Във физиката разглеждането на проблеми с въртящи се тела или системи, които са в равновесие, се извършва с помощта на концепцията за "момент на сила". Тази статия ще разгледа формулата за момента на сила, както и нейното използване за решаване на този тип проблеми.
Момент на сила във физиката
Както е отбелязано във въведението, тази статия ще се фокусира върху системи, които могат да се въртят около ос или около точка. Помислете за пример за такъв модел, показан на фигурата по-долу.
Виждаме, че сивият лост е фиксиран върху оста на въртене. В края на лоста има черен куб с някаква маса, върху който действа сила (червена стрелка). Интуитивно е ясно, че резултатът от тази сила ще бъде въртенето на лоста около оста обратно на часовниковата стрелка.
Моментът на силата е величина във физиката, която е равна на векторното произведение на радиуса, свързващ оста на въртене и точката на приложение на силата (зелен вектор на фигурата) и външната сила себе си. Тоест формулата за момента на сила около оста е написанакакто следва:
M¯=r¯F¯
Резултатът от този продукт е векторът M¯. Неговата посока се определя въз основа на познаването на мултипликаторните вектори, тоест r¯ и F¯. Съгласно определението за кръстосано произведение, M¯ трябва да бъде перпендикулярна на равнината, образувана от векторите r¯ и F¯, и насочена в съответствие с правилото на дясната ръка (ако четири пръста на дясната ръка са поставени по протежение на първия умножен вектор към края на втория, след което палецът показва къде е насочен желаният вектор). На фигурата можете да видите къде е насочен векторът M¯ (синя стрелка).
Скаларна нотация M¯
На фигурата в предишния параграф, силата (червена стрелка) действа върху лоста под ъгъл от 90o. В общия случай може да се приложи под абсолютно всякакъв ъгъл. Разгледайте изображението по-долу.
Тук виждаме, че силата F вече действа върху лоста L под определен ъгъл Φ. За тази система формулата за момента на сила спрямо точка (показана със стрелка) в скаларна форма ще приеме формата:
M=LFsin(Φ)
От израза следва, че моментът на силата M ще бъде толкова по-голям, колкото по-близо е посоката на действие на силата F до ъгъла 90o спрямо L Обратно, ако F действа по протежение на L, тогава sin(0)=0 и силата не създава никакъв момент (M=0).
Когато разглеждаме момента на сила в скаларна форма, често се използва концепцията за "лост на сила". Тази стойност е разстоянието между оста (точкатаротация) и вектора F. Прилагайки това определение към фигурата по-горе, можем да кажем, че d=Lsin(Φ) е лостът на силата (равенството следва от определението на тригонометричната функция "синус"). Чрез лоста на силата, формулата за момента M може да бъде пренаписана, както следва:
M=dF
Физическо значение на M
Разглежданата физическа величина определя способността на външната сила F да упражнява ротационен ефект върху системата. За да приведете тялото в ротационно движение, е необходимо да го информирате за някакъв момент M.
Отличен пример за този процес е отварянето или затварянето на вратата на стая. Като държи дръжката, човекът прави усилие и завърта вратата на пантите. Всеки може да го направи. Ако се опитате да отворите вратата, като действате върху нея близо до пантите, тогава ще трябва да положите големи усилия, за да я преместите.
Друг пример е разхлабването на гайка с гаечен ключ. Колкото по-къс е този ключ, толкова по-трудно е да се изпълни задачата.
Посочените характеристики се демонстрират от формулата за момента на сила над рамото, която беше дадена в предишния параграф. Ако M се счита за постоянна стойност, тогава колкото по-малко е d, толкова по-голямо F трябва да се приложи, за да се създаде даден момент на сила.
Няколко действащи сили в системата
Случаите бяха разгледани по-горе, когато само една сила F действа върху система, способна да се върти, но какво ще стане, ако има няколко такива сили? Всъщност тази ситуация е по-честа, тъй като силите могат да действат върху систематаразлично естество (гравитационно, електрическо, триене, механично и други). Във всички тези случаи, резултантният момент на сила M¯ може да се получи с помощта на векторната сума на всички моменти Mi¯, т.е.:
M¯=∑i(Mi¯), където i е числото на силата Fi
От свойството адитивност на моментите следва важен извод, който се нарича теорема на Вариньон, наречена на името на математика от края на 17 - началото на 18 век - французина Пиер Вариньон. Той гласи: „Сборът от моментите на всички сили, действащи върху разглежданата система, може да се представи като момент на една сила, който е равен на сбора от всички останали и се прилага към определена точка“. Математически теоремата може да бъде написана по следния начин:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Тази важна теорема често се използва на практика за решаване на проблеми с въртенето и баланса на телата.
