В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете общ алгоритъм за решение и след това да замените стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с тези, които имат безкрайно много решения. Или изобщо нямате.
Какво означава решаване по метода на Гаус?
Първо, трябва да запишем нашата система от уравнения като матрица. Изглежда така. Системата е заета:
Коефициентите се записват под формата на таблица, а вдясно в отделна колона - свободни членове. Колоната със свободни елементи е разделена за удобство с вертикална лента. Матрица, която включва тази колона, се нарича разширена.
След това основната матрица с коефициенти трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, така че да има само нули в долната лява част:
След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, който след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен, и така нататък.
Това е описание на решението на Гаус в най-общи термини. И какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или има безкраен брой от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани в решението по метода на Гаус.
Матрици, техните свойства
Няма скрит смисъл в матрицата. Това е просто удобен начин за запис на данни за по-късни операции. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.
Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори при метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждането на триъгълна матрица, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите могат да бъдат пропуснати, но се подразбират.
Матрицата има размер. Неговата "широчина" е броят на редовете (m), нейната "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (за обозначаването им обикновено се използват главни латински букви) ще бъде обозначен като Am×n. Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна иm=n - неговият ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: axy; x - номер на ред, промяна [1, m], y - номер на колона, промяна [1, n].
В метода на Гаус матриците не са основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще бъде много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.
Квалификатор
Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Да разберете значението му сега не си струва, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин за намиране на детерминанта е чрез диагонали. В матрицата се чертаят въображаеми диагонали; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават и след това се добавят получените продукти: диагонали с наклон надясно - със знак "плюс", с наклон наляво - със знак "минус".
Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкия от броя на редовете и броя на колоните (нека е k) и след това да маркирате произволно k колони и k реда в матрицата. Елементите, разположени в пресечната точка на избраните колони и редове, ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, тогава тя ще се нарича основен минор на оригиналната правоъгълна матрица.
Предикак да започнете да решавате система от уравнения по метода на Гаус, не пречи да изчислите детерминанта. Ако се окаже нула, тогава веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма такива. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.
Класификация на системите
Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния ненулев детерминант (спомняйки основния минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).
Начинът, по който стоят нещата с ранга, SOW може да се раздели на:
- Съвместно. За съвместни системи рангът на основната матрица (състоящ се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно такова, следователно, ставните системи се разделят допълнително на:
- - определено - с уникално решение. В определени системи рангът на матрицата и броят на неизвестните са равни (или броят на колоните, което е едно и също нещо);
- - неопределено - с безкраен брой решения. Рангът на матриците в такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
- Несъвместим. За такива системи ранговете на основната и разширените матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.
Методът на Гаус е добър, защото ви позволява да получите или недвусмислено доказателство за несъответствието на системата (без да се изчисляват детерминантите на големите матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения.
Елементарни трансформации
Предикак да продължите директно към решението на системата, можете да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации - такива, че тяхното изпълнение не променя по никакъв начин крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък с тези трансформации:
- Промяна на низовете. Очевидно е, че ако променим реда на уравненията в системния запис, това по никакъв начин няма да повлияе на решението. Следователно е възможно също да се разменят редове в матрицата на тази система, като не се забравя, разбира се, колоната със свободни членове.
- Умножаване на всички елементи на низ по някакъв фактор. Много полезно! С него можете да намалите големи числа в матрицата или да премахнете нули. Наборът от решения, както обикновено, няма да се промени и ще стане по-удобно да се извършват допълнителни операции. Основното е, че коефициентът не трябва да е равен на нула.
- Изтриване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предишния параграф. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или, отново, повече) абсолютно идентични реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
- Изтрийте нулевия ред. Ако в хода на трансформациите някъде се получи низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да бъде наречен нула и изхвърлен от матрицата.
- Добавяне към елементите на един ред елементи на друг (споредсъответните колони), умножено по някакъв коефициент. Най-неясната и най-важната трансформация от всички. Струва си да се спрем на това по-подробно.
Добавяне на низ, умножен по коефициент
За по-лесно разбиране си струва да разглобите този процес стъпка по стъпка. Два реда са взети от матрицата:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Да кажем, че трябва да добавите първия, умножен по коефициента "-2" към втория.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
След това вторият ред в матрицата се заменя с нов, докато първият остава непроменен.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавяне на два низа, един от елементите на новия низ е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в системата, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се извърши отново и да се получи уравнение, което вече ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път обръщаме към нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от оригиналния, тогава можем като стъпки да слезем до самото дъно на матрицата и да получим уравнение с едно неизвестно. Това се казварешаване на системата с помощта на метода на Гаус.
Общо взето
Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корени. Можете да го напишете така:
Основната матрица е съставена от коефициентите на системата. Колона със свободни членове се добавя към разширената матрица и се разделя с лента за удобство.
