписаната окръжност разполовява основата от точката на контакт (BS=SC), а радиусът на вписаната окръжност е една трета от височината на този триъгълник (SP=AS/3).
Свойства на теоремата за вписана окръжност на триъгълника:
- Сегменти, идващи от един връх на триъгълника до точките на контакт с окръжността, са равни. На снимката AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Радиусът на окръжността (вписана) е площта, разделена на полупериметъра на триъгълника. Като пример трябва да нарисувате равнобедрен триъгълник със същите буквени обозначения като на снимката, със следните размери: получават се основа BC=3 cm, височина AS=2 cm, страни AB=BC, съответно по 2,5 см всяка. Начертаваме ъглополовяща от всеки ъгъл и обозначаваме мястото на тяхното пресичане като P. Вписваме окръжност с радиус PS, чиято дължина трябва да се намери. Можете да разберете площта на триъгълник, като умножите 1/2 от основата по височината: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Полупериметъртриъгълник е равен на 1/2 от сбора на всички страни: P=(AB + BC + SA) / 2=(2,5 + 3 + 2,5) / 2=4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, което е напълно вярно, когато се измерва с линийка. Съответно, свойството на теоремата за окръжност, вписана в триъгълник, е вярно.
Кръг, вписан в правоъгълен триъгълник
За триъгълник с прав ъгъл се прилагат свойствата на теоремата за вписана окръжност на триъгълника. Освен това се добавя способността за решаване на проблеми с постулатите на питагоровата теорема.
Радиусът на вписаната окръжност в правоъгълен триъгълник може да се определи по следния начин: добавете дължините на краката, извадете стойността на хипотенузата и разделете получената стойност на 2.
Има добра формула, която ще ви помогне да изчислите площта на триъгълник - умножете периметъра по радиуса на окръжността, вписана в този триъгълник.
Формулиране на теоремата за вписана окръжност
Теоремите за вписани и описани фигури са важни в планиметрията. Едно от тях звучи така:
Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на симетралите, изтеглени от ъглите му.
Фигурата по-долу показва доказателството на тази теорема. Показано е равенството на ъглите и съответно равенството на съседните триъгълници.
Теорема за центъра на окръжност, вписана в триъгълник
Радиусите на окръжност, вписана в триъгълник,начертани до допирателните точки са перпендикулярни на страните на триъгълника.
Задачата "формулиране на теоремата за окръжност, вписана в триъгълник" не трябва да бъде изненадана, защото това е едно от фундаменталните и най-прости знания в геометрията, които трябва да овладеете напълно, за да решите много практически задачи в реален живот.
