Как да намеря произведението на матриците. Матрично умножение. Скаларен продукт на матрици. Продукт от три матрици

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Матрици (таблици с числови елементи) могат да се използват за различни изчисления. Някои от тях са умножение по число, вектор, друга матрица, няколко матрици. Продуктът понякога е неправилен. Грешен резултат е резултат от непознаване на правилата за извършване на изчислителни действия. Нека да разберем как да правим умножение.

Матрица и число

Нека започнем с най-простото нещо - умножаване на таблица с числа по определена стойност. Например, имаме матрица A с елементи a_ij (i са номерата на редовете, а j са номерата на колоните) и числото e. Произведението на матрицата от числото e ще бъде матрицата B с елементите b_ij, които се намират по формулата:

b_ij=e × a_ij.

T. д. за да получите елемента b₁₁ трябва да вземете елемента a₁₁ и да го умножите по желаното число, за да получите b₁₂ е необходимо да се намери произведението на елемента a₁₂ и числото e и т.н.

Нека решим проблема номер 1, представен на снимката. За да получите матрица B, просто умножете елементите от A по 3:

1. a₁₁ × 3=18. Записваме тази стойност в матрица B на мястото, където колона № 1 и ред № 1 се пресичат.
2. a₂₁ × 3=15. Получаваме елемент b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Получихме елемента b₁₂. Записваме го в матрица B на мястото, където колона 2 и ред 1 се пресичат.
4. a₂₂ × 3=9. Този резултат е елемент b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Въведете това число в матрицата на мястото на елемента b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Последното получено число е елемент b₂₃.

По този начин получихме правоъгълен масив с числови елементи.

18	–6	12
15	9	–3

Вектори и условието за съществуване на произведение от матрици

В математическите дисциплини има такова нещо като "вектор". Този термин се отнася до подреден набор от стойности от a₁ до a . Те се наричат векторни пространствени координати и се записват като колона. Съществува и терминът "транспониран вектор". Неговите компоненти са подредени като низ.

Векторите могат да бъдат наречени матрици:

• column vector е матрица, изградена от една колона;
• row vector е матрица, която включва само един ред.

Когато сте готовинад матрици от операции за умножение е важно да запомните, че има условие за съществуването на продукт. Изчислителното действие A × B може да се извърши само когато броят на колоните в таблица A е равен на броя на редовете в таблица B. Получената матрица в резултат на изчислението винаги има броя на редовете в таблица A и броя на колоните в таблица B.

При умножение не се препоръчва пренареждане на матрици (множители). Техният продукт обикновено не съответства на комутативния (изместващ) закон на умножението, т.е. резултатът от операцията A × B не е равен на резултата от операцията B × A. Тази характеристика се нарича некомутативност на произведението на матрици. В някои случаи резултатът от умножението A × B е равен на резултата от умножението B × A, т.е. произведението е комутативно. Матрици, за които е валидно равенството A × B=B × A, се наричат пермутационни матрици. Вижте примери за такива таблици по-долу.

Умножение по вектор на колона

Когато умножаваме матрица по вектор колона, трябва да вземем предвид условието за съществуване на произведението. Броят на колоните (n) в таблицата трябва да съответства на броя на координатите, които съставляват вектора. Резултатът от изчислението е трансформираният вектор. Неговият брой координати е равен на броя на редовете (m) от таблицата.

Как се изчисляват координатите на вектора y, ако има матрица A и вектор x? За изчисления създадени формули:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

……………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

където x₁, …, x са координати от x-вектора, m е броят на редовете в матрицата и числото на координати в новия y-вектор, n е броят на колоните в матрицата и броят на координатите в x-вектора, a₁₁, a_{12, …, a}mn– елементи на матрица A.

По този начин, за да се получи i-тият компонент на новия вектор, се изпълнява скаларното произведение. Векторът i-ти ред е взет от матрицата A и се умножава по наличния вектор x.

Нека решим задача № 2. Можете да намерите произведението на матрица и вектор, защото A има 3 колони, а x се състои от 3 координати. В резултат на това трябва да получим вектор колона с 4 координати. Нека използваме горните формули:

1. Изчисли y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Крайната стойност е 2.
2. Изчисли y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). При изчисляване получаваме 0.
3. Изчисли y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Сборът от произведенията на посочените фактори е 6.
4. Изчисли y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координатата е -8.

Умножение на векторна матрица на ред

Не можете да умножите матрица с множество колони по вектор ред. В такива случаи не е изпълнено условието за съществуване на произведението. Но е възможно умножение на вектор-ред по матрица. Товаизчислителната операция се извършва, когато броят на координатите във вектора и броят на редовете в таблицата съвпадат. Резултатът от произведението на вектор и матрица е нов вектор ред. Неговият брой координати трябва да е равен на броя на колоните в матрицата.

Изчисляването на първата координата на нов вектор включва умножаване на вектора ред и първия вектор колона от таблицата. Втората координата се изчислява по подобен начин, но вместо първия вектор колона се взема втория вектор колона. Ето общата формула за изчисляване на координати:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, където y_k е координата от y-вектора, (k е между 1 и n), m е броят на редовете в матрицата и броят на координатите в x-вектора, n е броят на колоните в матрицата и броят на координатите в y-вектора, a с буквено-цифрови индекси са елементите на матрицата A.

