Изучаването на свойствата на пространствените фигури играе важна роля при решаването на практически проблеми. Науката, която се занимава с фигури в космоса, се нарича стереометрия. В тази статия, от гледна точка на твърдата геометрия, ще разгледаме конус и ще покажем как да намерим площта на конус.
Конус с кръгла основа
В общия случай конусът е повърхност, изградена върху някаква равна крива, всички точки на която са свързани чрез сегменти с една точка в пространството. Последният се нарича връх на конуса.
От горната дефиниция става ясно, че кривата може да има произволна форма, като параболична, хиперболична, елиптична и т.н. Независимо от това, на практика и при проблеми в геометрията често се среща кръгъл конус. Показан е на снимката по-долу.
Тук символът r обозначава радиуса на окръжността, разположена в основата на фигурата, h е перпендикулярът на равнината на окръжността, която е начертана от горната част на фигурата. Нарича се височина. Стойността s е образуващата на конуса или неговата образуваща.
Вижда се, че отсечките r, h и sобразуват правоъгълен триъгълник. Ако се завърти около катета h, тогава хипотенузата s ще описва коничната повърхност, а кракът r образува кръглата основа на фигурата. Поради тази причина конусът се счита за фигура на революцията. Трите наименувани линейни параметъра са свързани помежду си чрез равенството:
s2=r2+ h2
Забележете, че даденото равенство е валидно само за кръгъл прав конус. Права фигура е само ако височината й пада точно в центъра на основния кръг. Ако това условие не е изпълнено, тогава фигурата се нарича наклонена. Разликата между прави и наклонени конуси е показана на фигурата по-долу.
Развитие на формата
Изследването на повърхността на конус е удобно за извършване, като се има предвид, че е в равнина. Този начин на представяне на повърхността на фигурите в пространството се нарича тяхното развитие. За конус това развитие може да се получи по следния начин: трябва да вземете фигура, направена например от хартия. След това с ножица отрежете кръглата основа около обиколката. След това по протежение на генератрисата направете разрез на коничната повърхност и я обърнете в равнина. Резултатът от тези прости операции ще бъде развитието на конуса, показан на фигурата по-долу.
Както можете да видите, повърхността на конус наистина може да бъде представена на равнина. Състои се от следните две части:
- кръг с радиус r, представляващ основата на фигурата;
- кръг сектор с радиус g, който е конична повърхност.
Формулата за площта на конус включва намиране на площите на двете разгънати повърхности.
Изчислете повърхността на фигура
Нека да разделим задачата на два етапа. Първо намираме площта на основата на конуса, след това площта на коничната повърхност.
Първата част от проблема е лесна за решаване. Тъй като е даден радиусът r, достатъчно е да си припомним съответния израз за площта на окръжност, за да изчислим площта на основата. Нека го запишем:
So=pi × r2
Ако радиусът не е известен, тогава първо трябва да го намерите, като използвате формулата на връзката между него, височината и генератора.
Втората част от проблема за намиране на площта на конус е малко по-сложна. Забележете, че кръговият сектор е изграден върху радиуса g на образуващата и е ограничен от дъга, чиято дължина е равна на обиколката на окръжността. Този факт ви позволява да запишете пропорцията и да намерите ъгъла на разглеждания сектор. Нека го обозначим с гръцката буква φ. Този ъгъл ще бъде равен на:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Познавайки централния ъгъл φ на кръгов сектор, можете да използвате подходящата пропорция, за да намерите неговата площ. Нека го обозначим със символа Sb. Ще бъде равно на:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Тоест, площта на коничната повърхност съответства на произведението на образуващата g, радиуса на основата r и числото Pi.
Знаейки какви са областите и на дветеразглежданите повърхности, можем да напишем окончателната формула за площта на конус:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Писменият израз предполага познаване на два линейни параметъра на конуса за изчисляване на S. Ако g или r са неизвестни, те могат да бъдат намерени чрез височината h.
Проблемът с изчисляването на площта на конус
Известно е, че височината на кръгъл прав конус е равна на неговия диаметър. Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, като се знае, че площта на нейната основа е 50 cm2.
Познавайки площта на кръг, можете да намерите радиуса на фигурата. Имаме:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Сега нека намерим генератора g по отношение на h и r. Според условието височината h на фигурата е равна на два радиуса r, тогава:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Намерените формули за g и r трябва да бъдат заместени в израза за цялата площ на конуса. Получаваме:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
В получения израз заместваме площта на основата So и записваме отговора: S ≈ 161.8 cm2.
