Повърхности от 2-ри ред: примери

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Студентът най-често среща повърхности от 2-ри ред през първата година. В началото задачите по тази тема може да изглеждат прости, но докато изучавате висша математика и се задълбочавате в научната страна, най-накрая можете да спрете да се ориентирате в случващото се. За да предотвратите това, е необходимо не само да запомните, но и да разберете как се получава тази или онази повърхност, как промяната на коефициентите влияе върху нея и нейното местоположение спрямо оригиналната координатна система и как да намерите нова система (тази, в която центърът му съвпада с началните координати, а оста на симетрия е успоредна на една от координатните оси). Да започнем отначало.

Определение

GMT се нарича повърхност от 2-ри порядък, чиито координати удовлетворяват общото уравнение от следния вид:

F(x, y, z)=0.

Ясно е, че всяка точка, принадлежаща на повърхността, трябва да има три координати в някаква определена база. Въпреки че в някои случаи мястото на точките може да се изроди, например, в равнина. Това означава само, че една от координатите е постоянна и е равна на нула в целия диапазон от приемливи стойности.

Пълната боядисана форма на равенството, споменато по-горе, изглежда така:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – някои константи, x, y, z – променливи, съответстващи на афинни координати на дадена точка. В този случай поне един от постоянните фактори не трябва да е равен на нула, тоест нито една точка няма да съответства на уравнението.}

В по-голямата част от примерите много числови фактори все още са идентично равни на нула и уравнението е значително опростено. На практика не е трудно да се определи дали дадена точка принадлежи на повърхност (достатъчно е да се заменят нейните координати в уравнението и да се провери дали се спазва идентичността). Ключовият момент в такава работа е да се приведе последното в канонична форма.

Уравнението, написано по-горе, дефинира всички (всички изброени по-долу) повърхности от 2-ри ред. Ще разгледаме примерите по-долу.

Видове повърхности от 2-ри ред

Уравненията на повърхностите от 2-ри ред се различават само по стойностите на коефициентите A_{nm. От общия поглед, за определени стойности на константите могат да се получат различни повърхности, класифицирани, както следва:}

1. Цилиндри.
2. Елиптичен тип.
3. Хиперболичен тип.
4. Коничен тип.
5. Параболичен тип.
6. Самолети.

Всеки от изброените типове има естествена и въображаема форма: във въображаемата форма, местоположението на реалните точки или се изражда в по-проста фигура, или отсъства напълно.

Цилиндри

Това е най-простият тип, тъй като относително сложна крива лежи само в основата и действа като ориентир. Генераторите са прави линии, перпендикулярни на равнината, в която лежи основата.

Графиката показва кръгъл цилиндър, специален случай на елипсовиден цилиндър. В равнината XY нейната проекция ще бъде елипса (в нашия случай кръг) - водач, а в XZ - правоъгълник - тъй като генераторите са успоредни на оста Z. За да го получите от общото уравнение, трябва за да дадете на коефициентите следните стойности:

Вместо обичайните символи x, y, z, x се използва сериен номер - няма значение.

Всъщност 1/a2и другите константи, посочени тук, са същите коефициенти, посочени в общото уравнение, но е обичайно да се записват в този вид - това е каноничното представяне. Освен това ще се използва само такава нотация.

Така се дефинира хиперболичен цилиндър. Схемата е същата - хиперболата ще бъде ръководството.

y2=2px

Параболичният цилиндър се дефинира малко по-различно: неговата канонична форма включва коефициент p, наречен параметър. Всъщност коефициентът е равен на q=2p, но е обичайно да се разделя на двата представени фактора.

Има друг тип цилиндър: въображаем. На такъв цилиндър не принадлежи реална точка. Описва се с уравнениетоелиптичен цилиндър, но вместо единица е -1.

Елиптичен тип

Елипсоид може да бъде опънат по една от осите (по протежение на която зависи от стойностите на константите a, b, c, посочени по-горе; очевидно е, че по-голям коефициент ще съответства на по-голямата ос).

Има и въображаем елипсоид - при условие че сумата от координатите, умножена по коефициентите, е -1:

Хиперболоиди

Когато в една от константите се появи минус, уравнението на елипсоида се превръща в уравнение на хиперболоид с един лист. Трябва да се разбере, че този минус не трябва да се намира преди координатата x₃! Той само определя коя от осите ще бъде оста на въртене на хиперболоида (или успоредна на него, тъй като в квадрата се появят допълнителни термини (например (x-2)^{2) центърът на фигурата се измества, в резултат на което повърхността се движи успоредно на координатните оси). Това се отнася за всички повърхности от 2-ри ред.}

Освен това трябва да разберете, че уравненията са представени в канонична форма и могат да се променят чрез промяна на константите (със запазен знак!); докато формата им (хиперболоид, конус и т.н.) ще остане същата.

Това уравнение вече е дадено от двулистов хиперболоид.

Конична повърхност

В уравнението на конуса няма единица - равенство на нула.

Само ограничена конична повърхност се нарича конус. Снимката по-долу показва, че всъщност ще има два така наречените конуса на графиката.

Важна забележка: във всички разглеждани канонични уравнения, константите се приемат положителни по подразбиране. В противен случай знакът може да повлияе на крайната диаграма.

Координатните равнини стават равнините на симетрия на конуса, центърът на симетрията се намира в началото.

В уравнението на въображаемия конус има само плюсове; притежава една единствена реална точка.

