Цилиндърът е една от простите триизмерни фигури, която се изучава в училищния курс по геометрия (секционна твърда геометрия). В този случай често възникват проблеми при изчисляването на обема и масата на цилиндъра, както и при определянето на неговата повърхност. Отговорите на отбелязаните въпроси са дадени в тази статия.
Какво е цилиндър?
Преди да пристъпим към отговора на въпроса каква е масата на цилиндъра и неговия обем, си струва да помислим каква е тази пространствена фигура. Веднага трябва да се отбележи, че цилиндърът е триизмерен обект. Тоест в пространството можете да измерите три негови параметъра по всяка от осите в декартова правоъгълна координатна система. Всъщност, за да определите недвусмислено размерите на цилиндъра, достатъчно е да знаете само два от неговите параметъра.
Цилиндърът е триизмерна фигура, образувана от два кръга и цилиндрична повърхност. За по-ясно представяне на този обект е достатъчно да вземете правоъгълник и да започнете да го въртите около която и да е от неговите страни, което ще бъде оста на въртене. В този случай въртящият се правоъгълник ще опише форматавъртене - цилиндър.
Две кръгли повърхности се наричат основи на цилиндъра, те се характеризират с определен радиус. Разстоянието между основите се нарича височина. Двете основи са свързани помежду си с цилиндрична повърхност. Правата, минаваща през центровете на двете окръжности, се нарича ос на цилиндъра.
Обем и повърхност
Както можете да видите от горното, цилиндърът се определя от два параметъра: височината h и радиуса на основата му r. Познавайки тези параметри, е възможно да се изчислят всички други характеристики на разглежданото тяло. По-долу са основните:
- Площта на базите. Тази стойност се изчислява по формулата: S1=2pir2, където pi е pi, равно на 3, 14. Цифра 2 във формула се появява, защото цилиндърът има две еднакви основи.
- Цилиндрична повърхност. Може да се изчисли по следния начин: S2=2pirh. Лесно е да се разбере тази формула: ако цилиндрична повърхност се изреже вертикално от една основа към друга и се разшири, тогава ще се получи правоъгълник, чиято височина ще бъде равна на височината на цилиндъра, а ширината ще съответства на обиколката на основата на триизмерната фигура. Тъй като площта на получения правоъгълник е произведението на неговите страни, които са равни на h и 2pir, се получава горната формула.
- Площ на цилиндъра. То е равно на сбора от площите на S1 и S2, получаваме: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Обем. Тази стойност е лесна за намиране, просто трябва да умножите площта на една основа по височината на фигурата: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Определяне на масата на цилиндър
Накрая си струва да преминем директно към темата на статията. Как да определим масата на цилиндъра? За да направите това, трябва да знаете неговия обем, формулата за изчисляване на която беше представена по-горе. И плътността на веществото, от което се състои. Масата се определя по проста формула: m=ρV, където ρ е плътността на материала, който образува въпросния обект.
Понятието за плътност характеризира масата на веществото, което се намира в единица обем пространство. Например. Известно е, че желязото има по-висока плътност от дървото. Това означава, че в случай на равни обеми желязо и дървесина, първото ще има много по-голяма маса от второто (приблизително 16 пъти).
Изчисляване на масата на меден цилиндър
Помислете за прост проблем. Необходимо е да се намери масата на цилиндър, изработен от мед. За яснота нека цилиндърът има диаметър 20 см и височина 10 см.
Преди да започнете да решавате проблема, трябва да се справите с изходните данни. Радиусът на цилиндъра е равен на половината от диаметъра му, което означава r=20/2=10 см, докато височината е h=10 см. Тъй като цилиндърът, разгледан в задачата, е направен от мед, тогава, позовавайки се на референтни данни, ние изписваме стойността на плътността на този материал: ρ=8, 96 g/cm3 (за температура 20 °C).
Сега можете да започнете да решавате проблема. Първо, нека изчислим обема: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Тогава масата на цилиндъра ще бъде: m=ρV=8,963140=28134 грама или приблизително 28 килограма.
Трябва да обърнете внимание на размерите на единиците по време на тяхното използване в съответните формули. И така, в задачата всички параметри бяха представени в сантиметри и грамове.
Хомогенни и кухи цилиндри
От резултата, получен по-горе, може да се види, че меден цилиндър с относително малки размери (10 cm) има голяма маса (28 kg). Това се дължи не само на факта, че е изработен от тежък материал, но и на факта, че е хомогенен. Този факт е важно да се разбере, тъй като горната формула за изчисляване на масата може да се използва само ако цилиндърът е изцяло (отвън и отвътре) направен от същия материал, тоест е хомогенен.
На практика често се използват кухи цилиндри (например цилиндрични бъчви за вода). Тоест, направени са от тънки листове от някакъв материал, но вътре са празни. За кух цилиндър посочената формула за изчисляване на масата не може да се използва.
Изчисляване на масата на кух цилиндър
Интересно е да се изчисли каква маса ще има един меден цилиндър, ако е празен вътре. Например, нека бъде направен от тънък меден лист с дебелина само d=2 mm.
За да решите този проблем, трябва да намерите обема на самата мед, от която е направен обектът. Не обемът на цилиндъра. Тъй като дебелинаталистът е малък в сравнение с размерите на цилиндъра (d=2 mm и r=10 cm), тогава обемът на медта, от който е направен обектът, може да се намери чрез умножаване на цялата повърхност на цилиндъра по дебелина на медния лист, получаваме: V=dS 3=d2pir(r+h). Замествайки данните от предишния проблем, получаваме: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Масата на кух цилиндър може да се получи чрез умножаване на получения обем мед, който е бил необходим за производството му, с плътността на медта: m=251,28,96=2251 g или 2,3 kg. Тоест разглежданият кух цилиндър тежи 12 (28, 1/2, 3) пъти по-малко от хомогенен.
