Неравенства и системи от неравенства е една от темите, които се преподават в алгебрата в гимназията. По отношение на трудност не е най-трудният, защото има прости правила (за тях малко по-късно). По правило учениците научават лесно решението на системи от неравенства. Това се дължи и на факта, че учителите просто „обучават“своите ученици по тази тема. И те не могат да не направят това, защото се изучава в бъдеще с помощта на други математически величини, а също така се проверява за OGE и Единния държавен изпит. В училищните учебници темата за неравенствата и системите от неравенства е разгледана много подробно, така че ако ще я изучавате, тогава е най-добре да прибягвате до тях. Тази статия е само перифразиране на много материали и може да съдържа някои пропуски.
Концепцията за система от неравенства
Ако се обърнем към научния език, можем да дефинираме понятието „системанеравенства". Това е такъв математически модел, който представя няколко неравенства. Разбира се, този модел изисква решение и то ще бъде общият отговор за всички неравенства на системата, предложена в задачата (обикновено се пише така, т.к. пример: "Решете системата от неравенства 4 x + 1 > 2 и 30 - x > 6… ").
Системи от неравенства и системи от уравнения
В процеса на изучаване на нова тема често възникват недоразумения. От една страна всичко е ясно и по-скоро бих започнал да решавам задачи, но от друга страна някои моменти остават в „сянка“, не са добре разбрани. Също така някои елементи от вече придобити знания могат да се преплитат с нови. Често възникват грешки в резултат на това припокриване.
Ето защо, преди да пристъпим към анализа на нашата тема, трябва да си припомним разликите между уравненията и неравенствата, техните системи. За да направите това, е необходимо да се изясни още веднъж какви са тези математически понятия. Уравнението винаги е равенство и винаги е равно на нещо (в математиката тази дума се обозначава със знака "="). Неравенството е модел, при който една стойност е или по-голяма, или по-малка от друга, или съдържа твърдението, че те не са еднакви. Така че в първия случай е уместно да се говори за равенство, а във втория, колкото и очевидно да звучи отсамото име, за неравенството на изходните данни. Системите от уравнения и неравенства практически не се различават една от друга и методите за тяхното решаване са еднакви. Единствената разлика е, че първият използва равенства, докато вторият използва неравенства.
Видове неравенства
Има два вида неравенства: числови и с неизвестна променлива. Първият тип предоставя стойности (числа), които не са равни една на друга, например 8 > 10. Вторият тип са неравенства, съдържащи неизвестна променлива (обозначена с някаква буква от латинската азбука, най-често X). Тази променлива трябва да бъде намерена. В зависимост от това колко има, математическият модел прави разлика между неравенства с едно (те съставляват система от неравенства с една променлива) или няколко променливи (те съставляват система от неравенства с няколко променливи).
Последните два вида според степента на тяхната конструкция и степента на сложност на решението се делят на прости и сложни. Простите се наричат още линейни неравенства. Те от своя страна се делят на строги и нестроги. Строго специално "кажете", че една стойност трябва да бъде или по-малка, или повече, така че това е чисто неравенство. Има няколко примера: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 и т.н. Нестрогите включват и равенство. Тоест, една стойност може да бъде по-голяма или равна на друга стойност (знак "≧") или по-малка или равна на друга стойност (знак "≦"). Все още на опашкаВ неравенствата променливата не стои в корена, квадратна, не се дели на нищо, поради което се наричат "прости". Сложните включват неизвестни променливи, чието намиране изисква повече математически операции. Те често са в квадрат, куб или под корен, могат да бъдат модулни, логаритмични, дробни и т. н. Но тъй като нашата задача е да разберем решението на системите от неравенства, ще говорим за система от линейни неравенства. Преди това обаче трябва да се каже няколко думи за техните свойства.
Свойства на неравенствата
Свойствата на неравенствата включват следните разпоредби:
- Знакът за неравенство се обръща, ако се приложи операцията за промяна на последователността на страните (например, ако t1 ≦ t2, след това t 2 ≧ t1).
