Вписан четириъгълник в кръг. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

С разделянето на математиката на алгебра и геометрия учебният материал става по-труден. Появяват се нови фигури и техните специални случаи. За да се разбере добре материала, е необходимо да се проучат понятията, свойствата на обектите и свързаните теореми.

Общи понятия

Четириъгълник означава геометрична фигура. Състои се от 4 точки. Освен това 3 от тях не са разположени на една и съща права линия. Има сегменти, свързващи посочените точки последователно.

Всички четириъгълници, изучавани в училищния курс по геометрия, са показани на следващата диаграма. Заключение: всеки обект от представената фигура има свойствата на предишната фигура.

Четириъгълник може да бъде от следните типове:

Успоредник. Паралелизмът на противоположните му страни се доказва от съответните теореми.
Трапец. Четириъгълник с успоредни основи. Другите две страни не са.
Правоъгълник. Фигура, която има всичките 4 ъгъла=90º.
Ромб. Фигура с равни страни.
Квадрат. Комбинира свойствата на последните две фигури. Всички страни са равни и всички ъгли са прави.

Основното определение на тази тема е четириъгълник, вписан в кръг. Състои се в следното. Това е фигура, около която е описан кръг. Тя трябва да премине през всички върхове. Вътрешните ъгли на четириъгълник, вписан в кръг, се равняват на 360º.

Не всеки четириъгълник може да бъде вписан. Това се дължи на факта, че перпендикулярните ъглополовящи на 4-те страни може да не се пресичат в една точка. Това ще направи невъзможно намирането на центъра на окръжност, описваща 4-ъгълник.

Специални случаи

Има изключения от всяко правило. Така че в тази тема има и специални случаи:

Успоредник като такъв не може да бъде вписан в окръжност. Само неговият специален случай. Това е правоъгълник.
Ако всички върхове на ромб са на описаната линия, тогава това е квадрат.
Всички върхове на трапеца са на границата на окръжността. В този случай те говорят за равнобедрена фигура.

Свойства на вписан четириъгълник в кръг

Преди да решавате прости и сложни задачи по дадена тема, трябва да проверите знанията си. Без изучаване на учебния материал е невъзможно да се реши нито един пример.

Теорема 1

Сборът от противоположните ъгли на четириъгълник, вписан в окръжност, е 180º.

свойства на вписан четириъгълник в окръжност

Доказателство

Дано: четириъгълник ABCD е вписан в кръг. Неговият център е точка O. Трябва да докажем, че _<A + _<C=180º и _< B + _<D=180º.

Трябва да се вземат предвид представените цифри.

_{<A е вписана в кръг с център в точка O. Измерва се през ½ BCD (половина дъга).}

_{<C е вписано в същия кръг. Измерва се чрез ½ BAD (половин дъга).}
BAD и BCD образуват цял кръг, т.е. тяхната величина е 360º.

_<A + _{<C са равни на половината от сбора на представените полудъги.}

Оттук _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

ъгли на четириъгълник, вписан в окръжност

По подобен начин, доказателството за _<B и _{<D. Има обаче второ решение на проблема.}

Известно е, че сумата от вътрешните ъгли на четириъгълник е 360º.

Защото _<A + _<C=180º. Съответно, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Теорема 2

(често се нарича обратна) Ако в четириъгълник _<A + _<C=180º и _{<B +} <_{D=180º (ако са срещуположни), тогава около такава фигура може да се опише кръг.}

Доказателство

Дадена е сумата от противоположните ъгли на четириъгълника ABCD, равна на 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Трябва да докажем, че окръжност може да бъде описана около ABCD.}

От курса по геометрия е известно, че през 3 точки от четириъгълник може да се начертае кръг. Например, можете да използвате точки A, B, C. Къде ще се намира точка D? Има 3 предположения:

Тя се озовава в кръга. В този случай D не докосва линията.
Извън кръга. Тя стъпва далеч отвъд очертаната линия.
Оказва се в кръг.

