Истинското знание по всяко време се основаваше на установяване на модел и доказване на неговата достоверност при определени обстоятелства. За толкова дълъг период на съществуване на логическите разсъждения бяха дадени формулировките на правилата и Аристотел дори състави списък с „правилни разсъждения“. В исторически план е обичайно всички изводи да се разделят на два вида – от конкретни до множествено число (индукция) и обратно (дедукция). Трябва да се отбележи, че видовете доказателства от частно към общо и от общо към конкретно съществуват само във връзка и не могат да бъдат взаимозаменяеми.
Введение в математиката
Терминът "индукция" (индукция) има латински корени и буквално се превежда като "насочване". При по-внимателно проучване може да се различи структурата на думата, а именно латинския префикс - in- (означава насочено действие навътре или да бъде вътре) и -duction - въведение. Струва си да се отбележи, че има два вида - пълна и непълна индукция. Пълната форма се характеризира с изводи, направени от изучаването на всички предмети от определен клас.
Непълни - заключения,прилага се към всички елементи от класа, но въз основа на изследването само на някои единици.
Пълна математическа индукция - заключение, основано на общо заключение за целия клас от всякакви обекти, които са функционално свързани чрез отношения на естествения ред от числа, базирано на познаването на тази функционална връзка. В този случай процесът на доказване протича на три етапа:
- на първия се доказва правилността на твърдението на математическата индукция. Пример: f=1, това е основата на индукцията;
- Следващият етап се основава на предположението, че позицията е валидна за всички естествени числа. Тоест, f=h, това е индукционната хипотеза;
- на третия етап се доказва валидността на позицията за числото f=h+1, въз основа на правилността на позицията от предишния параграф - това е индукционен преход или стъпка на математическа индукция. Пример е така нареченият "принцип на доминото": ако първата кост в реда падне (основа), тогава всички камъни в реда падат (преход).
Шегува и сериозна
За по-лесно възприемане, примерите за решения по метода на математическата индукция се заклеймяват като шега задачи. Това е задачата за вежлива опашка:
Правилата за поведение забраняват на мъжа да се обръща пред жена (в такава ситуация тя е пусната пред). Въз основа на това твърдение, ако последният в опашката е мъж, тогава всички останали са мъже
Поразителен пример за метода на математическата индукция е проблемът "Безразмерен полет":
Изисква се да се докаже, че вмикробусът е подходящ за произволен брой хора. Вярно е, че един човек може да се побере в транспорта без затруднения (основа). Но без значение колко пълен е микробусът, 1 пътник винаги ще се побере в него (стъпка на въвеждане)
Познати кръгове
Примерите за решаване на задачи и уравнения чрез математическа индукция са доста често срещани. Като илюстрация на този подход, разгледайте следния проблем.
Условие: в равнината има h кръгове. Необходимо е да се докаже, че при всяко подреждане на фигурите, оформената от тях карта може да бъде правилно оцветена с два цвята.
Решение: за h=1 истината на твърдението е очевидна, така че доказателството ще бъде изградено за броя на кръговете h+1.
Нека приемем, че твърдението е вярно за всяка карта и h+1 кръгове са дадени на равнината. Като премахнете един от кръговете от общата сума, можете да получите карта, правилно оцветена с два цвята (черен и бял).
При възстановяване на изтрит кръг цветът на всяка област се променя на противоположния (в този случай вътре в кръга). Резултатът е карта, правилно оцветена с два цвята, което трябваше да бъде доказано.
Примери с естествени числа
Прилагането на метода на математическата индукция е илюстрирано по-долу.
Примери за решение:
Докажете, че за всяко h равенството ще бъде правилно:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Решение:
1. Нека h=1, тогава:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
От това следва, че за h=1 твърдението е правилно.
2. Ако приемем h=d, уравнението е:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Ако приемем, че h=d+1, се оказва:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
По този начин, валидността на равенството за h=d+1 е доказана, следователно твърдението е вярно за всяко естествено число, което е показано в примера на решението чрез математическа индукция.
Задача
Условие: изисква се доказателство, че за всяка стойност на h изразът 7h-1 се дели на 6 без остатък.
