Диференциране и интегриране: дефиниция, концепция, форми

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-08 04:56

Диференцирането и интегрирането са уравнение, съдържащо производни. Последните, ако се придържаме към математическите свойства, се делят на обикновени и частни. Производните представляват скоростта на промяна, а диференциалното уравнение описва връзката между количество, което постоянно се променя по време на процеса на решение, образувайки нови променливи.

Професор от университета може лесно да се ориентира в сложни операции с интеграли, да ги преобразува в едно цяло и след това да докаже смятането по обратния метод. Въпреки това, възможността за бързо припомняне на детайлите на сложни формули не е достъпна за всеки, така че се препоръчва да опресните паметта си или да откриете нов материал.

Значение и основна употреба

В научната литература производната се дефинира като скорост, подлежаща на трансформация на функция въз основа на една от нейните променливи. Диференцирането е същността на смятането, което може да се сравни с началото на търсенето на допирателна към точка. Както знаете, последният има различни видове иизисква изчислителни формули за търсене. Да предположим, че трябва да намерите наклона на допирателната към графиката в точка P. Как да направите това? Достатъчно е да начертаете дъговидна ивица през обозначения обект и да я повдигнете нагоре, докато получим разделена линия.

Функция f в x се нарича диференцируема в точката x=a, ако производната f '(a) съществува при всяко обозначение на нейната област. Нека демонстрираме пример:

f '(а)=lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h

За да се подложи уравнението на диференциране и интегриране на функции, така че местоположението му да стане възможно във всяка точка x, то не трябва да се прекъсва. Изграждайки предварително схематично изображение, можете да проверите валидността на твърдението. Именно поради тази причина домейнът f'(x) се дефинира от съществуването на своите граници.

Да приемем, че y=f(x) е функция на x, тогава производната на f(x) е дадена като dy/dx. Дефинира се също като линейно уравнение, където е необходимо да се намерят необходимите данни за y.

Обаче, ако търсим производната на y в първия случай, тогава в следващия случай трябва да намерим f(x) на x.

d/dx × (f(x)) l_a или df/dx l_a

Следователно, обозначаването на скоростта на промяна на функцията f(x) спрямо x в точка a, лежаща на нейната повърхност.

Ако знаем производната f', която е диференцируема в своята област, тогава можем да намерим нейната стойност f. В интегралното смятане ние наричаме f анти-производна или примитив на функцията f'. Методът за изчисляването му е известен като антидиференциация.или интеграция.

Видове и форми

Уравнение с един или повече термини, което включва производни на зависимата променлива по отношение на независимата, е известно като диференциал. С други думи, той се състои от набор от числови стойности, обикновени или частни, подлежащи на промяна в процеса на решение.

В момента има следните типове диференциални уравнения.

Обикновено. Просто равенство, пряко зависимо от променлива:

dy/dx + 5x=5y

Частични деривати:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Най-висок коефициент. Този вид се характеризира с участие в реда на диференциалното уравнение, както е показано в примера по-долу, където е равно на 3. Броят се счита за най-голям от присъстващите:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Функциите могат да приемат няколко форми, но за предпочитане е да се използва единична кавичка с характерни формули за интегриране и диференциране.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y''=d³y/dx³

Линеен. Променливата в уравнението се повдига на степен на единица. Графиката на този вид функция обикновено е права линия. Например (3x + 5), но (x³ + 4x^{2) не е от този тип, защото изисква различно решение.}

dy/dx + xy=5x

Нелинейни. Всяко интегриране и диференциране на редове с двойни начини за получаване на равенство - вижте разглежданата форма:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Методи за бързо получаване на резултати

Не е достатъчно да погледнете формуляра, за да разберете как да се справите и приложите придобитите знания на практика. В момента има няколко начина за решаване на диференциалното уравнение.

Това е:

1. Разделяне на променлива. Изпълнява се, когато примерът може да бъде нарисуван като dy / dx=f(y) g(x). Особеността е във факта, че f и g са функции, които принадлежат на техните стойности. Поради това задачата трябва да бъде трансформирана: 1/ f(y) dy=g(x) dx. И едва след това преминете към следващия елемент.
2. Метод на интегриращия фактор. Използва се, когато примерът е dy / dx + p(x) y=q(x), където p и q са функции само на x.

Изчисленията на диференциала от първи ред изглеждат като y'+ P(x) y=Q(x), защото съдържат необходимите функции и производната на y. Следващото увеличаване на името работи на същия принцип. Например, производните на неизвестна функция могат да се окажат както частни, така и обикновени.

