Секунди, допирателни - всичко това можеше да се чуе стотици пъти в уроците по геометрия. Но завършването на училище свърши, годините минават и всички тези знания са забравени. Какво трябва да се помни?
Есенция
Терминът "допирателна към окръжност" вероятно е познат на всеки. Но е малко вероятно всеки да може бързо да формулира нейната дефиниция. Междувременно допирателната е такава права линия, лежаща в една и съща равнина с окръжност, която я пресича само в една точка. Може да има огромно разнообразие от тях, но всички те имат едни и същи свойства, които ще бъдат разгледани по-долу. Както може би се досещате, точката на допир е мястото, където окръжността и линията се пресичат. Във всеки случай е едно, но ако има повече, тогава ще бъде секанта.
История на откриването и изследването
Концепцията за допирателна се появява в древността. Изграждането на тези прави линии, първо до кръг, а след това до елипси, параболи и хиперболи с помощта на линийка и пергел, се извършваше още в началните етапи от развитието на геометрията. Разбира се, историята не е запазила името на откривателя, ноочевидно е, че дори по това време хората са били доста наясно със свойствата на допирателната към окръжността.
В съвремието интересът към този феномен отново се разпалва – започна нов кръг от изучаване на тази концепция, съчетан с откриването на нови криви. И така, Галилей въвежда концепцията за циклоида, а Ферма и Декарт изграждат допирателна към нея. Що се отнася до кръговете, изглежда, че не са останали тайни за древните в тази област.
Свойства
Радиусът, начертан до пресечната точка, ще бъде перпендикулярен на линията. Това е
основното, но не единственото свойство, което има допирателна към окръжност. Друга важна характеристика включва вече две прави линии. И така, през една точка, лежаща извън окръжността, могат да се начертаят две допирателни, като техните сегменти ще бъдат равни. Има и друга теорема по тази тема, но тя рядко се обхваща в рамките на стандартен училищен курс, въпреки че е изключително удобна за решаване на някои задачи. Звучи така. От една точка, разположена извън окръжността, към нея се изтеглят допирателна и секуща. Образуват се отсечки AB, AC и AD. A е пресечната точка на линиите, B е точката на допир, C и D са пресечните точки. В този случай ще бъде валидно следното равенство: дължината на допирателната към окръжността, на квадрат, ще бъде равна на произведението на отсечките AC и AD.
От горното има важна последица. За всяка точка от окръжността можете да построите допирателна, но само една. Доказателството за това е съвсем просто: теоретично пускайки перпендикуляр от радиуса върху него, откриваме, че образуванияттриъгълник не може да съществува. А това означава, че допирателната е единствената.
Сграда
Наред с другите проблеми в геометрията, има специална категория, като правило, а не
обичана от ученици и студенти. За решаване на задачи от тази категория са ви необходими само пергел и линийка. Това са строителни задачи. Има и методи за конструиране на допирателна.
И така, дадени са окръжност и точка, лежаща извън нейните граници. И през тях е необходимо да се направи допирателна. Как да го направя? На първо място, трябва да начертаете сегмент между центъра на окръжността O и дадена точка. След това с помощта на компас го разделете наполовина. За да направите това, трябва да зададете радиуса - малко повече от половината разстояние между центъра на оригиналния кръг и дадената точка. След това трябва да изградите две пресичащи се дъги. Освен това радиусът на компаса не трябва да се променя, а центърът на всяка част от окръжността ще бъде съответно началната точка и O. Пресечните точки на дъгите трябва да бъдат свързани, което ще раздели сегмента наполовина. Задайте радиус на компаса, равен на това разстояние. След това, с центъра в пресечната точка, нарисувайте друг кръг. Върху нея ще лежат както началната точка, така и О. В този случай ще има още две пресечни точки с окръжността, дадена в задачата. Те ще бъдат точките на допир за първоначално дадена точка.
Интересно
Това беше изграждането на допирателни към окръжността, което доведе до раждането на
диференциално смятане. Първата работа по тази тема бешепубликуван от известния немски математик Лайбниц. Той предвиди възможността за намиране на максимуми, минимуми и допирателни, независимо от дробни и ирационални стойности. Е, сега се използва и за много други изчисления.