Продукт на правоъгълни матрици

Това изчисление може да изглежда сложно. Умножението обаче се извършва лесно. Нека започнем с определение. Произведението на матрица A с m реда и n колони и матрица B с n реда и p колони е матрица C с m реда и p колони, в която елементът c_ij е сума от произведенията на елементите i-ти ред от таблица A и j-та колона от таблица B. По-просто казано, елементът c_ij е скаларното произведение на i-тия ред вектор от таблица A и вектор на j-та колона от таблица B.

Сега нека да разберем на практика как да намерим произведението на правоъгълни матрици. Нека за това решим задача No 3. Удовлетворено е условието за съществуване на продукт. Нека започнем да изчисляваме елементите c_ij:

1. Матрица C ще има 2 реда и 3 колони.
2. Изчисляване на елемент c₁₁. За да направим това, изпълняваме скаларното произведение на ред № 1 от матрица A и колона № 1 от матрица B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. След това продължаваме по подобен начин, променяйки само редове, колони (в зависимост от индекса на елемента).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Елементите се изчисляват. Сега остава само да направите правоъгълен блок от получените числа.

16	12	9
31	18	36

Умножение на три матрици: теоретичната част

Можете ли да намерите произведението на три матрици? Тази изчислителна операция е осъществима. Резултатът може да се получи по няколко начина. Например, има 3 квадратни таблици (от същия ред) - A, B и C. За да изчислите продукта, можете:

1. Първо умножете A и B. След това умножете резултата по C.
2. Първо намерете произведението на B и C. След това умножете матрица A по резултата.

Ако трябва да умножите правоъгълни матрици, тогава първо трябва да се уверите, че тази изчислителна операция е възможна. Трябвасъществуват продукти A × B и B × C.

Инкременталното умножение не е грешка. Има такова нещо като "асоциативност на умножението на матрици". Този термин се отнася до равенството (A × B) × C=A × (B × C).

Практика за умножение на три матрици

Квадратни матрици

Започнете с умножаване на малки квадратни матрици. Фигурата по-долу показва проблем номер 4, който трябва да решим.

Ще използваме свойството на асоциативност. Първо умножаваме или A и B, или B и C. Запомняме само едно: не можете да разменяте коефициенти, тоест не можете да умножите B × A или C × B. С това умножение ще получим грешен резултат.

Прогрес на решението.

Първа стъпка. За да намерим общото произведение, първо умножаваме A по B. Когато умножаваме две матрици, ще се ръководим от правилата, които бяха описани по-горе. И така, резултатът от умножаването на A и B ще бъде матрица D с 2 реда и 2 колони, т.е. правоъгълен масив ще включва 4 елемента. Нека ги намерим, като направим изчислението:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Междинен резултат е готов.

30	10
15	16

Втора стъпка. Сега нека умножим матрица D по матрица C. Резултатът трябва да бъде квадратна матрица G с 2 реда и 2 колони. Изчисляване на елементи:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

По този начин резултатът от произведението на квадратните матрици е таблица G с изчислени елементи.

250	180
136	123

Правоъгълни матрици

Фигурата по-долу показва проблем номер 5. Необходимо е да се умножат правоъгълни матрици и да се намери решение.

Нека проверим дали е изпълнено условието за съществуване на произведения A × B и B × C. Редовете на посочените матрици ни позволяват да извършим умножение. Нека започнем да решаваме проблема.

Прогрес на решението.

Първа стъпка. Умножете B по C, за да получите D. Матрица B има 3 реда и 4 колони, а матрица C има 4 реда и 2 колони. Това означава, че ще получим матрица D с 3 реда и 2 колони. Нека изчислим елементите. Ето 2 примера за изчисление:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Продължаваме да решаваме проблема. В резултат на допълнителни изчисления намираме стойностите d₂₁, d₂ 2, d₃₁ и d₃₂. Тези елементи са съответно 0, 19, 1 и 11. Нека запишем намерените стойности в правоъгълен масив.

0	7
0	19
1	11

Втора стъпка. Умножете A по D, за да получите крайната матрица F. Тя ще има 2 реда и 2 колони. Изчисляване на елементи:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Съставете правоъгълен масив, който е крайният резултат от умножаването на три матрици.

1	139
3	52

Въведение в директната работа

Доста труден за разбиране материал е продуктът на Кронекер на матриците. Има и допълнително име - директна работа. Какво се има предвид под този термин? Да кажем, че имаме таблица A от порядък m × n и таблица B от порядък p × q. Прякото произведение на матрица A и матрица B е матрица от порядък mp × nq.

Имаме 2 квадратни матрици A, B, които са показани на снимката. Първият има 2 колони и 2 реда, а вторият има 3 колони и 3 реда. Виждаме, че матрицата, получена от директното произведение, се състои от 6 реда и точно същия брой колони.

