При думата "безкрайност" всеки човек има свои собствени асоциации. Мнозина рисуват във въображението си морето, което излиза отвъд хоризонта, докато други имат пред очите си картина на безкрайно звездно небе. Математиците, свикнали да оперират с числа, си представят безкрайността по съвсем различен начин. В продължение на много векове те се опитват да намерят най-голямата от физическите величини, необходими за измерване. Едно от тях е числото на Греъм. Колко нули има в него и за какво се използва, тази статия ще разкаже.
Безкрайно голямо число
В математиката това е името на такава променлива x , ако за дадено положително число M може да се посочи естествено число N, така че за всички числа n по-големи от N неравенството |x | > M. Въпреки това, не, например, цяло число Z може да се счита за безкрайно голямо, тъй като винаги ще бъде по-малко от (Z + 1).
Няколко думи за "гигантите"
Най-големите числа, които имат физическо значение се считат за:
- 1080. Това число, което обикновено се нарича quinquavigintilion, се използва за означаване на приблизителния брой кварки и лептони (най-малките частици) във Вселената.
- 1 Google. Такова число в десетичната система се записва като единица със 100 нули. Според някои математически модели от времето на Големия взрив до експлозията на най-масивната черна дупка трябва да минат от 1 до 1,5 години гугол, след което нашата Вселена ще премине в последния етап от своето съществуване, т.е. приемем, че това число има определено физическо значение.
- 8, 5 x 10185. Константата на Планк е 1,616199 x 10-35 m, т.е. в десетичен запис изглежда като 0,0000000000000000000000000000616199 m. Има около 1 googol Планк дължина в инч. Изчислено е, че около 8,5 x 10185 Planck дължини могат да се поберат в цялата ни вселена.
- 277 232 917 – 1. Това е най-голямото известно просто число. Ако неговата двоична нотация има доста компактна форма, тогава, за да се изобрази в десетична форма, тя ще отнеме не по-малко от 13 милиона знака. Намерено е през 2017 г. като част от проект за търсене на числа на Мерсен. Ако ентусиастите продължат да работят в тази посока, тогава при сегашното ниво на развитие на компютърните технологии, в близко бъдеще е малко вероятно да успеят да намерят число на Мерсен с порядък по-голям от 277 232 917- 1, макар и такъвкъсметлията ще получи US$150,000.
- Hugoplex. Тук просто вземаме 1 и добавяме нули след него в размер на 1 googol. Можете да запишете това число като 10^10^100. Невъзможно е да се представи в десетична форма, тъй като ако цялото пространство на Вселената е изпълнено с парчета хартия, на всяко от които 0 ще бъде изписано с размер на шрифта „Word” 10, тогава в този случай само половината от всички 0 след 1 ще бъдат получени за номера на googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Това е число, показващо броя на годините, след които, според теоремата на Поанкаре, нашата Вселена, в резултат на произволни квантови флуктуации, ще се върне в състояние, близко до днешното.
Как се появиха числата на Греъм
През 1977 г., известният популяризатор на науката Мартин Гарднър публикува статия в Scientific American относно доказателството на Греъм за един от проблемите на теорията на Рамзе. В него той нарече ограничението, поставено от учения, най-голямото число, използвано някога в сериозни математически разсъждения.
Кой е Роналд Люис Греъм
Ученият, сега на 80-те, е роден в Калифорния. През 1962 г. той получава докторска степен по математика от университета в Бъркли. Той работи в Bell Labs в продължение на 37 години и по-късно се премества в AT&T Labs. Ученият активно си сътрудничи с един от най-големите математици на 20-ти век Пал Ердош и е носител на много престижни награди. Научната библиография на Греъм съдържа повече от 320 научни статии.
В средата на 70-те години ученият се интересува от проблема, свързан с теориятаРамзи. В неговото доказателство беше определена горната граница на решението, което е много голямо число, впоследствие кръстено на Роналд Греъм.
проблем с хиперкуб
За да разберете същността на числото на Греъм, първо трябва да разберете как е получено.
Ученият и неговият колега Брус Ротшилд решаваха следния проблем:
Има n-измерен хиперкуб. Всички двойки от неговите върхове са свързани по такъв начин, че се получава пълна графика с 2върха. Всеки от ръбовете му е оцветен в синьо или червено. Изисква се да се намери минималният брой върхове, които хиперкубът трябва да има, така че всяко такова оцветяване да съдържа пълен монохроматичен подграф с 4 върха, лежащи в една и съща равнина.
Решение
Graham и Rothschild доказаха, че задачата има решение N', удовлетворяващо условието 6 ⩽ N' ⩽N, където N е добре дефинирано, много голямо число.
Впоследствие долната граница за N беше прецизирана от други учени, които доказаха, че N трябва да е по-голямо или равно на 13. Така изразът за най-малкия брой върхове на хиперкуб, който удовлетворява условията, представени по-горе, стана 13 ⩽ N'⩽ N.
нотация на стрелка на Кнут
Преди да дефинирате числото на Греъм, трябва да се запознаете с метода на неговото символно представяне, тъй като нито десетичната, нито двоичната нотация са абсолютно подходящи за това.
