Всеки ученик в изучаването на стереометрия в гимназията се натъкна на конус. Две важни характеристики на тази пространствена фигура са площта и обема. В тази статия ще покажем как да намерите обема на кръгъл конус.
Кръгла конус като фигура на въртене на правоъгълен триъгълник
Преди да преминете директно към темата на статията, е необходимо да опишете конуса от геометрична гледна точка.
Нека има някакъв правоъгълен триъгълник. Ако го завъртите около някой от краката, резултатът от това действие ще бъде желаната фигура, показана на фигурата по-долу.
Тук кракът AB е част от оста на конуса и дължината му съответства на височината на фигурата. Вторият крак (сегмент CA) ще бъде радиусът на конуса. По време на въртене той ще опише кръг, който ограничава основата на фигурата. Хипотенузата BC се нарича генератриса на фигурата или нейната образуваща. Точка B е единственият връх на конуса.
Като се имат предвид свойствата на триъгълника ABC, можем да напишем връзката между образуваща g, радиус r и височина h, както следваравенство:
g2=h2+ r2
Тази формула е полезна при решаването на много геометрични задачи с въпросната фигура.
Формула за обем на конуса
Обемът на всяка пространствена фигура е площта на пространството, която е ограничена от повърхностите на тази фигура. Има две такива повърхности за конус:
- Странична или конична. Образува се от всички генератори.
- Фондация. В този случай това е кръг.
Вземете формулата за определяне на обема на конус. За да направите това, ние мислено го нарязваме на много слоеве, успоредни на основата. Всеки от слоевете има дебелина dx, която клони към нула. Площта Sx на слоя на разстояние x от горната част на фигурата е равна на следния израз:
Sx=pir2x2/h 2
Валидността на този израз може да бъде проверена интуитивно чрез заместване на стойностите x=0 и x=h. В първия случай ще получим площ, равна на нула, във втория случай ще бъде равна на площта на кръглата основа.
За да определите обема на конуса, трябва да добавите малки "обеми" на всеки слой, тоест трябва да използвате интегралното изчисление:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Изчислявайки този интеграл, стигаме до крайната формула за кръгъл конус:
V=1/3pir2h
Интересно е да се отбележи, че тази формула е напълно подобна на тази, използвана за изчисляване на обема на произволна пирамида. Това съвпадение не е случайно, защото всяка пирамида се превръща в конус, когато броят на ръбовете й се увеличи до безкрайност.
Проблем с изчисляване на обема
Полезно е да се даде пример за решаване на задачата, който ще демонстрира използването на получената формула за обем V.
Даден е кръгъл конус, чиято основна площ е 37 cm2, а генераторът на фигурата е три пъти по-голям радиус. Какъв е обемът на конуса?
Имаме право да използваме формулата за обема, ако знаем две величини: височина h и радиус r. Нека намерим формулите, които ги определят в съответствие с условието на задачата.
Радиус r може да се изчисли, като се знае площта на окръжността So, имаме:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Използвайки условието на задачата, записваме равенството за генератора g:
g=3r=3√(So/pi)
Познавайки формулите за r и g, изчислете височината h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Намерихме всички необходими параметри. Сега е време да ги включите във формулата за V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Остава да се замениосновна площ So и изчислете стойността на обема: V=119,75 cm3.