- И двете части на неравенството ви позволяват да добавите едно и също число към себе си (например, ако t1 ≦ t2, след това t 1 + число ≦ t2 + число).
- Две или повече неравенства със знак за една и съща посока ви позволяват да добавите техните лява и дясна част (например, ако t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, след това t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число (например, ако t1 ≦ t2и число ≦ 0, след това число t1 ≧ число t2).
- Две или повече неравенства, които имат положителни членове и знак за една и съща посока позволяватумножете един друг (например, ако t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 след това t1 t3 ≦ t2 t4).
- И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени на едно и също отрицателно число, но знакът на неравенството се променя (например, ако t1 ≦ t2 и число ≦ 0, след това число t1 ≧ число t2).
- Всички неравенства са преходни (например, ако t1 ≦ t2 и t2≦ t3, след това t1 ≦ t3).
Сега, след като изучаваме основните положения на теорията, свързани с неравенствата, можем да пристъпим директно към разглеждането на правилата за решаване на техните системи.
Решение на системи от неравенства. Главна информация. Решения
Както беше споменато по-горе, решението е стойностите на променливата, които отговарят на всички неравенства на дадената система. Решаването на системи от неравенства е изпълнението на математически операции, които в крайна сметка водят до решението на цялата система или доказват, че тя няма решения. В този случай се казва, че променливата се отнася до празния набор от числа (записан по следния начин: буквата, обозначаваща променливата ∈ (знакът „принадлежи“) ø (знакът „празен набор“), например x ∈ ø (чете се така: "Променливата "x" принадлежи на празното множество"). Има няколко начина за решаване на системи от неравенства:графичен, алгебричен, метод на заместване. Струва си да се отбележи, че те се отнасят до онези математически модели, които имат няколко неизвестни променливи. В случай, че има само един, методът за интервал ще свърши работа.
Графичен метод
Позволява ви да решите система от неравенства с няколко неизвестни (от две или повече). Благодарение на този метод системата от линейни неравенства се решава доста лесно и бързо, така че това е най-разпространеният метод. Това е така, защото графиката намалява количеството на записване на математически операции. Става особено приятно да си починете малко от писалката, да вземете молив с линийка и да продължите с по-нататъшни действия с тяхна помощ, когато е свършена много работа и искате малко разнообразие. Някои обаче не харесват този метод поради факта, че трябва да се откъснете от задачата и да превключите умствената си дейност към рисуване. Това обаче е много ефективен начин.
За да решите система от неравенства с помощта на графичен метод, е необходимо да прехвърлите всички членове на всяко неравенство в лявата им страна. Знаците ще бъдат обърнати, отдясно трябва да се изпише нула, след това всяко неравенство трябва да се напише отделно. В резултат на това функциите ще бъдат получени от неравенствата. След това можете да получите молив и линийка: сега трябва да нарисувате графика на всяка получена функция. Целият набор от числа, които ще бъдат в интервала на тяхното пресичане, ще бъде решението на системата от неравенства.
Алгебричен начин
Позволява ви да решите система от неравенства с две неизвестни променливи. Неравенствата също трябва да имат същия знак за неравенство (т.е. трябва да съдържат или само знака „по-голямо от“, или само знака „по-малко от“и т.н.) Въпреки ограниченията си, този метод също е по-сложен. Прилага се на две стъпки.
Първата включва премахване на една от неизвестните променливи. Първо трябва да го изберете, след което да проверите за наличието на числа пред тази променлива. Ако няма такива (тогава променливата ще изглежда като една буква), тогава не променяме нищо, ако има (типът на променливата ще бъде например 5y или 12y), тогава е необходимо да се уверите че във всяко неравенство числото пред избраната променлива е едно и също. За да направите това, трябва да умножите всеки член на неравенствата по общ фактор, например, ако в първото неравенство е записано 3y, а във второто - 5y, тогава трябва да умножите всички членове на първото неравенство по 5, а вторият с 3. Получавате съответно 15y и 15y.
