Питагор твърди, че числото е в основата на света заедно с основните елементи. Платон вярвал, че числото свързва явлението и ноумена, помагайки за познаване, измерване и правене на заключения. Аритметиката произлиза от думата "аритмос" - число, началото на началото в математиката. Може да опише всеки обект - от елементарна ябълка до абстрактни пространства.
Нужда като фактор за развитие
В ранните етапи на формирането на обществото нуждите на хората се ограничаваха до необходимостта да се броят - един чувал зърно, два чувала зърно и т.н. За това бяха достатъчни естествени числа, чийто набор е безкрайна положителна последователност от цели числа N.
По-късно, с развитието на математиката като наука, се появи нужда от отделно поле на цели числа Z - включва отрицателни стойности и нула. Появата му на ниво домакинство беше провокирана от факта, че в първичното счетоводство беше необходимо по някакъв начин да се коригирадългове и загуби. На научно ниво отрицателните числа направиха възможно решаването на най-простите линейни уравнения. Освен всичко друго, изображението на тривиална координатна система вече стана възможно, след като се появи референтна точка.
Следващата стъпка беше необходимостта от въвеждане на дробни числа, тъй като науката не стои на едно място, все повече и повече открития изискваха теоретична основа за нов тласък на растежа. Ето как се появи полето на рационалните числа Q.
Накрая рационалността престана да удовлетворява исканията, защото всички нови заключения изискваха обосновка. Появи се полето на реалните числа R, произведенията на Евклид за несъизмеримостта на определени величини поради тяхната ирационалност. Тоест древногръцките математици са позиционирали числото не само като константа, но и като абстрактна величина, която се характеризира със съотношението на несъизмерими величини. Поради факта, че се появиха реални числа, такива количества като "pi" и "e" "видяха светлината", без които съвременната математика не би могла да се осъществи.
Последната иновация беше комплексното число C. То отговори на редица въпроси и опроверга въведените по-рано постулати. Поради бързото развитие на алгебрата резултатът беше предсказуем - имайки реални числа, решаването на много проблеми беше невъзможно. Например, благодарение на комплексните числа, теорията за струните и хаоса се открои и уравненията на хидродинамиката се разшириха.
Теория на множеството. Cantor
Концепцията за безкрайност по всяко времепредизвика полемика, тъй като не можеше да бъде нито доказано, нито опровергано. В контекста на математиката, която оперира със строго проверени постулати, това се прояви най-ясно, особено след като теологичният аспект все още има тежест в науката.
Въпреки това, благодарение на работата на математика Георг Кантор, всичко си дойде на мястото с времето. Той доказа, че има безкраен брой безкрайни множества и че полето R е по-голямо от полето N, дори и двете да нямат край. В средата на 19-ти век идеите му бяха гръмко наричани глупости и престъпление срещу класическите, непоклатими канони, но времето постави всичко на мястото си.
Основни свойства на полето R
Реалните числа имат не само същите свойства като подмножествата, които са включени в тях, но също така се допълват от други поради мащаба на техните елементи:
- Нула съществува и принадлежи на полето R. c + 0=c за всяко c от R.
- Нула съществува и принадлежи на полето R. c x 0=0 за всяко c от R.
- Връзката c: d за d ≠ 0 съществува и е валидна за всяко c, d от R.
- Полето R е подредено, тоест ако c ≦ d, d ≦ c, тогава c=d за всяко c, d от R.
- Добавянето в полето R е комутативно, т.е. c + d=d + c за всяко c, d от R.
- Умножението в полето R е комутативно, т.е. c x d=d x c за всяко c, d от R.
- Добавянето в полето R е асоциативно, т.е. (c + d) + f=c + (d + f) за всяко c, d, f от R.
- Умножението в полето R е асоциативно, т.е. (c x d) x f=c x (d x f) за всяко c, d, f от R.
- За всяко число в полето R има противоположност, така че c + (-c)=0, където c, -c е от R.
- За всяко число от полето R има обратно обратно, така че c x c-1 =1, където c, c-1 от R.
- Единицата съществува и принадлежи на R, така че c x 1=c, за всяко c от R.
- Законът за разпределението е валиден, така че c x (d + f)=c x d + c x f, за всяко c, d, f от R.
- В поле R нулата не е равна на единица.
- Полето R е преходно: ако c ≦ d, d ≦ f, тогава c ≦ f за всяко c, d, f от R.
- В полето R редът и събирането са свързани: ако c ≦ d, тогава c + f ≦ d + f за всяко c, d, f от R.
- В полето R редът и умножението са свързани: ако 0 ≦ c, 0 ≦ d, тогава 0 ≦ c x d за всяко c, d от R.
- И отрицателните, и положителните реални числа са непрекъснати, тоест за всяко c, d от R има f от R, така че c ≦ f ≦ d.
Модул в поле R
Реалните числа включват модул.
Означено като |f| за всяко f от R. |f|=f, ако 0 ≦ f и |f|=-f, ако 0 > f. Ако разглеждаме модула като геометрична величина, тогава това е изминатото разстояние - няма значение дали сте „преминали“нула на минус или напред към плюс.
Комплексни и реални числа. Какви са приликите и какви са разликите?
Като цяло комплексните и реалните числа са едно и също, с изключение на товавъображаема единица i, чийто квадрат е -1. Елементите на полетата R и C могат да бъдат представени като следната формула:
c=d + f x i, където d, f принадлежат на полето R и i е въображаемата единица
За да получите c от R в този случай, f е просто равно на нула, тоест остава само реалната част от числото. Поради факта, че полето на комплексните числа има същия набор от свойства като полето на реалните числа, f x i=0, ако f=0.
По отношение на практическите разлики, например в полето R, квадратното уравнение не се решава, ако дискриминантът е отрицателен, докато полето C не налага такова ограничение поради въвеждането на имагинерната единица i.
Резултати
"Тухлите" на аксиомите и постулатите, на които се основава математиката, не се променят. Поради увеличаването на информацията и навлизането на нови теории върху някои от тях се поставят следните „тухли“, които в бъдеще могат да станат основа за следващата стъпка. Например естествените числа, въпреки факта, че са подмножество на реалното поле R, не губят своята релевантност. На тях се основава цялата елементарна аритметика, с която започва човешкото познание за света.
От практическа гледна точка реалните числа изглеждат като права линия. На него можете да изберете посоката, да посочите произхода и стъпката. Правата линия се състои от безкраен брой точки, всяка от които съответства на едно реално число, независимо дали е рационална или не. От описанието става ясно, че става дума за понятие, върху което е изградена както математиката като цяло, така и математическият анализ като цяло.конкретно.