Неопределени интеграли

Ако ви е дадена скоростта на вашия велосипед, когато отидете на каране, в зависимост от времето - можете ли да изчислите изминатото разстояние, като използвате прекараните минути? Тази задача изглежда като непосилна тежест, но интегралипомогнете да се справите с тези свойства възможно най-ефективно, като получите резултата.

Научната литература подчертава, че те са обратната страна на диференциацията. Всъщност интеграцията е метод за добавяне на неща. Той свързва частиците заедно, създавайки нещо ново – цялото. Основното нещо във всеки подобен пример е да се намерят неопределени интеграли и да се проверят резултатите от интегрирането чрез диференциране. Това ще помогне да се избегнат ненужни грешки.

Ако ще намерите площта на произволна крива, например y=f(x), използвайте този метод. Не забравяйте, че само вниманието ще ви спаси от грешка.

Формули за решение

И така, след като се запознахме с основната концепция за диференциране и интегриране - обратно изчисление чрез функции, е необходимо да разгледаме накратко някои от основните положения. Те са изброени по-долу.

Основни правила за изчисление

Интегрирани функции като f (x) могат лесно да бъдат преведени в равенство, ако уравнението е изразено като:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Тук F (x) се нарича антидериват или примитивен. f(x) - интегрално число. dx - действа като допълнителен числен агент. C е интегрирана или произволна константа. x - действа в зависимост от страната на равенството.

От горното твърдение можем да заключим, че интегрирането и диференцирането на редовете са два противоположни процеса. Заедно те действат като един от видовете насочени операцииполучаване на крайния резултат върху самото уравнение.

Сега, когато знаем повече за характеристиките на смятането, се препоръчва да подчертаем основните разлики, необходими за по-нататъшно разбиране:

1. Диференцирането и интегрирането могат едновременно да задоволят правилата за линейност.
2. Операциите са насочени към намиране на най-точното решение, но предполагат ограничения за тяхното определяне.
3. При диференциране на полиномен пример резултатът е с 1 по-малък от степента на функцията, докато в случай на интегриране полученият резултат се трансформира в друг, действайки по обратния начин.
4. Двата вида разтвор, както споменахме по-рано, са противоположни един на друг. Те се изчисляват с помощта на формулите за интегриране и диференциране.
5. Производната на всяка функция е уникална, но, от друга страна, два интеграла, в един пример, могат да се различават с константа. Именно това правило представлява основната трудност при изпълнението на задачите.
6. Когато работим с деривати, можем да разгледаме деривати в даден момент. Подобно на интегралите, те предоставят функции през интервал.
7. Геометрично, производната описва скоростта на промяна на една величина спрямо друга, докато неопределеният интеграл представлява крива. Той е разположен в успоредна посока и също има допирателни, когато назъбените линии се пресичат с други, ортогонални на оста, представляваща променливата.

Методи за добавяне

Ако имате проблеми с това как се прилага сумиранетоматематически операции за диференциране на интегриране, трябва внимателно да се запознаете с основните формули. Те са аксиома в преподаването, затова се използват навсякъде. Моля, обърнете внимание, когато се прилагат към вашите собствени примери, формулите са правилни само ако започват с i=1.

Решение парче по парче

Понякога една функция изисква нестандартен подход, за да стигне до крайния резултат и да удовлетвори условията за равенство. Терминалното интегриране и диференциране на редовете се основава на идентичност, която се изразява с: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Алгоритъмът на разглежданата техника изглежда така:

1. Изразете интегрирана функция като продукт на два израза. Да означим едното от тях f (x), другото g' (x).
2. Сега продължете да идентифицирате две други формули, които могат да бъдат приложени в първия параграф. Линията ще се промени. Чрез диференциране преобразуваме f '(x), за да получим изразите f(x). Да преминем към другата част – g (x) се интегрира в g'(x). В този случай dx остава в оригиналната си форма и не се използва.
3. Вмъкнете получените изрази във формулата на части. Това завършва процедурата и сега можете да опитате да оцените новия интеграл вдясно, тъй като стана много по-лесно за разбиране.

По-рано този метод включваше интегриране по части с помощта на матрица. Методът беше успешен, но отне много време, тъй като в момента се използва по-рядко, специалнослучаи, в които е почти невъзможно да се намери решение. За да направите това, просто поставете f и g' в първия ред и изчислете f' и g във втория.

Защо се нуждаем от интеграция по части?