Решение:
1. Да кажем h=1, в този случай:
R1=71-1=6 (т.е. дели се на 6 без остатък)
Следователно, за h=1 твърдението е вярно;
2. Нека h=d и 7d-1 се дели на 6 без остатък;
3. Доказателството за валидността на твърдението за h=d+1 е формулата:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
В този случай първият член се дели на 6 според допускането на първия параграф, а вторияттерминът е 6. Твърдението, че 7h-1 се дели на 6 без остатък за произволно естествено h, е вярно.
Лъжлива присъда
Често при доказателствата се използват неправилни разсъждения, поради неточността на използваните логически конструкции. По принцип това се случва, когато структурата и логиката на доказателството са нарушени. Пример за неправилно разсъждение е следната илюстрация.
Задача
Условие: изисква се доказателство, че всяка купчина камъни не е купчина.
Решение:
1. Да кажем h=1, в този случай има 1 камък в купчината и твърдението е вярно (основа);
2. Нека е вярно за h=d, че купчина камъни не е купчина (предположение);
3. Нека h=d+1, от което следва, че когато се добави още един камък, комплектът няма да е купчина. Заключението се навежда на мисълта, че предположението е валидно за всички естествени h.
Грешката се крие във факта, че няма дефиниция за това колко камъни образуват купчина. Такъв пропуск се нарича прибързано обобщение в метода на математическата индукция. Пример показва това ясно.
Индукция и законите на логиката
В исторически план примерите за индукция и дедукция винаги вървят ръка за ръка. Такива научни дисциплини като логиката, философията ги описват като противоположности.
От гледна точка на закона на логиката, индуктивните дефиниции се основават на факти и истинността на предпоставките не определя правилността на полученото твърдение. Често се получавазаключения с определена степен на вероятност и правдоподобност, които, разбира се, трябва да бъдат проверени и потвърдени от допълнителни изследвания. Пример за индукция в логиката би било изявлението:
Суша в Естония, сухо в Латвия, сухо в Литва.
Естония, Латвия и Литва са балтийските държави. Суша във всички балтийски държави.
От примера можем да заключим, че нова информация или истина не могат да бъдат получени чрез метода на индукцията. Всичко, на което можете да разчитате, е някаква възможна достоверност на заключенията. Освен това истинността на предпоставките не гарантира същите заключения. Този факт обаче не означава, че индукцията вегетира в задния двор на дедукцията: огромен брой разпоредби и научни закони са обосновани с помощта на метода на индукция. Като пример могат да служат математиката, биологията и други науки. Това се дължи в по-голямата си част на метода на пълна индукция, но в някои случаи е приложим и частичен.
Почитаемата епоха на индукция му позволи да проникне в почти всички области на човешката дейност - това е наука, икономика и ежедневни заключения.
Введение в научната среда
Методът на индукция изисква стриктно отношение, тъй като твърде много зависи от броя на изследваните детайли на цялото: колкото по-голям е броят на изследването, толкова по-надежден е резултатът. Въз основа на тази характеристика научните закони, получени чрез индукция, се тестват дълго време на ниво вероятностни предположения, за да се изолират и проучат всички възможниструктурни елементи, връзки и влияния.
В науката индуктивното заключение се основава на значими характеристики, с изключение на произволни положения. Този факт е важен във връзка със спецификата на научното познание. Това ясно се вижда в примерите за индукция в науката.
В научния свят има два вида индукция (във връзка с начина на изучаване):
- индукция-селекция (или избор);
- индукция - изключване (елиминиране).
Първият тип се характеризира с методично (внимателно) вземане на проби от клас (подкласове) от различните му области.
Пример за този тип индукция е следният: среброто (или сребърните соли) пречиства водата. Заключението се основава на дългосрочни наблюдения (един вид подбор на потвърждения и опровержения - подбор).
Вторият тип индукция се основава на заключения, които установяват причинно-следствени връзки и изключват обстоятелства, които не отговарят на неговите свойства, а именно универсалност, спазване на времевата последователност, необходимост и недвусмисленост.
Индукция и дедукция от гледна точка на философията
Ако погледнете историческата ретроспектива, терминът "индукция" е споменат за първи път от Сократ. Аристотел описва примери за индукция във философията в по-приблизителен терминологичен речник, но въпросът за непълната индукция остава открит. След преследването на аристотеловия силогизъм индуктивният метод започва да се признава за плодотворен и единствено възможен в естествената наука. Бейкън се смята за бащата на индукцията като независим специален метод, но той не успя да се раздели,както изискваха съвременниците, индукция от дедуктивния метод.
