Матрици: метод на Гаус. Изчисляване на матрицата на Гаус: Примери

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Линейната алгебра, която се преподава в университетите в различни специалности, съчетава много сложни теми. Някои от тях са свързани с матриците, както и с решаването на системи от линейни уравнения по методите на Гаус и Гаус-Джордан. Не всички ученици успяват да разберат тези теми, алгоритми за решаване на различни задачи. Нека разберем заедно матриците и методите на Гаус и Гаус-Йордан.

Основни понятия

Матрицата в линейната алгебра е правоъгълен масив от елементи (таблица). По-долу са дадени набори от елементи, затворени в скоби. Това са матрици. От горния пример може да се види, че елементите в правоъгълните масиви не са само числа. Матрицата може да се състои от математически функции, алгебрични символи.

За да разберем някои понятия, нека направим матрица A от елементите a_ij. Индексите не са просто букви: i е номерът на реда в таблицата, а j е номерът на колоната, в областта на пресечната точка на която се намира елементътa_ij. И така, виждаме, че имаме матрица от елементи като a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ и т. н. Буквата n обозначава броя на колоните, а буквата m означава броя на редовете. Символът m × n обозначава размерността на матрицата. Това е концепцията, която дефинира броя на редовете и колоните в правоъгълен масив от елементи.

По избор, матрицата трябва да има няколко колони и реда. С размерност 1 × n масивът от елементи е едноредов, а с размерност m × 1 е масив от една колона. Когато броят на редовете и броят на колоните са равни, матрицата се нарича квадратна. Всяка квадратна матрица има детерминанта (det A). Този термин се отнася до числото, което е присвоено на матрицата A.

Няколко по-важни понятия, които трябва да запомните, за да решавате успешно матрици, са главният и второстепенният диагонали. Основният диагонал на матрицата е диагоналът, който се спуска до десния ъгъл на масата от горния ляв ъгъл. Страничният диагонал отива в десния ъгъл нагоре от левия ъгъл отдолу.

Етапен матричен изглед

Вижте снимката по-долу. На него ще видите матрица и диаграма. Нека първо се заемем с матрицата. В линейната алгебра матрица от този вид се нарича стъпкова матрица. Той има едно свойство: ако a_ij е първият ненулев елемент в i-тия ред, тогава всички останали елементи от матрицата по-долу и вляво от a_ij , са нулеви (т.е. всички онези елементи, на които може да се даде буквено обозначение a_kl, където k>i иl<j).

Сега разгледайте диаграмата. Той отразява стъпаловидна форма на матрицата. Схемата показва 3 вида клетки. Всеки тип обозначава определени елементи:

празни клетки - нулеви елементи на матрицата;
защрихованите клетки са произволни елементи, които могат да бъдат както нулеви, така и различни от нула;
черните квадратчета са ненулеви елементи, които се наричат ъглови елементи, „стъпки” (в показаната до тях матрица такива елементи са числата –1, 5, 3, 8).

При решаване на матрици понякога резултатът е, че "дължината" на стъпката е по-голяма от 1. Това е разрешено. От значение е само "височината" на стъпалата. В матрицата за стъпки този параметър трябва винаги да е равен на единица.

Редукция на матрица до стъпаловидна форма

Всяка правоъгълна матрица може да бъде преобразувана в стъпаловидна форма. Това става чрез елементарни трансформации. Те включват:

пренареждане на низове;
Добавяне на друг ред към един ред, ако е необходимо, умножено по някакво число (можете също да извършите операция за изваждане).

Нека разгледаме елементарни трансформации при решаването на конкретен проблем. Фигурата по-долу показва матрицата A, която трябва да бъде намалена до стъпаловидна форма.

Проблемът за свеждане на матрица до стъпаловидна форма

За да решим проблема, ще следваме алгоритъма:

Удобно е да се извършват трансформации върху матрица спървият елемент в горния ляв ъгъл (т.е. "водещият" елемент) е 1 или -1. В нашия случай първият елемент в горния ред е 2, така че нека разменим първия и втория ред.
Нека извършим операции на изваждане, засягащи редове 2, 3 и 4. Трябва да получим нули в първата колона под "водещия" елемент. За да постигнем този резултат: от елементите на ред No 2 последователно изваждаме елементите на ред No 1, умножени по 2; от елементите на ред No 3 последователно изваждаме елементите на ред No 1, умножени по 4; от елементите на ред No 4 изваждаме последователно елементите на ред No 1.
След това ще работим с пресечена матрица (без колона №1 и без ред №1). Новият "водещ" елемент, стоящ на пресечната точка на втората колона и втория ред, е равен на -1. Няма нужда да пренареждате редовете, така че пренаписваме първата колона и първия и втория ред без промени. Нека извършим операции на изваждане, за да получим нули във втората колона под "водещия" елемент: от елементите на третия ред последователно изваждаме елементите на втория ред, умножени по 3; извадете елементите на втория ред, умножени по 2 от елементите на четвъртия ред.
Остава да промените последния ред. От неговите елементи изваждаме последователно елементите на третия ред. Така получихме стъпаловидна матрица.