Параболоиди

Повърхностите от 2-ри порядък в пространството могат да приемат различни форми дори при подобни уравнения. Например има два вида параболоиди.

x²/a²+y²/b^2=2z

Елиптичен параболоид, когато оста Z е перпендикулярна на чертежа, ще бъде проектиран в елипса.

x²/a²-y²/b^2=2z

Хиперболичен параболоид: участъци с равнини, успоредни на ZY, ще произвеждат параболи, а участъци с равнини, успоредни на XY, ще произвеждат хиперболи.

Пресичащи се равнини

Има случаи, когато повърхности от 2-ри ред се израждат в равнина. Тези самолети могат да бъдат подредени по различни начини.

Първо разгледайте пресичащите се равнини:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Тази модификация на каноничното уравнение води до само две пресичащи се равнини (въображаеми!); всички реални точки са върху оста на координатата, която липсва в уравнението (в каноничната - ос Z).

Успоредни равнини

y²=a²

Когато има само една координата, повърхностите от 2-ри ред се израждат в двойка успоредни равнини. Не забравяйте, че всяка друга променлива може да заеме мястото на Y; тогава ще се получат равнини, успоредни на други оси.

y²=−a²

В този случай те стават въображаеми.

Съвпадащи равнини

y2=0

С такова просто уравнение двойка равнини се израждат в една - те съвпадат.

Не забравяйте, че в случай на триизмерна основа, горното уравнение не дефинира правата линия y=0! Липсват другите две променливи, но това просто означава, че тяхната стойност е постоянна и равна на нула.

Сграда

Една от най-трудните задачи за ученика е изграждането на повърхности от 2-ри ред. Още по-трудно е преминаването от една координатна система в друга, като се имат предвид ъглите на кривата спрямо осите и отместването на центъра. Нека повторим как последователно да определим бъдещия изглед на чертежа с аналитиченначин.

За да изградите повърхност от 2-ри ред, имате нужда от:

• приведете уравнението до канонична форма;
• определете вида на изследваната повърхност;
• конструирайте въз основа на коефициентни стойности.

По-долу са всички разглеждани типове:

За да консолидираме, нека опишем подробно един пример за този тип задача.

Примери

Да предположим, че има уравнение:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Нека го приведем в каноничната форма. Нека да отделим пълните квадрати, тоест да подредим наличните термини по такъв начин, че да са разширение на квадрата на сбора или разликата. Например: ако (a+1)²=a²+2a+1, тогава a²+2a +1=(a+1)^{2. Ще извършим втората операция. В този случай не е необходимо да отваряте скобите, тъй като това само ще усложни изчисленията, но е необходимо да извадите общия фактор 6 (в скоби с пълния квадрат на Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Променливата z се среща в този случай само веднъж - можете да я оставите на мира за сега.

На този етап анализираме уравнението: всички неизвестни се предхождат от знак плюс; когато се раздели на шест, остава едно. Следователно имаме уравнение, което дефинира елипсоид.

Забележете, че 144 беше разложено на 150-6, след което -6 беше преместено вдясно. Защо трябваше да се направи по този начин? Очевидно най-големият делител в този пример е -6, така че след разделянето на негоедното е отляво вдясно, необходимо е да се „отложи“точно 6 от 144 (фактът, че трябва да е отдясно, се посочва от наличието на свободен термин - константа, която не се умножава по неизвестно).

Разделете всичко на шест и получете каноничното уравнение на елипсоида:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

В използваната по-рано класификация на повърхности от 2-ри ред се разглежда специален случай, когато центърът на фигурата е в началото на координатите. В този пример е изместен.

Предполагаме, че всяка скоба с неизвестни е нова променлива. Тоест: a=x-1, b=y+5, c=z. В новите координати центърът на елипсоида съвпада с точката (0, 0, 0), следователно a=b=c=0, откъдето: x=1, y=-5, z=0. В началните координати центърът на фигурата лежи в точката (1, -5, 0).

Елипсоидът ще бъде получен от две елипси: първата в равнината XY и втората в равнината XZ (или YZ - няма значение). Коефициентите, с които се делят променливите, се квадратират в каноничното уравнение. Следователно в горния пример би било по-правилно да се раздели на корен от две, едно и корен от три.

Младата ос на първата елипса, успоредна на оста Y, е две. Главната ос, успоредна на оста x, е два корена от две. Малката ос на втората елипса, успоредна на оста Y, остава същата - тя е равна на две. А главната ос, успоредна на оста Z, е равна на два корена от три.

С помощта на данните, получени от оригиналното уравнение чрез преобразуване в каноничната форма, можем да начертаем елипсоид.

Обобщаване

Обхванато в тази статиятемата е доста обширна, но всъщност, както виждате сега, не е много сложна. Неговото развитие всъщност приключва в момента, когато запомните имената и уравненията на повърхностите (и, разбира се, как изглеждат). В примера по-горе обсъдихме подробно всяка стъпка, но привеждането на уравнението в канонична форма изисква минимални познания по висша математика и не би трябвало да създава трудности за ученика..

Анализът на бъдещия график на съществуващото равенство вече е по-трудна задача. Но за успешното му решение е достатъчно да разберем как се изграждат съответните криви от втори ред – елипси, параболи и други.

Случаи на израждане - още по-прост раздел. Поради липсата на някои променливи, не само изчисленията са опростени, както беше споменато по-рано, но и самата конструкция.

Веднага щом можете уверено да назовете всички видове повърхности, променяйте константите, превръщайки графиката в една или друга форма - темата ще бъде усвоена.

Успех в обучението!