Матрицата е специален обект в математиката. Изобразява се под формата на правоъгълна или квадратна таблица, съставена от определен брой редове и колони. В математиката има голямо разнообразие от типове матрици, които се различават по размер или съдържание. Номерата на неговите редове и колони се наричат ордери. Тези обекти се използват в математиката за организиране на писането на системи от линейни уравнения и удобно търсене на техните резултати. Уравненията с помощта на матрица се решават по метода на Карл Гаус, Габриел Крамер, минорни и алгебрични събирания и много други начини. Основното умение при работа с матрици е привеждането им в стандартна форма. Но първо, нека да разберем какви типове матрици се различават от математиците.
Нулев тип
Всички компоненти на този вид матрица са нули. Междувременно броят на неговите редове и колони е напълно различен.
Квадратен тип
Броят на колоните и редовете на този тип матрица е един и същ. С други думи, това е маса с форма "квадрат". Броят на неговите колони (или редове) се нарича ред. Специални случаи са съществуването на матрица от втори ред (матрица 2x2), четвърти ред (4x4), десети (10x10), седемнадесети (17x17) и т.н.
Вектор на колона
Това е един от най-простите типове матрици, съдържащ само една колона, която включва три числови стойности. Той представлява серия от свободни термини (числа, независими от променливи) в системи от линейни уравнения.
Векторен ред
Вижте подобен на предишния. Състои се от три числови елемента, организирани на свой ред в един ред.
Тип диагонал
Само компонентите на главния диагонал (маркирани в зелено) приемат числови стойности в диагоналната форма на матрицата. Основният диагонал започва с елемента в горния ляв ъгъл и завършва съответно с елемента в долния десен ъгъл. Останалите компоненти са нулеви. Диагоналният тип е само квадратна матрица от някакъв порядък. Сред матриците с диагонална форма може да се отдели скаларна. Всички негови компоненти приемат едни и същи стойности.
Матрица за идентичност
А подвид на диагоналната матрица. Всичките му числови стойности са единици. Използвайки единичен тип матрични таблици, извършете основните й трансформации или намерете матрица, обратна на оригиналната.
Каноничен тип
Каноническата форма на матрица се счита за една от основните; леене към него често е необходимо, за да работи. Броят на редовете и колоните в каноничната матрица е различен, не е задължително да принадлежи към квадратния тип. Тя е донякъде подобна на матрицата за идентичност, но в нейния случай не всички компоненти на главния диагонал приемат стойност, равна на единица. Може да има две или четири основни диагонални единици (всичко зависи от дължината и ширината на матрицата). Или може изобщо да няма единици (тогава се счита за нула). Останалите компоненти от каноничния тип, както и елементите на диагонала и идентичността, са равни на нула.
Тип триъгълник
Един от най-важните типове матрици, използвани при търсене на нейната детерминанта и при извършване на прости операции. Триъгълният тип идва от диагоналния тип, така че матрицата също е квадратна. Триъгълният изглед на матрицата е разделен на горен триъгълен и долен триъгълен.
В горната триъгълна матрица (фиг. 1) само елементите, които са над главния диагонал, приемат стойност, равна на нула. Компонентите на самия диагонал и частта от матрицата под него съдържат числови стойности.
В долната триъгълна матрица (фиг. 2), напротив, елементите, разположени в долната част на матрицата, са равни на нула.
Step Matrix
Изгледът е необходим за намиране на ранга на матрица, както и за елементарни операции върху тях (заедно с триъгълния тип). Матрицата за стъпки е наречена така, защото съдържа характерни "стъпки" от нули (както е показано на фигурата). При стъпаловиден тип се образува диагонал от нули (не непременно основният) и всички елементи под този диагонал също имат стойности, равни на нула. Предпоставка е следното: ако има нулев ред в матрицата на стъпките, тогава останалите редове под него също не съдържат числови стойности.
По този начин разгледахме най-важните типове матрици, необходими за работа с тях. Сега нека се заемем със задачата за преобразуване на матрица в необходимата форма.
Намаляване до триъгълна форма
Как да приведем матрицата в триъгълна форма? Най-често в задачите трябва да преобразувате матрица в триъгълна форма, за да намерите нейната детерминанта, иначе наречена детерминанта. При извършване на тази процедура е изключително важно да "запазите" главния диагонал на матрицата, тъй като детерминантата на триъгълната матрица е точно произведението на компонентите на главния й диагонал. Нека ви припомня и алтернативни методи за намиране на детерминанта. Детерминантата от квадратен тип се намира с помощта на специални формули. Например, можете да използвате метода на триъгълника. За други матрици се използва методът на декомпозиция по ред, колона или техни елементи. Можете също така да приложите метода на минорите и алгебричните допълнения на матрицата.
ПодробностиНека анализираме процеса на привеждане на матрица в триъгълна форма, използвайки примери за някои задачи.
Задача 1
Необходимо е да се намери детерминантата на представената матрица, като се използва методът за привеждането й в триъгълна форма.
Дадената ни матрица е квадратна матрица от трети порядък. Следователно, за да го трансформираме в триъгълна форма, трябва да анулираме два компонента на първата колона и един компонент на втората.
За да го приведете до триъгълна форма, започнете трансформацията от долния ляв ъгъл на матрицата - от числото 6. За да го превърнете в нула, умножете първия ред по три и го извадете от последния ред.
Важно! Горният ред не се променя, но остава същият като в оригиналната матрица. Не е необходимо да пишете низ четири пъти по-голям от оригиналния. Но стойностите на низовете, чиито компоненти трябва да бъдат анулирани, постоянно се променят.
След това нека се заемем със следващата стойност - елемента на втория ред на първата колона, номер 8. Умножете първия ред по четири и го извадете от втория ред. Получаваме нула.