Действа ли моментът на сила?
Анализирайки горните формули в скаларна или векторна форма, можем да заключим, че стойността на M е някаква работа. Всъщност размерът му е Nm, което в SI съответства на джаула (J). Всъщност моментът на сила не е работа, а само количество, което е способно да го извърши. За да се случи това, е необходимо да има кръгово движение в системата и продължително действие M. Следователно формулата за работата на момента на силата се записва по следния начин:
A=Mθ
BВ този израз θ е ъгълът, през който е извършено завъртането от момента на силата M. В резултат на това единицата за работа може да бъде записана като Nmrad или Jrad. Например, стойност от 60 Jrad показва, че когато се завърти с 1 радиан (приблизително 1/3 от окръжността), силата F, която създава момента, в който M е извършил 60 джаула работа. Тази формула често се използва при решаване на проблеми в системи, където действат сили на триене, както ще бъде показано по-долу.
Момент на сила и момент на инерция
Както е показано, въздействието на момента M върху системата води до появата на въртеливо движение в нея. Последният се характеризира с количество, наречено "импульс". Може да се изчисли по формулата:
L=Iω
Тук I е моментът на инерция (стойност, която играе същата роля при въртенето като масата при линейното движение на тялото), ω е ъгловата скорост, тя е свързана с линейната скорост по формулата ω=v/r.
И двата момента (импульс и сила) са свързани един с друг чрез следния израз:
M=Iα, където α=dω / dt е ъгловото ускорение.
Нека дадем още една формула, която е важна за решаването на задачи за работата на моментите на силите. Използвайки тази формула, можете да изчислите кинетичната енергия на въртящо се тяло. Тя изглежда така:
Ek=1/2Iω2
След това представяме два проблема с решения, където показваме как да използваме разглежданите физически формули.
Равновесие на няколко тела
Първата задача е свързана с равновесието на система, в която действат няколко сили. НаФигурата по-долу показва система, върху която действат три сили. Необходимо е да се изчисли каква маса трябва да бъде окачен обектът от този лост и в кой момент трябва да се направи, така че тази система да е в баланс.
От условията на задачата можем да разберем, че за да я решим, трябва да използваме теоремата на Вариньон. На първата част от проблема може да се отговори веднага, тъй като теглото на обекта, който ще бъде окачен от лоста, ще бъде:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Знаците тук са избрани, като се има предвид, че силата, която върти лоста обратно на часовниковата стрелка, създава отрицателен момент.
Позицията на точка d, където това тегло трябва да бъде окачено, се изчислява по формулата:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Забележете, че използвайки формулата за момента на гравитацията, изчислихме еквивалентната стойност M на тази, създадена от три сили. За да бъде системата в равновесие, е необходимо да се окачи тяло с тегло 35 N в точка 4, 714 m от оста от другата страна на лоста.
Проблем с преместването на диск
Решението на следния проблем се основава на използването на формулата за момента на силата на триене и кинетичната енергия на тялото на въртене. Задача: Даден е диск с радиус r=0,3 метра, който се върти със скорост ω=1 rad/s. Необходимо е да се изчисли колко разстояние може да измине по повърхността, ако коефициентът на триене при търкаляне е Μ=0,001.
Този проблем се решава най-лесно, ако използвате закона за запазване на енергията. Имаме началната кинетична енергия на диска. Когато започне да се търкаля, цялата тази енергия се изразходва за нагряване на повърхността поради действието на силата на триене. Приравнявайки двете количества, получаваме израза:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Първата част от формулата е кинетичната енергия на диска. Втората част е работата на момента на силата на триене F=ΜN/r, приложена към ръба на диска (M=Fr).
Като се има предвид, че N=mg и I=1/2mr2, ние изчисляваме θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Тъй като 2pi радиани съответстват на дължината на 2pir, тогава получаваме, че необходимото разстояние, което дискът ще покрие, е:
s=θr=2,293580,3=0,688 m или около 69 cm
Забележете, че масата на диска не влияе на този резултат.
