На фигурите на революцията в геометрията се отделя специално внимание при изучаване на техните характеристики и свойства. Един от тях е пресечен конус. Тази статия има за цел да отговори на въпроса каква формула може да се използва за изчисляване на площта на пресечен конус.
За коя цифра говорим?
Преди да се опише площта на пресечен конус, е необходимо да се даде точно геометрично определение на тази фигура. Скъсен е такъв конус, който се получава в резултат на отрязване на върха на обикновен конус с равнина. В това определение трябва да се подчертаят редица нюанси. Първо, равнината на сечението трябва да е успоредна на равнината на основата на конуса. На второ място, оригиналната фигура трябва да бъде кръгъл конус. Разбира се, това може да бъде елипсовидна, хиперболична и друг тип фигура, но в тази статия ще се ограничим до разглеждането само на кръгъл конус. Последното е показано на фигурата по-долу.
Лесно е да се досетите, че може да се получи не само с помощта на разрез от равнина, но и с помощта на операция за завъртане. ЗаЗа да направите това, трябва да вземете трапец, който има два прави ъгъла, и да го завъртите около страната, която е в съседство с тези прави ъгли. В резултат на това основите на трапеца ще станат радиуси на основите на пресечения конус, а страничната наклонена страна на трапеца ще описва коничната повърхност.
Развитие на формата
Като се има предвид повърхността на пресечен конус, е полезно да се представи неговото развитие, тоест изображението на повърхността на триизмерна фигура върху равнина. По-долу е сканиране на изследваната фигура с произволни параметри.
Вижда се, че площта на фигурата се формира от три компонента: два кръга и един пресечен кръгъл сегмент. Очевидно, за да се определи необходимата площ, е необходимо да се сумират площите на всички посочени фигури. Нека решим този проблем в следващия параграф.
Област на пресечен конус
За да улесним разбирането на следните разсъждения, въвеждаме следната нотация:
- r1, r2 - радиуси на голямата и малката основа съответно;
- h - височина на фигурата;
- g - образуваща на конуса (дължината на наклонената страна на трапеца).
Площта на основите на пресечен конус е лесна за изчисляване. Нека напишем съответните изрази:
So1=pir12;
So2=pir22.
Площта на част от кръгов сегмент е малко по-трудна за определяне. Ако си представим, че центърът на този кръгъл сектор не е изрязан, тогава неговият радиус ще бъде равен на стойността G. Не е трудно да го изчислим, ако вземем предвид съответнияподобни правоъгълни конусни триъгълници. То е равно на:
G=r1g/(r1-r2).
Тогава площта на целия кръгов сектор, който е изграден върху радиус G и който разчита на дъга с дължина 2pir1, ще бъде равна до:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Сега нека определим площта на малкия кръгъл сектор S2, който ще трябва да се извади от S1. То е равно на:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Площта на коничната пресечена повърхност Sb е равна на разликата между S1 и S 2. Получаваме:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Въпреки някои тромави изчисления, получихме доста прост израз за площта на страничната повърхност на фигурата.
Добавяйки площите на основите и Sb, стигаме до формулата за площта на пресечен конус:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
По този начин, за да изчислите стойността на S на изследваната фигура, трябва да знаете нейните три линейни параметъра.
Примерен проблем
Кръгла прав конусс радиус 10 см и височина 15 см се отрязва с равнина, така че се получава правилен пресечен конус. Знаейки, че разстоянието между основите на пресечената фигура е 10 см, е необходимо да се намери нейната повърхност.
За да използвате формулата за площта на пресечен конус, трябва да намерите три от неговите параметъра. Един, който познаваме:
r1=10 см.
Другите два са лесни за изчисляване, ако разгледаме подобни правоъгълни триъгълници, които се получават в резултат на аксиалното сечение на конуса. Като вземем предвид условието на задачата, получаваме:
r2=105/15=3,33 см.
Накрая водачът на пресечения конус g ще бъде:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 см.
Сега можете да замените стойностите r1, r2 и g във формулата за S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Желаната повърхност на фигурата е приблизително 852 cm2.