По-нататъшното развитие на индукцията е извършено от Дж. Мил, който разглежда индукционната теория от позицията на четири основни метода: съгласие, разлика, остатъци и съответните промени. Не е изненадващо, че днес изброените методи, когато се разглеждат подробно, са дедуктивни.
Осъзнаването на провала на теориите на Бейкън и Мил накара учените да изследват вероятностната основа на индукцията. Но дори и тук имаше някои крайности: правеха се опити да се намали индукцията към теорията на вероятностите с всички произтичащи от това последствия.
Induction получава вот на доверие за практическо приложение в определени предметни области и поради метричната точност на индуктивната основа. Пример за индукция и дедукция във философията може да се счита за закона за универсалното привличане. Към датата на откриването на закона Нютон успя да го провери с точност от 4 процента. И при тестване след повече от двеста години, верността беше потвърдена с точност от 0,0001 процента, въпреки че тестът беше проведен със същите индуктивни обобщения.
Съвременната философия обръща повече внимание на дедукцията, която е продиктувана от логическото желание за извличане на ново знание (или истина) от това, което вече е известно, без да се прибягва до опит, интуиция, а с помощта на "чисти" разсъждения. Когато се позовава на истинските предпоставки в дедуктивния метод, във всички случаи изходът е вярно твърдение.
Тази много важна характеристика не трябва да засенчва стойността на индуктивния метод. От индукцията, разчитайки на постиженията на опита,също се превръща в средство за обработката му (включително обобщаване и систематизиране).
Прилагане на индукцията в икономиката
Индукцията и дедукцията отдавна се използват като методи за изучаване на икономиката и прогнозиране на нейното развитие.
Обхватът на използване на индукционния метод е доста широк: изследване на изпълнението на прогнозните показатели (печалба, амортизация и др.) и обща оценка на състоянието на предприятието; формиране на ефективна политика за насърчаване на предприятието, основана на факти и техните взаимоотношения.
Същият метод на индукция се използва в диаграмите на Шухарт, където, при предположението, че процесите са разделени на контролирани и неуправлявани, се посочва, че рамката на контролирания процес е неактивна.
Трябва да се отбележи, че научните закони са оправдани и потвърдени с помощта на метода на индукцията и тъй като икономиката е наука, която често използва математически анализ, теория на риска и статистически данни, не е изненадващо, че индукцията е включена в списък с основните методи.
Следната ситуация може да послужи като пример за индукция и дедукция в икономиката. Увеличаването на цената на храните (от потребителската кошница) и стоките от първа необходимост подтиква потребителя да мисли за възникващата висока цена в държавата (индукция). В същото време от факта на високата цена, използвайки математически методи, е възможно да се изведат показатели за увеличение на цените за отделни стоки или категории стоки (приспадане).
Най-често управленският персонал, мениджърите и икономистите се позовават на индукционния метод. За дабеше възможно да се предвиди с достатъчна достоверност развитието на предприятието, поведението на пазара, последствията от конкуренцията, необходим е индуктивно-дедуктивен подход при анализа и обработката на информацията.
Илюстративен пример за индукция в икономиката, свързана с погрешни преценки:
-
печалбата на компанията намалява с 30%;
конкурент разширява продуктовата линия;
нищо друго не се е променило;
- производствената политика на конкурента доведе до намаляване на печалбата с 30%;
- оттук и необходимостта от прилагане на същата производствена политика.
Примерът е цветна илюстрация за това как неумелото използване на метода на индукция допринася за разрухата на предприятието.
Дедукция и индукция в психологията
Тъй като има метод, логично има и правилно организирано мислене (да се използва методът). Психологията като наука, която изучава психичните процеси, тяхното формиране, развитие, взаимоотношения, взаимодействия, обръща внимание на „дедуктивното” мислене като една от формите на проявление на дедукцията и индукцията. За съжаление на страниците на психологията в Интернет практически няма оправдание за целостта на дедуктивно-индуктивния метод. Въпреки че професионалните психолози са по-склонни да се сблъскат с прояви на индукция или по-скоро погрешни заключения.