Редукцията на матриците до стъпаловидна форма се използва при решаване на системи от линейни уравнения (SLE) по метода на Гаус. Преди да разгледаме този метод, нека разберем някои от термините, свързани със SLN.

Матрици и системи от линейни уравнения

Матриците се използват в различни науки. Използвайки таблици с числа, можете например да решавате линейни уравнения, комбинирани в система, използвайки метода на Гаус. Първо, нека се запознаем с няколко термина и техните дефиниции и също така да видим как се формира матрица от система, която комбинира няколко линейни уравнения.

SLU – няколко комбинирани алгебрични уравнения с първа степен неизвестни и без продуктови термини.

SLE решение – намерени стойности на неизвестни, замествайки които уравненията в системата стават тъждества.

Съвместната SLE е система от уравнения, която има поне едно решение.

Непоследователното SLE е система от уравнения, която няма решения.

Как се формира матрица на базата на система, която комбинира линейни уравнения? Има такива понятия като основната и разширените матрици на системата. За да се получи основната матрица на системата, е необходимо да се поставят в таблицата всички коефициенти за неизвестните. Разширената матрица се получава чрез добавяне на колона от свободни членове към основната матрица (тя включва известни елементи, на които е приравнено всяко уравнение в системата). Можете да разберете целия този процес, като изучавате снимката по-долу.

Първото нещо, което виждаме на снимката, е система, която включва линейни уравнения. Неговите елементи: a_ij – числови коефициенти, x_j – неизвестни стойности, b_i – постоянни термини (където i=1, 2, …, m и j=1, 2, …, n). Вторият елемент на снимката е основната матрица от коефициенти. От всяко уравнение коефициентите се записват в ред. В резултат на това има толкова редове в матрицата, колкото има уравнения в системата. Броят на колоните е равен на най-големия брой коефициенти във всяко уравнение. Третият елемент на снимката е разширена матрица с колона със свободни термини.

Обща информация за метода на Гаус

В линейната алгебра методът на Гаус е класическият начин за решаване на SLE. Той носи името на Карл Фридрих Гаус, живял през 18-19 век. Това е един от най-великите математици на всички времена. Същността на метода на Гаус е да се извършват елементарни трансформации върху система от линейни алгебрични уравнения. С помощта на трансформации SLE се свежда до еквивалентна система с триъгълна (стъпаловидна) форма, от която могат да бъдат намерени всички променливи.

Заслужава да се отбележи, че Карл Фридрих Гаус не е откривателят на класическия метод за решаване на система от линейни уравнения. Методът е изобретен много по-рано. Първото му описание се намира в енциклопедията на знанието на древните китайски математици, наречена "Математика в 9 книги".

Пример за решаване на SLE по метода на Гаус

Нека разгледаме решението на системите по метода на Гаус на конкретен пример. Ще работим със SLU, показан на снимката.

Алгоритъм за решаване:

Ще намалим системата до стъпаловидна форма чрез директното движение на метода на Гаус, но първоще съставим разширена матрица от числови коефициенти и свободни членове.
За да решим матрицата с помощта на метода на Гаус (т.е. да я доведем до стъпаловидна форма), от елементите на втория и третия ред последователно изваждаме елементите от първия ред. Получаваме нули в първата колона под "водещия" елемент. След това ще променим втория и третия ред на места за удобство. Към елементите на последния ред добавете последователно елементите от втория ред, умножени по 3.
В резултат на изчислението на матрицата по метода на Гаус получихме стъпаловиден масив от елементи. Въз основа на него ще съставим нова система от линейни уравнения. По обратния ход на метода на Гаус намираме стойностите на неизвестните термини. От последното линейно уравнение може да се види, че x₃ е равно на 1. Заместваме тази стойност във втория ред на системата. Получавате уравнението x₂ – 4=–4. От това следва, че x₂ е равно на 0. Заместете x₂ и x₃ в първото уравнение на системата: x1 _{+ 0 +3=2. Неизвестният термин е -1.}

Отговор: използвайки матрицата, метода на Гаус, намерихме стойностите на неизвестните; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Метод на Гаус-Йордан

В линейната алгебра има и такова нещо като метода на Гаус-Йордан. Счита се за модификация на метода на Гаус и се използва за намиране на обратната матрица, изчисляване на неизвестни членове на квадратни системи от алгебрични линейни уравнения. Методът на Gauss-Jordan е удобен с това, че позволява решаване на SLE в една стъпка (без използване на директни и обратниходове).

Нека започнем с термина "обратна матрица". Да предположим, че имаме матрица A. Обратното за нея ще бъде матрицата A^-1, докато условието е задължително изпълнено: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, т.е. продуктът на тези матрици е равен на матрицата за идентичност (елементите на главния диагонал на матрицата за идентичност са единици, а останалите елементи са нула).}

Важен нюанс: в линейната алгебра има теорема за съществуването на обратна матрица. Достатъчно и необходимо условие за съществуването на матрицата A^-1 е, че матрицата A е неединствена.