Освен това, допирателната към окръжността е свързана с геометричното значение на допирателната. Оттам идва и името му. В превод от латински tangens означава „допирателна“. Така това понятие е свързано не само с геометрията и диференциалното смятане, но и с тригонометрията.
Два кръга
Не винаги допирателната засяга само една форма. Ако огромен брой прави линии могат да бъдат начертани в един кръг, тогава защо не и обратното? Мога. Но задачата в този случай е сериозно сложна, тъй като допирателната към две окръжности може да не преминава през нито една точка, а относителното положение на всички тези фигури може да бъде много
различно.
Видове и разновидности
Когато става дума за две окръжности и една или повече линии, дори и да е известно, че това са допирателни, не става веднага ясно как всички тези фигури са разположени една спрямо друга. Въз основа на това има няколко разновидности. И така, кръговете могат да имат една или две общи точки или да нямат изобщо. В първия случай те ще се пресичат, а във втория ще се докоснат. И тук има две разновидности. Ако един кръг е, сякаш, вграден във втория, тогава докосването се нарича вътрешно, ако не, тогава външно. разбират взаимноместоположението на фигурите е възможно не само въз основа на чертежа, но и с информация за сумата от техните радиуси и разстоянието между центровете им. Ако тези две количества са равни, тогава кръговете се допират. Ако първият е по-голям, те се пресичат, а ако е по-малък, значи нямат общи точки.
Същото с прави линии. За всеки два кръга, които нямат общи точки, можете
конструирайте четири допирателни. Две от тях ще се пресичат между фигурите, наричат се вътрешни. Няколко други са външни.
Ако говорим за кръгове, които имат една обща точка, тогава задачата е значително опростена. Факт е, че за всяко взаимно подреждане в този случай те ще имат само една допирателна. И ще премине през точката на тяхното пресичане. Така че изграждането на трудност няма да причини.
Ако фигурите имат две пресечни точки, тогава за тях може да се построи права линия, допирателна към окръжността, както едната, така и втората, но само външната. Решението на този проблем е подобно на това, което ще бъде обсъдено по-долу.
Решаване на проблеми
Както вътрешни, така и външни допирателни към две окръжности не са толкова лесни за конструиране, въпреки че този проблем може да бъде решен. Факт е, че за това се използва спомагателна фигура, така че помислете сами за този метод
доста проблематично. И така, дадени са две окръжности с различни радиуси и центрове O1 и O2. За тях трябва да изградите две двойки допирателни.
На първо място, близо до центъра на по-голямотокръговете трябва да се изградят спомагателни. В този случай разликата между радиусите на двете изходни фигури трябва да се установи на компаса. Допирателните към спомагателната окръжност се изграждат от центъра на по-малката окръжност. След това от O1 и O2 се изтеглят перпендикуляри на тези линии, докато се пресичат с оригиналните фигури. Както следва от основното свойство на допирателната, се намират желаните точки на двете окръжности. Проблемът е решен, поне първата част от него.
За да конструирате вътрешни допирателни, ще трябва да решите практически
подобна задача. Отново е необходима помощна фигура, но този път нейният радиус ще бъде равен на сумата от оригиналните. Допирателните към него се конструират от центъра на една от дадените окръжности. По-нататъшният ход на решението може да се разбере от предишния пример.
Допирателна към окръжност или дори две или повече не е толкова трудна задача. Разбира се, математиците отдавна са престанали да решават такива проблеми ръчно и се доверяват на изчисленията на специални програми. Но не мислете, че сега не е необходимо да можете да го направите сами, защото за да формулирате правилно задача за компютър, трябва да направите и разберете много. За съжаление има опасения, че след окончателния преход към тестовата форма на контрол на знанията, строителните задачи ще създават все повече затруднения за учениците.
Що се отнася до намирането на общи допирателни за повече окръжности, това не винаги е възможно, дори ако те лежат в една и съща равнина. Но в някои случаи можете да намерите такава права линия.
Примери от живота
Обща допирателна към две окръжности често се среща на практика, въпреки че не винаги се забелязва. Конвейери, блокови системи, ремъци за предаване на макари, напрежение на конеца в шевна машина и дори просто верига за велосипеди - всичко това са примери от живота. Така че не мислете, че геометричните проблеми остават само на теория: в инженерството, физиката, строителството и много други области те намират практически приложения.
