Каква е ъглополовящата на триъгълник? На този въпрос една добре позната поговорка излиза от езика на някои хора: „Това е плъх, който тича по ъглите и разделя ъгъла наполовина“. Ако се предполага, че отговорът е "с хумор", тогава може би е правилен. Но от научна гледна точка отговорът на този въпрос трябваше да звучи така: „Това е лъч, започващ от горната част на ъгъла и разделящ последния на две равни части“. В геометрията тази фигура също се възприема като сегмент от ъглополовящата, докато не се пресече с противоположната страна на триъгълника. Това не е погрешно мнение. Какво още се знае за ъглополовящата на ъгъла, освен нейното определение?
Като всеки локус на точки, той има свои собствени характеристики. Първият от тях по-скоро дори не е знак, а теорема, която може да се изрази накратко по следния начин: „Ако ъглополовящата раздели противоположната страна на две части, тогава тяхното съотношение ще съответства на съотношението на страните на голямататриъгълник.
Второто свойство, което има: пресечната точка на симетралите на всички ъгли се нарича инцентър.
Трети знак: симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в центъра на една от трите вписани окръжности в него.
Четвъртото свойство на ъглополовящата на триъгълник е, че ако всеки от тях е равен, тогава последният е равнобедрен.
Петият знак също се отнася до равнобедрен триъгълник и е основната насока за разпознаването му в чертежа по сисектриси, а именно: в равнобедрен триъгълник той действа едновременно като медиана и височина.
Бисектрисата на ъгъл може да бъде конструирана с помощта на пергел и линиа:
Шестото правило казва, че е невъзможно да се построи триъгълник, използвайки последния само с наличните ъглополовящи, точно както е невъзможно да се построи удвояване на куб, квадрат на окръжност и трисекция на ъгъл по този начин. Строго погледнато, това са всички свойства на ъглополовящата на триъгълник.
Ако прочетете внимателно предишния параграф, тогава може би се интересувате от една фраза. "Какво е трисекцията на ъгъл?" - със сигурност ще попитате. Трисектрисата е малко подобна на ъглополовящата, но ако нарисувате последната, тогава ъгълът ще бъде разделен на две равни части и при конструиране на трисекция натри. Естествено, ъглополовящата на ъгъл се запомня по-лесно, тъй като трисекцията не се преподава в училище. Но за пълнота ще ви разкажа за нея.
Трисектор, както казах, не може да се изгради само с пергел и линийка, но може да се създаде с помощта на правилата на Фуджита и някои криви: охлюви на Паскал, квадратици, конхоиди на Никомед, конични сечения, спирали на Архимед.
Проблемите с трисекцията на ъгъла се решават съвсем просто с помощта на nevsis.
В геометрията има теорема за ъглови трисектриси. Нарича се теорема на Морли (Морли). Тя заявява, че пресечните точки на средните трисектори на всеки ъгъл ще бъдат върховете на равностранен триъгълник.
Малък черен триъгълник вътре в голям винаги ще бъде равностранен. Тази теорема е открита от британския учен Франк Морли през 1904 г.
Ето всичко, което трябва да научите за разделянето на ъгъл: трисектрисата и ъглополовящата на ъгъл винаги изискват подробни обяснения. Но тук бяха дадени много определения, които все още не са разкрити от мен: охлюв на Паскал, конхоида на Никомед и т.н. Не се заблуждавайте, може да се напише повече за тях.
