Възможността за определяне на обема на пространствените фигури е важна за решаването на геометрични и практически задачи. Една от тези фигури е призма. Ще разгледаме в статията какво е това и ще покажем как да изчислим обема на наклонена призма.
Какво се разбира под призма в геометрията?
Това е правилен полиедър (полиедър), който се образува от две еднакви основи, разположени в успоредни равнини, и няколко успоредника, свързващи маркираните основи.
Основите на призмата могат да бъдат произволни многоъгълници, като триъгълник, четириъгълник, седмоъгълник и т.н. Освен това, броят на ъглите (страните) на многоъгълника определя името на фигурата.
Всяка призма с n-ъгълна основа (n е броят на страните) се състои от n+2 лица, 2 × n върха и 3 × n ръбове. От дадените числа се вижда, че броят на елементите на призмата съответства на теоремата на Ойлер:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Снимката по-долу показва как изглеждат триъгълни и четириъгълни призми, изработени от стъкло.
Видове фигури. Наклонена призма
Вече беше казано по-горе, че името на призма се определя от броя на страните на многоъгълника в основата. В структурата му обаче има и други особености, които определят свойствата на фигурата. Така че, ако всички паралелограми, които образуват страничната повърхност на призмата, са представени от правоъгълници или квадрати, тогава такава фигура се нарича права линия. За права призма разстоянието между основите е равно на дължината на страничния ръб на всеки правоъгълник.
Ако някои или всички страни са успоредни, тогава говорим за наклонена призма. Височината му вече ще бъде по-малка от дължината на страничното ребро.
Друг критерий, по който се класифицират разглежданите фигури, са дължините на страните и ъглите на многоъгълника в основата. Ако те са равни един на друг, тогава многоъгълникът ще бъде правилен. Права фигура с правилен многоъгълник в основата се нарича правилна. Удобно е да се работи с него при определяне на повърхността и обема. Една наклонена призма в това отношение представлява известни трудности.
Фигурата по-долу показва две призми с квадратна основа. Ъгълът от 90° показва основната разлика между права и наклонена призма.
Формула за определяне на обема на фигура
Част от пространството, ограничено от лицата на призма, се нарича неин обем. За разглежданите фигури от всякакъв тип тази стойност може да се определи по следната формула:
V=h × So
Тук символът h обозначава височината на призмата,което е мярка за разстоянието между две основи. Символ So- един основен квадрат.
Основната площ е лесна за намиране. Предвид факта дали многоъгълникът е правилен или не и като знаете броя на неговите страни, трябва да приложите съответната формула и да получите So. Например, за обикновен n-ъгълник със страна а, площта ще бъде:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Сега да преминем към височина h. За права призма определянето на височината не е трудно, но за наклонена призма това не е лесна задача. Тя може да бъде решена с различни геометрични методи, като се започне от специфични начални условия. Въпреки това, има универсален начин за определяне на височината на фигура. Нека го опишем накратко.
Идеята е да се намери разстоянието от точка в пространството до равнина. Да приемем, че равнината е дадена от уравнението:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Тогава самолетът ще бъде на разстояние:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ако координатните оси са подредени така, че точката (0; 0; 0) лежи в равнината на долната основа на призмата, тогава уравнението за основната равнина може да бъде записано, както следва:
z=0
Това означава, че формулата за височината ще бъде написанатака че:
h=z1
Достатъчно е да се намери z-координата на която и да е точка от горната основа, за да се определи височината на фигурата.
Пример за решаване на проблеми
Фигурата по-долу показва четириъгълна призма. Основата на наклонена призма е квадрат със страна 10 см. Необходимо е да се изчисли неговият обем, ако е известно, че дължината на страничния ръб е 15 см, а острият ъгъл на челния успоредник е 70 °.
Тъй като височината h на фигурата е и височината на успоредника, ние използваме формули, за да определим неговата площ, за да намерим h. Нека да обозначим страните на успоредника, както следва:
a=10 см;
b=15 см
След това можете да напишете следните формули за него, за да определите площта Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Откъде получаваме:
h=b × sin (α)
Тук α е остър ъгъл на паралелограма. Тъй като основата е квадрат, формулата за обема на наклонена призма ще приеме формата:
V=a2 × b × sin (α)
Заместваме данните от условието във формулата и получаваме отговора: V ≈ 1410 cm3.