Как се изчисляват елементите на нова матрица в директен продукт? Намирането на отговора на този въпрос е много лесно, ако анализирате картината. Първо попълнете първия ред. Вземете първия елемент от горния ред на таблица А и последователно го умножете по елементите на първия редот таблица B. След това вземете втория елемент от първия ред на таблица A и последователно го умножете по елементите на първия ред на таблица B. За да попълните втория ред, вземете отново първия елемент от първия ред на таблица A и умножете го по елементите на втория ред на таблица B.

Крайната матрица, получена чрез директен продукт, се нарича блокова матрица. Ако анализираме отново фигурата, можем да видим, че нашият резултат се състои от 4 блока. Всички те включват елементи от матрица B. Освен това, елемент от всеки блок се умножава по специфичен елемент от матрица A. В първия блок всички елементи се умножават по a₁₁, в второ - с _{12, в трето - на} 21_{, в четвърто - на} 22.

Определяне на продукта

Когато разглеждаме темата за умножението на матрици, си струва да вземем предвид такъв термин като „детерминанта на произведението на матриците“. Какво е детерминанта? Това е важна характеристика на квадратната матрица, определена стойност, която се приписва на тази матрица. Буквалното обозначение на детерминанта е det.

За матрица A, състояща се от две колони и два реда, детерминантата е лесна за намиране. Има малка формула, която е разликата между продуктите на конкретни елементи:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Нека разгледаме пример за изчисляване на детерминанта за таблица от втори ред. Има матрица A, в която a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 и a22_{=1. За да изчислите детерминанта, използвайте формулата:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

За матрици 3 × 3 детерминантата се изчислява с помощта на по-сложна формула. Представено е по-долу за матрица A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

За да запомним формулата, измислихме правилото за триъгълник, което е илюстрирано на снимката. Първо, елементите на главния диагонал се умножават. Продуктите на тези елементи, обозначени с ъглите на триъгълници с червени страни, се добавят към получената стойност. След това произведението на елементите на вторичния диагонал се изважда и продуктите на тези елементи, обозначени от ъглите на триъгълници със сини страни, се изваждат.

Сега нека поговорим за детерминантата на произведението на матриците. Има теорема, която гласи, че този показател е равен на произведението на детерминантите от таблиците с множители. Нека проверим това с пример. Имаме матрица A със записи a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 и a22_{=1 и матрица B със записи b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 и b}22_{=2. Намерете детерминантите за матриците A и B, произведението A × B и детерминантата на този продукт.}

Прогрес на решението.

Първа стъпка. Изчислете детерминантата за A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. След това изчислете детерминанта за B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Втора стъпка. Да намеримпродукт A × B. Означете новата матрица с буквата C. Изчислете нейните елементи:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Трета стъпка. Изчислете детерминанта за C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Сравнете със стойността, която може да бъде получена чрез умножаване на детерминантите на оригиналните матрици. Цифрите са еднакви. Горната теорема е вярна.

Продуктов ранг

Рангът на матрица е характеристика, която отразява максималния брой линейно независими редове или колони. За изчисляване на ранга се извършват елементарни трансформации на матрицата:

• пренареждане на два успоредни реда;
• умножаване на всички елементи от определен ред от таблицата по число, различно от нула;
• добавяне към елементите на един ред елементи от друг ред, умножено по конкретно число.

След елементарни трансформации, погледнете броя на низовете, различни от нула. Техният брой е рангът на матрицата. Помислете за предишния пример. Той представи 2 матрици: A с елементи a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 и a₂₂ =1 и B с елементи b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 и b}22_{=2. Ще използваме и матрицата C, получена в резултат на умножение. Ако извършим елементарни трансформации, тогава в опростените матрици няма да има нулеви редове. Това означава, че както ранга на таблица А, така и ранга на таблицата Б, и рангатаблица C е 2.}

Сега нека обърнем специално внимание на ранга на произведението на матриците. Има теорема, която казва, че рангът на произведение от таблици, съдържащи числови елементи, не надвишава ранга на нито един от факторите. Това може да се докаже. Нека A е k × s матрица и B е s × m матрица. Произведението на A и B е равно на C.

Нека проучим снимката по-горе. Той показва първата колона на матрица C и нейното опростено обозначение. Тази колона е линейна комбинация от колоните, включени в матрицата A. По същия начин може да се каже за всяка друга колона от правоъгълния масив C. Така подпространството, образувано от векторите на колоните на таблицата C, е в подпространството, образувано от вектори колони на таблица A. Следователно, измерението на подпространство № 1 не надвишава измерението на подпространство № 2. Това означава, че рангът в колоните на таблица C не надвишава ранга в колоните на таблица A, т.е. r(C) ≦ r(A). Ако аргументираме по подобен начин, тогава можем да се уверим, че редовете на матрицата C са линейни комбинации от редовете на матрицата B. Това означава неравенството r(C) ≦ r(B).

Как да намерим произведението на матриците е доста сложна тема. Може лесно да се овладее, но за да постигнете такъв резултат, ще трябва да отделите много време за запаметяване на всички съществуващи правила и теореми.