Основни стъпки, на които се основава методът на Гаус-Йордан:

Вижте първия ред на конкретна матрица. Методът на Гаус-Йордан може да се стартира, ако първата стойност не е равна на нула. Ако първото място е 0, тогава разменете редовете така, че първият елемент да има стойност, различна от нула (желателно е числото да е по-близо до единица).
Разделете всички елементи от първия ред на първото число. В крайна сметка ще получите низ, който започва с един.
От втория ред извадете първия ред, умножен по първия елемент от втория ред, т.е. накрая ще получите ред, който започва от нула. Направете същото за останалите линии. Разделете всеки ред на първия ненулев елемент, за да получите 1 по диагонал.
В резултат на това ще получите горната триъгълна матрица, използвайки метода на Гаус - Йордан. В него основният диагонал е представен от единици. Долният ъгъл е изпълнен с нули игорен ъгъл - различни стойности.
От предпоследния ред извадете последния ред, умножен по необходимия коефициент. Трябва да получите низ с нули и едно. За останалите редове повторете същото действие. След всички трансформации ще бъде получена матрицата за идентичност.

Пример за намиране на обратната матрица с помощта на метода на Гаус-Йордан

За да изчислите обратната матрица, трябва да напишете увеличената матрица A|E и да извършите необходимите трансформации. Нека разгледаме един прост пример. Фигурата по-долу показва матрицата A.

Задачата за изчисляване на обратната матрица

Решение:

Първо, нека намерим детерминанта на матрицата, използвайки метода на Гаус (det A). Ако този параметър не е равен на нула, тогава матрицата ще се счита за несингулярна. Това ще ни позволи да заключим, че A определено има A^-1. За да изчислим детерминанта, преобразуваме матрицата в стъпаловидна форма чрез елементарни трансформации. Нека преброим числото K, равно на броя на пермутациите на редове. Сменихме линиите само 1 път. Нека изчислим детерминанта. Стойността му ще бъде равна на произведението на елементите на главния диагонал, умножено по (–1)^K. Резултат от изчислението: det A=2.
Съставете разширената матрица, като добавите матрицата за идентичност към оригиналната матрица. Полученият масив от елементи ще се използва за намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Йордан.
Първият елемент в първия ред е равен на единица. Това ни устройва, защото няма нужда да пренареждаме редовете и да разделяме дадения ред на някакво число. Да започнем да работимс втория и третия ред. За да превърнете първия елемент във втория ред в 0, извадете първия ред, умножен по 3 от втория ред. Извадете първия ред от третия ред (не се изисква умножение).
В получената матрица вторият елемент от втория ред е -4, а вторият елемент от третия ред е -1. Нека разменим линиите за удобство. От третия ред извадете втория ред, умножен по 4. Разделете втория ред на -1 и третия ред на 2. Получаваме горната триъгълна матрица.
Нека извадим последния ред, умножен по 4 от втория ред, и последния ред, умножен по 5 от първия ред. След това извадим втория ред, умножен по 2 от първия ред. От лявата страна получихме матрицата на идентичността. Вдясно е обратната матрица.

Пример за решаване на SLE по метода на Гаус-Йордан

Фигурата показва система от линейни уравнения. Необходимо е да се намерят стойностите на неизвестни променливи с помощта на матрица, методът на Гаус-Йордан.

Решение:

Нека създадем разширена матрица. За да направим това, ще поставим коефициентите и свободните термини в таблицата.
Решете матрицата с помощта на метода на Гаус-Йордан. От ред № 2 изваждаме ред № 1. От ред № 3 изваждаме ред № 1, предварително умножен по 2.
Разменете редове 2 и 3.
От ред 3 извадете ред 2, умножен по 2. Разделете получения трети ред на –1.
Извадете ред 3 от ред 2.
Извадете ред 1 от ред 12 пъти -1. Отстрани получихме колона, състояща се от числата 0, 1 и -1. От това заключаваме, че x₁=0, x₂=1 и x₃ =–1.

Ако желаете, можете да проверите правилността на решението, като замените изчислените стойности в уравненията:

0 – 1=–1, първата идентичност от системата е правилна;
0 + 1 + (–1)=0, втората идентичност от системата е правилна;
0 – 1 + (–1)=–2, третата идентичност от системата е правилна.

Заключение: използвайки метода на Гаус-Йордан, ние намерихме правилното решение на квадратна система, която комбинира линейни алгебрични уравнения.

Онлайн калкулатори

Животът на днешните младежи, които учат в университети и изучават линейна алгебра, е значително опростен. Преди няколко години трябваше сами да намерим решения за системи, използващи метода на Гаус и Гаус-Йордан. Някои ученици се справиха успешно със задачите, а други се объркаха в решението, направиха грешки, помолиха съученици за помощ. Днес можете да използвате онлайн калкулатори, когато правите домашна работа. За решаване на системи от линейни уравнения, търсене на обратни матрици, са написани програми, които демонстрират не само верните отговори, но и показват напредъка на решаването на определен проблем.

Има много ресурси в Интернет с вградени онлайн калкулатори. Гаусовите матрици, системите от уравнения се решават от тези програми за няколко секунди. Студентите трябва само да посочат необходимите параметри (например броя на уравненията,брой променливи).