Ситуациите се случват различни. Понякога решенията са много по-трудни, отколкото на пръв поглед. Следователно е необходимо да се откроят основните проблеми, които често се срещат при почленно интегриране и диференциране на степенните редове. Помислете за две основни правила.

Първо, частта, която възнамеряваме да интегрираме, тоест избраната за g '(x), трябва да можем да трансформираме. Важно е да направите това възможно най-бързо. Въпросът е, че комплексното интегриране за g рядко води до подобрен интеграл, увеличавайки сложността. Всичко това се отразява негативно на свободата на нашите действия по време на решения, а също така зависи от мощностите, синусите и косинусите. Може да отнеме време, за да намерите правилния отговор, но да доведе до правилния, а не до объркващия.

На второ място, всичко останало, тоест частта, която възнамеряваме да разграничим и обозначим F, трябва да изпъкне забележимо след трансформацията. След проста процедура ще забележим, че новият интеграл ще бъде по-опростен от своя предшественик.

И така, когато комбинираме две правила и ги използваме за решаване, получаваме възможността да използваме диференцирането и интегрирането на функциите на степента, което има смисъл да се разглежда на части.

Има и начин за премахване на x, който ви позволява ефективно да използвате трансформации в различниситуации. Например, можем лесно да интегрираме, като умножим функция по полином, който отменяме с диференциране.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

За f вземаме степента на x (в по-общ случай, полином), а също така използваме g’. Очевидно всяко диференциране намалява степента на числото с единица, следователно, ако в примера е достатъчно високо, приложете почленно интегриране няколко пъти. Това ще ви помогне да спестите време.

Сложност на някои уравнения

В този случай говорим за диференциране и интегриране на степенни редове. Функцията може да се разглежда така, сякаш x е площта на интервала на сближаване на точките. Вярно е, че методът не е подходящ за всеки. Факт е, че всяка функция може да бъде изразена като степенен ред, трансформиращ се в линейна структура и обратно.

Например, дадено е_{x. Можем да го изразим като уравнение, което всъщност е просто безкраен полином. Силовият ред се вижда лесно чрез изчисляване, но не винаги е ефективен.}

Определен интеграл като ограничение на сумата

Вижте следното графично интегриране и диференциране.

За да разберете лесно сложна функция, достатъчно е да я разберете задълбочено. Нека оценим площта на PRSQP между кривата y=f (x), оста x и координатите "x=a" и "x=b". Сега разделете интервала [a, b] на 'n' равни подинтервали, обозначени със следнотопо този начин:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Където x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh и x =b=a + nh или n=(b - a) / h. (един).

Забележете, че като n → ∞ h → 0.

Разглежданото PRSQP пространство е сумата от всички "n" поддомейни, където всеки е дефиниран на определена посредственост [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. С правилния подход тези функции могат да бъдат диференцирани и интегрирани за бързо решение.}

Сега погледнете ABDM на снимката. Въз основа на него е препоръчително да направите следното наблюдение за областите: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Също така имайте предвид, че когато h → 0 или x_r - x_{r-1 → 0, и трите области стават почти равни една на друга приятел. Следователно имаме:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

или S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

В този случай s и S означават сумата от площите на всички долни и горни правоъгълници, издигнати над интервалите [х _r–1, x_{r] за r=1, 2, 3, …, n съответно. За да представим това в перспектива, уравнение (1) може да бъде пренаписано катоформа:}

s < площ (PRSQP) < S_{… (4)}

В допълнение се приема, че граничните стойности (2) и (3) са еднакви и в двата случая и само площта под кривата е обща. В резултат на това имаме:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP области=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Площта е също границата на пространството между правоъгълниците под кривата и над кривата. За удобство трябва да обърнете внимание на височината на фигурата, равна на кривата в левия край на всеки подинтервал. Следователно, уравнението се пренаписва в окончателната версия:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

или ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)}

Заключение

Диференцирането и интегрирането се различават една от друга по редица свойства, формули и противоположни промени. Едното не може да се трансформира в другото без помощ. Ако диференцирането помага да се намери производната, тогава интегрирането извършва съвсем различно действие. Тя добавя някои части, може да помогне с степени, като ги намали или да подобри примера чрез опростяване.

Използва се и за тестване на диференцирани уравнения. С други думи, те действат като едно цяло, което не може да съществува отделно, тъй като се допълват взаимно. Прилагайки правилата, познавайки много техники, сега гарантирано ще решитепредизвикателни задачи.