Вторият етап на решението. Необходимо е лявата страна на всяко неравенство да се прехвърли към дясната им страна с промяна на знака на всеки член към противоположното, напишете нула вдясно. След това идва забавната част: да се отървем от избраната променлива (иначе известна като "намаляване"), докато събираме неравенствата. Ще получите неравенство с една променлива, която трябва да бъде решена. След това трябва да направите същото, само с друга неизвестна променлива. Получените резултати ще бъдат решението на системата.
Метод на заместване
Позволява ви да решите система от неравенства, когато имате възможност да въведете нова променлива. Обикновено този метод се използва, когато неизвестната променлива в единия член на неравенството се повдига на четвърта степен, а в другия член се възвежда на квадрат. По този начин този метод е насочен към намаляване на степента на неравенства в системата. Примерното неравенство x4 - x2 - 1 ≦ 0 се решава по следния начин. Въвежда се нова променлива, например t. Те пишат: "Нека t=x2", след което моделът се пренаписва в нова форма. В нашия случай получаваме t2 - t - 1 ≦0. Това неравенство трябва да бъде решено чрез интервалния метод (за него малко по-късно), след което се върнете обратно към променливата X, след което направете същото с друго неравенство. Получените отговори ще бъдат решението на системата.
Метод на интервали
Това е най-лесният начин за решаване на системи от неравенства и в същото време е универсален и широко разпространен. Използва се в гимназията и дори в гимназията. Същността му се крие във факта, че ученикът търси интервали на неравенство на числовата права, която е начертана в тетрадка (това не е графика, а просто обикновена права линия с числа). Там, където интервалите на неравенствата се пресичат, се намира решението на системата. За да използвате метода на разстояние, следвайте тези стъпки:
- Всички членове на всяко неравенство се прехвърлят в лявата страна с промяна на знака на противоположния (нула се изписва отдясно).
- Неравенствата се изписват отделно, решението на всяко от тях се определя.
- Пресечните точки на неравенствата върху числотоправ. Всички числа на тези кръстовища ще бъдат решението.
Кой начин да използвате?
Очевидно този, който изглежда най-лесният и удобен, но има моменти, когато задачите изискват определен метод. Най-често те казват, че трябва да решите или с помощта на графика, или с помощта на интервалния метод. Алгебричният метод и заместването се използват изключително рядко или изобщо не се използват, тъй като са доста сложни и объркващи, а освен това се използват повече за решаване на системи от уравнения, отколкото на неравенства, така че трябва да прибягвате до чертане на графики и интервали. Те носят видимост, което не може да не допринесе за ефективното и бързо провеждане на математически операции.
Ако нещо не работи
По време на изучаването на определена тема по алгебра, разбира се, може да има проблеми с нейното разбиране. И това е нормално, защото мозъкът ни е устроен по такъв начин, че не е в състояние да разбере сложен материал наведнъж. Често трябва да препрочетете параграф, да вземете помощта на учител или да практикувате решаването на типични проблеми. В нашия случай те изглеждат, например, така: "Решете системата от неравенства 3 x + 1 ≧ 0 и 2 x - 1 > 3". Така личният стремеж, помощта от външни лица и практиката помагат при разбирането на всяка сложна тема.
Решебник?
И книгата с решенията също е много добра, но не за измама на домашните, а за самопомощ. В тях можете да намерите системи от неравенства с решение, разгледайтеги (като шаблони), опитайте се да разберете как точно авторът на решението се е справил със задачата и след това се опитайте да го направите сам.
Заключения
Алгебрата е един от най-трудните предмети в училище. Е, какво можеш да направиш? Математиката винаги е била такава: за някои е лесно, а за други е трудно. Но във всеки случай трябва да се помни, че общообразователната програма е проектирана по такъв начин, че всеки ученик може да се справи с нея. Освен това трябва да имате предвид огромен брой асистенти. Някои от тях бяха споменати по-горе.