Понастоящем нотацията със стрелка на Кнут се използва за представяне на това количество. Според нея:
ab=a "стрелка нагоре" b.
За операцията на множествено експоненцииране беше въведен записът:
a "стрелка нагоре" "стрелка нагоре" b=ab="кула, състояща се от a в количество от b парчета."
И за пентация, т.е. символично обозначение на многократно експоненцииране на предишния оператор, Кнут вече използва 3 стрелки.
Използвайки тази нотация за числото на Греъм, имаме "стрелки" последователности, вложени една в друга, в размер на 64 бр.
Скала
Тяхното известно число, което вълнува въображението и разширява границите на човешкото съзнание, извеждайки го отвъд границите на Вселената, Греъм и колегите му го получават като горна граница за числото N в доказателството за хиперкуба проблем, представен по-горе. За обикновения човек е изключително трудно да си представи колко голям е неговият мащаб.
Въпросът за броя на знаците, или както понякога погрешно се казва, нулите в числото на Греъм, е от интерес за почти всеки, който чува за тази стойност за първи път.
Достатъчно е да кажем, че имаме работа с бързо нарастваща последователност, която се състои от 64 члена. Дори първият му термин е невъзможно да си представим, тъй като се състои от n "кули", състоящи се от 3-to. Вече неговият "долен етаж" от 3 тройки е равен на 7 625 597 484 987, тоест надхвърля 7 милиарда, което ще рече за 64-ия етаж (не е член!). По този начин в момента е невъзможно да се каже какво точно е числото на Греъм, тъй като не е достатъчно да се изчисли.комбинираната мощност на всички компютри, които съществуват на Земята днес.
Рекордът е счупен?
В процеса на доказване на теоремата на Крускал, числото на Греъм беше „изхвърлено от пиедестала”. Ученият предложи следния проблем:
Има безкрайна последователност от крайни дървета. Крускал доказа, че винаги съществува участък от някаква графика, който е както част от по-голяма графика, така и нейно точно копие. Това твърдение не предизвиква никакви съмнения, тъй като е очевидно, че винаги ще има точно повтаряща се комбинация в безкрайността
По-късно Харви Фридман донякъде стеснява този проблем, като разглежда само такива ациклични графики (дървета), че за определена с коефициент i има най-много (i + k) върхове. Той реши да разбере какъв трябва да бъде броят на ацикличните графики, така че с този метод на тяхната задача винаги да е възможно да се намери поддърво, което да бъде вградено в друго дърво.
В резултат на изследване по този въпрос беше установено, че N, в зависимост от k, расте с огромна скорост. По-специално, ако k=1, тогава N=3. Въпреки това, при k=2, N вече достига 11. Най-интересното нещо започва, когато k=3. В този случай N бързо "излита" и достига стойност, която е многократно по-голямо от числото на Греъм. За да си представите колко голямо е то, достатъчно е да запишете изчисленото от Роналд Греъм число под формата на G64 (3). Тогава стойността на Фридман-Крускал (рев. FinKraskal(3)) ще бъде от порядъка на G(G(187196)). С други думи, получава се мега-стойност, която е безкрайно по-голяманевъобразимо голямо число на Греъм. В същото време дори то ще бъде по-малко от безкрайност с гигантски брой пъти. Има смисъл да говорим за тази концепция по-подробно.
Безкрайност
Сега, когато обяснихме какво е числото на Греъм на пръстите, трябва да разберем значението, което е било и се влага в тази философска концепция. В крайна сметка „безкрайност“и „безкрайно голямо число“могат да се считат за идентични в определен контекст.
Най-голям принос към изследването на този въпрос има Аристотел. Великият мислител на древността разделя безкрайността на потенциална и действителна. Под последното той разбира реалността на съществуването на безкрайни неща.
Според Аристотел, източниците на идеи за тази основна концепция са:
- време;
- разделяне на стойности;
- концепцията за границата и съществуването на нещо отвъд нея;
- неизчерпаемостта на творческата природа;
- мисля, че няма граници.
В съвременната интерпретация на безкрайността не можете да посочите количествена мярка, така че търсенето на най-голямото число може да продължи вечно.
Заключение
Може ли метафората "Поглед в безкрайността" и числото на Греъм да се считат за синоними в някакъв смисъл? По-скоро да и не. И двете е невъзможно да си представим, дори и с най-силно въображение. Въпреки това, както вече споменахме, не може да се счита за „най-много, най-много“. Друго нещо е, че в момента стойности, по-големи от числото на Греъм, нямат установенифизическо чувство.
Освен това няма свойствата на безкрайно число, като:
- ∞ + 1=∞;
- има безкраен брой както нечетни, така и четни числа;
- ∞ - 1=∞;
- броят на нечетните числа е точно половината от всички числа;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Да обобщим: числото на Греъм е най-голямото число в практиката на математическо доказателство, според Книгата на рекордите на Гинес. Има обаче числа, които са много пъти по-големи от тази стойност.
Най-вероятно в бъдеще ще има нужда от още по-големи "гиганти", особено ако човек надхвърли нашата слънчева система или изобрети нещо невъобразимо на сегашното ниво на нашето съзнание.