Трябва да се приеме, че D е вътре в кръга. Мястото на посочения връх е заето от D´. Оказва се четириъгълник ABCD´.

Резултатът е:_<B + _<D´=2d.

Ако продължим AD´ до пресечната точка със съществуващата окръжност, центрирана в точка E и свържем E и C, получаваме вписан четириъгълник ABCE. От първата теорема следва равенството:

Съгласно законите на геометрията, изразът не е валиден, защото _<D´ е външният ъгъл на триъгълник CD´E. Съответно трябва да бъде повече от _{<E. От това можем да заключим, че D трябва да бъде или в кръга, или извън него.}

По подобен начин третото предположение може да се окаже погрешно, когато D´´ надхвърли границата на описаната фигура.

От две хипотези следва единствената правилна. Върхът D се намира на линията на окръжността. С други думи, D съвпада с E. От това следва, че всички точки на четириъгълника са разположени на описаната права.

От тезидве теореми, следват следствията:

Всеки правоъгълник може да бъде вписан в кръг. Има и друга последица. Кръг може да бъде описан около всеки правоъгълник

Трапец с равни бедра може да бъде вписан в кръг. С други думи, звучи така: кръг може да бъде описан около трапец с равни ръбове

Няколко примера

Задача 1. Четириъгълник ABCD е вписан в кръг. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Трябва да намерите _{<ABD. Отговорът трябва да бъде написан в градуси.}

Решение. Отначало може да изглежда трудно да намерите отговора.

1. Трябва да запомните свойствата от тази тема. А именно: сборът от противоположни ъгли=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

В геометрията е по-добре да се придържате към принципа: намерете всичко, което можете. Полезно по-късно.

2. Следваща стъпка: използвайте теоремата за сумата на триъгълника.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – – 75º=70º}

Изписани са

_<ABD и _{<ACD. По условие те разчитат на една дъга. Съответно, те имат равни стойности:}

_<ABD=_<ACD=70º

Отговор: _<ABD=70º.

Задача 2. BCDE е вписан четириъгълник в окръжност. _<B=69º, _<C=84º. Центърът на окръжността е точка E. Намерете - _<E.

Решение.

Трябва да се намери _{<E по теорема 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Отговор: _{< E=96º.}

Задача 3. Даден е четириъгълник, вписан в окръжност. Данните са показани на фигурата. Необходимо е да се намерят неизвестни стойности x, y, z.

Решение:

z=180º – 93º=87º (по теорема 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (по теорема 1)

Отговор: z=87º, x=82º, y=98º.

Задача 4. Има четириъгълник, вписан в кръг. Стойностите са показани на фигурата. Намерете x, y.

Решение:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Отговор: x=100º, y=109º.

Проблеми за независимо решение

Пример 1. Даден е кръг. Неговият център е точка O. AC и BD са диаметри. _<ACB=38º. Трябва да намерите _{<AOD. Отговорът трябва да бъде даден в градуси.}

Пример 2. Даден е четириъгълник ABCD и окръжност, описана около него. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Намерете _{<CAD. Напишете отговора си в градуси.}

Пример 3. Даден е кръг и вписан четириъгълник ABCD. Двата му ъгъла са 82º и58º. Трябва да намерите най-големия от останалите ъгли и да запишете отговора в градуси.

Пример 4. Даден е четириъгълник ABCD. Ъглите A, B, C са дадени в съотношение 1:2:3. Необходимо е да се намери ъгълът D, ако посоченият четириъгълник може да бъде вписан в окръжност. Отговорът трябва да бъде даден в градуси.

Пример 5. Даден е четириъгълник ABCD. Страните му образуват дъги на описаната окръжност. Стойностите на градуса AB, BC, CD и AD, съответно, са: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Трябва да намерите _{<От дадения четириъгълник и да запишете отговора в градуси.}