Остава само последната стойност - елементът от третия ред на втората колона. Това е числото (-1). За да го превърнете в нула, извадете втория от първия ред.
Да проверим:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Значи отговорът на задачата е -22.
Задача 2
Трябва да намерим детерминанта на матрицата, като я приведем в триъгълна форма.
Представена матрицапринадлежи към квадратния тип и е матрица от четвърти ред. Това означава, че три компонента на първата колона, два компонента на втората колона и един компонент на третата колона трябва да бъдат нулирани.
Нека започнем намаляването му от елемента, разположен в долния ляв ъгъл - от числото 4. Трябва да обърнем това число на нула. Най-лесният начин да направите това е да умножите горния ред по четири и след това да го извадите от четвъртия ред. Нека запишем резултата от първия етап на трансформацията.
И така, компонентът на четвъртия ред е настроен на нула. Нека да преминем към първия елемент от третия ред, към числото 3. Извършваме подобна операция. Умножете по три първия ред, извадете го от третия ред и запишете резултата.
След това виждаме числото 2 във втория ред. Повтаряме операцията: умножете горния ред по две и го извадете от втория.
Успяхме да зададем на нула всички компоненти на първата колона на тази квадратна матрица, с изключение на числото 1, елемента на главния диагонал, който не изисква трансформация. Сега е важно да запазим получените нули, така че ще извършваме трансформации с редове, а не с колони. Нека да преминем към втората колона на представената матрица.
Да започнем отново отдолу - от елемента на втората колона на последния ред. Това е числото (-7). Въпреки това, в този случай е по-удобно да започнете с числото (-1) - елементът от втората колона на третия ред. За да го превърнете на нула, извадете втория ред от третия ред. След това умножаваме втория ред по седем и го изваждаме от четвъртия. Получихме нула вместо елемента, разположен в четвъртия ред на втората колона. Сега да преминем към третотоколона.
В тази колона трябва да обърнем на нула само едно число - 4. Лесно е да се направи: просто добавете третото към последния ред и вижте нулата, от която се нуждаем.
След всички трансформации приведохме предложената матрица в триъгълна форма. Сега, за да намерите неговия детерминант, трябва само да умножите получените елементи от главния диагонал. Получаваме: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Следователно решението е числото 160.
И така, сега въпросът за привеждането на матрицата в триъгълна форма няма да ви затрудни.
Редукция до стъпаловидна форма
При елементарни операции с матрици, стъпаловидна форма е по-малко "търсена" от триъгълната. Най-често се използва за намиране на ранга на матрица (т.е. броя на нейните ненулеви редове) или за определяне на линейно зависими и независими редове. Въпреки това, стъпаловиден матричен изглед е по-гъвкав, тъй като е подходящ не само за квадратен тип, но и за всички останали.
За да намалите матрица до стъпаловидна форма, първо трябва да намерите нейния детерминант. За това са подходящи горните методи. Целта на намирането на детерминанта е да се установи дали тя може да бъде преобразувана в стъпкова матрица. Ако детерминантата е по-голяма или по-малка от нула, тогава можете спокойно да продължите към задачата. Ако е равно на нула, няма да работи за намаляване на матрицата до стъпаловидна форма. В този случай трябва да проверите дали има грешки в записа или в трансформациите на матрицата. Ако няма такива неточности, задачата не може да бъде решена.
Нека видим какприведете матрицата в стъпаловидна форма, като използвате примери за няколко задачи.
Задача 1. Намерете ранга на дадената матрица.
Пред нас е квадратна матрица от трети порядък (3x3). Знаем, че за да се намери ранга, е необходимо да се сведе до стъпаловидна форма. Следователно първо трябва да намерим детерминанта на матрицата. Използвайки метода на триъгълника: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Определител=12. Той е по-голям от нула, което означава, че матрицата може да бъде намалена до стъпаловидна форма. Нека започнем неговите трансформации.
Нека го започнем с елемента от лявата колона на третия ред - числото 2. Умножете горния ред по две и го извадете от третия. Благодарение на тази операция и елементът, от който се нуждаем, и числото 4 - елементът от втората колона на третия ред - се превърнаха в нула.
След това завъртете на нула елемента от втория ред на първата колона - числото 3. За да направите това, умножете горния ред по три и го извадете от втория.
Виждаме, че намаляването е довело до триъгълна матрица. В нашия случай трансформацията не може да продължи, тъй като останалите компоненти не могат да бъдат обърнати на нула.
И така, заключаваме, че броят на редовете, съдържащи числови стойности в тази матрица (или нейния ранг) е 3. Отговор на задачата: 3.
Задача 2. Определете броя на линейно независимите редове на тази матрица.
Трябва да намерим низове, които не могат да бъдат обърнати с никакви трансформациидо нула. Всъщност трябва да намерим броя на ненулевите редове или ранга на представената матрица. За да направите това, нека го опростим.
Виждаме матрица, която не принадлежи към квадратния тип. Има размери 3х4. Нека също да започнем кастинга от елемента в долния ляв ъгъл - числото (-1).
Добавете първия ред към третия. След това извадете втория от него, за да превърнете числото 5 на нула.
По-нататъшни трансформации са невъзможни. И така, заключаваме, че броят на линейно независимите линии в него и отговорът на задачата е 3.
Сега привеждането на матрицата в стъпаловидна форма не е невъзможна задача за вас.
На примерите за тези задачи анализирахме редуцирането на матрица до триъгълна форма и стъпаловидна форма. За да се анулират желаните стойности на матричните таблици, в някои случаи е необходимо да се прояви въображение и правилно да се трансформират техните колони или редове. Успех в математиката и работата с матрици!
