Кинематиката е част от физиката, която разглежда законите за движение на телата. Неговата разлика от динамиката е, че не отчита силите, действащи върху движещо се тяло. Тази статия е посветена на въпроса за кинематиката на въртеливото движение.
Ротационно движение и неговата разлика от движение напред
Ако обърнете внимание на околните движещи се обекти, можете да видите, че те се движат или в права линия (колата се движи по пътя, самолетът лети в небето), или в кръг (същата кола влиза в завой, въртенето на колелото). По-сложните видове движение на обектите могат да бъдат сведени, като първо приближение, до комбинация от двата отбелязани типа.
Прогресивното движение включва промяна на пространствените координати на тялото. В този случай често се разглежда като материална точка (геометричните размери не се вземат предвид).
Ротационното движение е вид движение, при коетосистемата се движи в кръг около някаква ос. Освен това обектът в този случай рядко се разглежда като материална точка, най-често се използва друго приближение - абсолютно твърдо тяло. Последното означава, че еластичните сили, действащи между атомите на тялото, се пренебрегват и се приема, че геометричните размери на системата не се променят по време на въртене. Най-простият случай е фиксирана ос.
Кинематиката на транслационното и въртеливото движение се подчинява на същите закони на Нютон. Подобни физически величини се използват за описване на двата вида движение.
Какви количества описват движението във физиката?
Кинематиката на ротационното и транслационното движение използва три основни величини:
- Изминатият път. Ще го обозначим с буквата L за транслационно и θ - за въртеливо движение.
- Скорост. За линеен случай обикновено се пише с латинската буква v, за движение по кръгов път - с гръцката буква ω.
- Ускорение. За линеен и кръгов път се използват съответно символите a и α.
Концепцията за траектория също често се използва. Но за видовете движение на разглежданите обекти тази концепция става тривиална, тъй като транслационното движение се характеризира с линейна траектория, а ротационното - с кръг.
Линейни и ъглови скорости
Нека започнем кинематиката на въртеливото движение на материална точкапогледнато от концепцията за скорост. Известно е, че за транслационното движение на телата тази стойност описва кой път ще бъде преодолян за единица време, тоест:
v=L / t
V се измерва в метри в секунда. За въртене е неудобно да се разглежда тази линейна скорост, тъй като тя зависи от разстоянието до оста на въртене. Въвежда се малко по-различна характеристика:
ω=θ / t
Това е една от основните формули на кинематиката на въртеливото движение. Показва под какъв ъгъл θ цялата система ще се обърне около фиксирана ос за време t.
И двете от горните формули отразяват един и същ физически процес на скорост на движение. Само за линейния случай разстоянието е важно, а за кръглия случай ъгълът на въртене.
И двете формули взаимодействат една с друга. Да вземем тази връзка. Ако изразим θ в радиани, тогава материална точка, въртяща се на разстояние R от оста, след като направи един оборот, ще измине пътя L=2piR. Изразът за линейната скорост ще има формата:
v=L / t=2piR / t
Но съотношението на 2pi радиана към времето t не е нищо друго освен ъглова скорост. Тогава получаваме:
v=ωR
От тук може да се види, че колкото по-голяма е линейната скорост v и по-малък е радиусът на въртене R, толкова по-голяма е ъгловата скорост ω.
Линейно и ъглово ускорение
Друга важна характеристика в кинематиката на въртеливото движение на материална точка е ъгловото ускорение. Преди да го опознаем, некаформула за подобна линейна стойност:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Първият израз отразява моментното ускорение (dt ->0), докато втората формула е подходяща, ако скоростта се променя равномерно във времето Δt. Ускорението, получено във втория вариант, се нарича средно.
Като се има предвид сходството на величините, които описват линейно и въртеливо движение, за ъглово ускорение можем да запишем:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Интерпретацията на тези формули е точно същата като за линейния случай. Единствената разлика е, че a показва колко метра в секунда се променя скоростта за единица време, а α показва колко радиана в секунда се променя ъгловата скорост за същия период от време.
Нека намерим връзката между тези ускорения. Замествайки стойността за v, изразена чрез ω, в едно от двете равенства за α, получаваме:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
От това следва, че колкото по-малък е радиусът на въртене и колкото по-голямо е линейното ускорение, толкова по-голяма е стойността на α.
Изминато разстояние и ъгъл на завой
Остава да дадем формули за последната от трите основни величини в кинематиката на въртеливото движение около фиксирана ос - за ъгъла на въртене. Както в предишните параграфи, първо записваме формулата за равномерно ускорено праволинейно движение, имаме:
L=v0 t + a t2 / 2
Пълната аналогия с ротационното движение води до следната формула за него:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Последният израз ви позволява да получите ъгъла на въртене за всеки момент t. Имайте предвид, че обиколката е 2пи радиана (≈ 6,3 радиана). Ако в резултат на решаването на задачата стойността на θ е по-голяма от определената стойност, тогава тялото е направило повече от един оборот около оста.
Формулата за връзката между L и θ се получава чрез заместване на съответните стойности за ω0 и α чрез линейни характеристики:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Полученият израз отразява значението на самия ъгъл θ в радиани. Ако θ=1 рад, тогава L=R, тоест ъгъл от един радиан лежи върху дъга с дължина един радиус.
Пример за решаване на проблеми
Нека решим следния проблем на ротационната кинематика: знаем, че колата се движи със скорост 70 км/ч. Като се знае, че диаметърът на колелото му е D=0,4 метра, е необходимо да се определи стойността на ω за него, както и броя на оборотите, които ще направи, когато автомобилът измине разстояние от 1 километър.
За да се намери ъгловата скорост, достатъчно е да се заменят известните данни във формулата за свързването им с линейната скорост, получаваме:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
По същия начин за ъгъла θ, до който колелото ще се завърти след преминаване1 км получаваме:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Като се има предвид, че един оборот е 6,2832 радиана, получаваме броя на оборотите на колелото, който съответства на този ъгъл:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 оборота.
Отговорихме на въпросите, използвайки формулите в статията. Също така беше възможно да се реши проблемът по различен начин: да се изчисли времето, за което колата ще измине 1 км, и да се замести във формулата за ъгъла на въртене, от която можем да получим ъгловата скорост ω. Отговорът е намерен.