Пример за индукция в психологията, като илюстрация на погрешни преценки, е твърдението: майка ми е измамница, следователно всички жени са измамници. Можете да научите още "погрешни" примери за индукция от живота:
- ученик не е способен на нищо, ако получи двойка по математика;
- той е глупак;
- той е умен;
- Мога да направя всичко;
- и много други ценностни преценки, базирани на абсолютно произволни и понякога незначителни съобщения.
Трябва да се отбележи: когато заблудата на преценките на човек достигне абсурдност, за психотерапевта има фронт на работа. Един пример за въвеждане при среща със специалист:
„Пациентът е абсолютно сигурен, че червеният цвят носи само опасност за него във всякакви прояви. В резултат на това човек е изключил тази цветова схема от живота си - доколкото е възможно. В домашната среда има много възможности за комфортен живот. Можете да откажете всички червени артикули или да ги замените с аналози, направени в различна цветова схема. Но на обществени места, на работа, в магазина - това е невъзможно. Попадайки в ситуация на стрес, пациентът всеки път изпитва „прилив“от напълно различни емоционални състояния, които могат да бъдат опасни за другите.”
Този пример за индукция и несъзнателно се нарича "фиксирани идеи". Ако това се случи на психично здрав човек, можем да говорим за липса на организация на умствената дейност. Елементарното развитие на дедуктивното мислене може да се превърне в начин да се отървете от обсесивните състояния. В други случаи психиатри работят с такива пациенти.
Горните примери за индукция показват, че „непознаването на закона не е такаосвобождава от последствия (погрешни преценки).“
Психолозите, работещи по темата за дедуктивното разсъждение, са съставили списък с препоръки, предназначени да помогнат на хората да овладеят този метод.
Първият елемент е решаването на проблеми. Както се вижда, използваната в математиката форма на индукция може да се счита за „класическа“и използването на този метод допринася за „дисциплината“на ума.
Следващото условие за развитие на дедуктивното мислене е разширяването на хоризонтите (тези, които мислят ясно, ясно заявяват). Тази препоръка насочва „засегнатите“към съкровищниците на науката и информацията (библиотеки, уебсайтове, образователни инициативи, пътувания и др.).
Точността е следващата препоръка. В крайна сметка, от примери за използване на индукционни методи ясно се вижда, че в много отношения това е гаранция за истинността на твърденията.
Те не заобиколиха гъвкавостта на ума, предполагайки възможността за използване на различни начини и подходи при решаването на проблема, както и отчитане на променливостта на развитието на събитията.
И, разбира се, наблюдението, което е основният източник на емпиричен опит.
Трябва да се спомене специално така наречената "психологическа индукция". Този термин, макар и рядко, може да се намери в Интернет. Всички източници не дават поне кратка формулировка на определението на този термин, а се позовават на "примери от живота", като представят или внушение, или някои форми на психично заболяване като нов вид индукция,Това са екстремни състояния на човешката психика. От всичко казано по-горе става ясно, че опитът да се изведе „нов термин“, базиран на неверни (често неверни) предпоставки, обрича експериментатора да получи погрешно (или прибързано) твърдение.
Трябва да се отбележи, че препратката към експериментите от 1960 г. (без уточняване на мястото, имената на експериментаторите, извадката от субекти и най-важното, целта на експеримента) изглежда меко казано, неубедително и твърдението, че мозъкът възприема информация, заобикаляйки всички органи на възприятието (фразата „засегнат“в този случай би се вписала по-органично), кара човек да се замисли за лековерието и безкритичността на автора на твърдението.
Вместо заключение
Кралицата на науките - математиката, съзнателно използва всички възможни резерви на метода на индукция и дедукция. Разгледаните примери ни позволяват да заключим, че повърхностното и неумело (както се казва необмислено) прилагане дори на най-точните и надеждни методи винаги води до погрешни резултати.
В масовото съзнание методът на дедукция се свързва с известния Шерлок Холмс, който в своите логически конструкции често използва примери за индукция, използвайки дедукция в необходими ситуации.
Статията разглежда примери за прилагане на тези методи в различни науки и сфери на човешкия живот.
