Слушайки учител по математика, повечето ученици приемат материала като аксиома. В същото време малко хора се опитват да стигнат до дъното и да разберат защо „минус“на „плюс“дава знак „минус“, а при умножаване на две отрицателни числа излиза положително.
Закони на математиката
Повечето възрастни не могат да обяснят на себе си или на децата си защо се случва това. Те бяха усвоили добре този материал в училище, но дори не се опитаха да разберат откъде идват такива правила. Но напразно. Често съвременните деца не са толкова лековерни, те трябва да стигнат до дъното на въпроса и да разберат например защо „плюс“върху „минус“дава „минус“. И понякога момчетата умишлено задават трудни въпроси, за да се насладят на момента, в който възрастните не могат да дадат разбираем отговор. И наистина е катастрофа, ако млад учител попадне в бъркотия…
Между другото, трябва да се отбележи, че правилото, споменато по-горе, е валидно както за умножение, така и за деление. Произведението на отрицателно и положително число ще даде само минус. Ако говорим за две цифри със знак "-", тогава резултатът ще бъде положително число. Същото важи и за разделянето. Акоедно от числата е отрицателно, тогава частното също ще бъде със знак “-”.
За да се обясни правилността на този закон на математиката, е необходимо да се формулират аксиомите на пръстена. Но първо трябва да разберете какво е това. В математиката е обичайно пръстен да се нарича множество, в което участват две операции с два елемента. Но е по-добре да се справим с това с пример.
Аксиома на пръстена
Има няколко математически закона.
- Първият е комутативен, според него C + V=V + C.
- Вторият се нарича асоциативен (V + C) + D=V + (C + D).
Те също се подчиняват на умножението (V x C) x D=V x (C x D).
Никой не е отменил правилата, по които се отварят скоби (V + C) x D=V x D + C x D, също така е вярно, че C x (V + D)=C x V + C x D.
Освен това е установено, че в пръстена може да се въведе специален елемент, неутрален по отношение на събирането, с помощта на който ще бъде вярно следното: C + 0=C. Освен това за всяко C има противоположен елемент, който може да бъде обозначен като (-C). В този случай C + (-C)=0.
Извеждане на аксиоми за отрицателни числа
Приемайки горните твърдения, можем да отговорим на въпроса: „„Плюс“до „минус“дава какъв знак? Познавайки аксиомата за умножението на отрицателни числа, е необходимо да се потвърди, че наистина (-C) x V=-(C x V). И също така, че е вярно следното равенство: (-(-C))=C.
За да направим това, първо ще трябва да докажем, че всеки от елементите има само единсрещу брат. Помислете за следния пример за доказателство. Нека се опитаме да си представим, че две числа са противоположни за C - V и D. От това следва, че C + V=0 и C + D=0, тоест C + V=0=C + D. Запомняйки законите за изместване а относно свойствата на числото 0, можем да разгледаме сбора от трите числа: C, V и D. Нека се опитаме да разберем стойността на V. Логично е, че V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, тъй като стойността на C + D, както беше прието по-горе, е равна на 0. Следователно, V=V + C + D.
Стойността за D се извлича по абсолютно същия начин: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Въз основа на това става ясно, че V=D.
За да разберете защо "плюсът" върху "минус" дава "минус", трябва да разберете следното. И така, за елемента (-C), противоположните са C и (-(-C)), тоест те са равни един на друг.
Тогава е очевидно, че 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. От това следва, че C x V е противоположно на (-)C x V, така че (-C) x V=-(C x V).
За пълна математическа строгост също е необходимо да се потвърди, че 0 x V=0 за всеки елемент. Ако следвате логиката, тогава 0 x V=(0 + 0) x V=0 x V + 0 x V. Това означава, че добавянето на продукта 0 x V не променя зададената сума по никакъв начин. В крайна сметка този продукт е равен на нула.
Познавайки всички тези аксиоми, можете да заключите не само колко дава "плюс" от "минус", но и какво се случва, когато умножите отрицателни числа.
Умножение и деление на две числа със знак "-"
Ако не навлизате дълбоко в математикатанюанси, можете да опитате да обясните правилата на операциите с отрицателни числа по по-прост начин.
Нека приемем, че C - (-V)=D, така че C=D + (-V), т.е. C=D - V. Прехвърляме V и получаваме C + V=D. Тоест C + V=C - (-V). Този пример обяснява защо в израз, в който има два "минуса" подред, споменатите знаци трябва да бъдат променени на "плюс". Сега нека се заемем с умножението.
(-C) x (-V)=D, можете да добавяте и изваждате два идентични продукта към израза, който няма да промени стойността му: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Спомняйки си правилата за работа със скоби, получаваме:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
От това следва, че C x V=(-C) x (-V).
По подобен начин можем да докажем, че разделянето на две отрицателни числа ще доведе до положително.
Общи математически правила
Разбира се, това обяснение не е подходящо за ученици от началното училище, които тепърва започват да учат абстрактни отрицателни числа. За тях е по-добре да обясняват на видими обекти, като манипулират познатия термин през огледалото. Например там се намират изобретени, но не съществуващи играчки. Те могат да бъдат показани със знак "-". Умножаването на два огледални обекта ги прехвърля в друг свят, който е приравнен към настоящето, тоест в резултат имаме положителни числа. Но умножението на абстрактно отрицателно число с положително дава само познатия на всички резултат. защото "плюс"умножете по "минус" дава "минус". Вярно е, че в начална училищна възраст децата наистина не се опитват да се ровят във всички математически нюанси.
Въпреки че, ако погледнете истината, за много хора, дори и с висше образование, много правила остават загадка. Всеки приема за даденост това, което учителите го учат, без да се притеснява да се задълбочи във всички сложности, с които е изпълнена математиката. "Минус" на "минус" дава "плюс" - всеки знае за това без изключение. Това е вярно както за цели числа, така и за дробни числа.