Следващо:
- първият ред на матрицата се умножава по коефициента k=(-a21/a11);
- добавят се първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
- вместо втория ред, резултатът от добавянето от предишния параграф се вмъква в матрицата;
- сега първият коефициент в новия втори ред е a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Сега се извършва същата серия от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно, във всяка стъпка от алгоритъма елементът a21 се заменя с a31. След това всичко се повтаря за a41, … am1. Резултатът е матрица, където първият елемент в редовете [2, m] е равен на нула. Сега трябва да забравите за ред номер едно и да изпълните същия алгоритъм, започвайки от втория ред:
- k коефициент=(-a32/a22);
- вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
- резултатът от добавянето се замества в третия, четвъртия и т.н. ред, докато първият и вторият остават непроменени;
- в редовете [3, m] на матрицата, първите два елемента вече са равни на нула.
Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k=(-am, m-1/amm). Това означава, че алгоритъмът последно е стартиран само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа уравнението amn × x =bm. Коефициентът и свободният член са известни и коренът се изразява чрез тях: x =bm/amn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и след като се достигне до „горната част“на системата, може да се намери набор от решения [x1, … x ]. Ще бъде единственият.
Когато няма решения
Ако в един от редовете на матрицата всички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0=b. То няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава наборът от решения на цялата система е празен, тоест е изроден.
Когато има безкраен брой решения
Може да се окаже, че в редуцираната триъгълна матрица няма редове с един елемент - коефициент на уравнението, и един - свободен член. Има само низове, които при пренаписване биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направя?
Всичкипроменливите в матрицата се делят на основни и свободни. Основни - това са тези, които стоят "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи се записват в термините на свободните.
За удобство, матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където е останала само една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля в другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива, се заменя полученият за нея израз. Ако резултатът отново е израз, съдържащ само една основна променлива, той се изразява от там отново и така нататък, докато всяка основна променлива се запише като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.
Можете да намерите и основното решение на системата - дайте на свободните променливи произволни стойности и след това изчислете стойностите на основните променливи за този конкретен случай. Има безкрайно много конкретни решения.
Решение с конкретни примери
Ето система от уравнения.
За удобство е по-добре да направите матрицата й веднага
Известно е, че при решаване по метода на Гаус, уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементиостаналите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в компилираната матрица ще бъде полезно да поставите втория ред на мястото на първия.
След това трябва да промените втория и третия ред, така че първите елементи да станат нула. За да направите това, добавете ги към първия, умножен по коефициент:
втори ред: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
трети ред: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Сега, за да не се объркате, трябва да напишете матрица с междинни резултати от трансформации.
Очевидно, такава матрица може да се направи по-четлива с помощта на някои операции. Например, можете да премахнете всички "минуси" от втория ред, като умножите всеки елемент по "-1".
Заслужава да се отбележи също, че в третия ред всички елементи са кратни на три. Тогава можетеизрежете низа с това число, умножавайки всеки елемент по "-1/3" (минус - едновременно за премахване на отрицателни стойности).
Изглежда много по-добре. Сега трябва да оставим на мира първия ред и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножен по такъв коефициент, че елементът a32 става нула.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ако по време на някои трансформации в отговора се оказа, че не е цяло число, се препоръчва да го оставите „както е“, под формата на обикновена дроб и едва след това, когато се получат отговорите, да решите дали да закръглите и преобразувате в друга форма на нотация)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Матрицата се записва отново с нови стойности.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което може да се направи тук, е да се премахне общият коефициент "-1/7" от третия ред.
Сега всичкихубаво. Точката е малка - напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и изчислете корените
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратен ход в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността z:
z=61/9
След това се върнете към второто уравнение:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
И първото уравнение ви позволява да намерите x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест да има уникално решение. Отговорът е написан в следната форма:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Пример за неопределена система
Анализиран е вариантът за решаване на определена система по метода на Гаус, сега е необходимо да се разгледа случай, ако системата е неопределена, тоест за нея могат да се намерят безкрайно много решения.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Самата форма на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните е n=5, а рангът на системната матрица вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m=4, тоест най-големият ред на квадратния детерминант е 4. И така,Има безкраен брой решения и трябва да търсим неговата обща форма. Методът на Гаус за линейни уравнения ви позволява да направите това.
Първо, както обикновено, разширената матрица се компилира.
Втори ред: коефициент k=(-a21/a11)=-3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да докосвате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k=(-a41/a11)=-5
Умножавайки елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти на свой ред и ги добавяйки към необходимите редове, получаваме матрица от следния вид:
Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са едни и същи, така че единият от тях може да бъде премахнат незабавно, а останалите се умножават по коефициента "-1" и се получава ред номер 3. И отново оставете един от двата еднакви реда.
Резултатът е такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи при коефициентите a11=1 и a22=1, и безплатно - всичко останало.
Във второто уравнение има само една основна променлива - x2. Следователно, той може да бъде изразен от там, като се изпише чрез променливите x3, x4, x5, което са безплатни.
Заместете получения израз в първото уравнение.
Получи се уравнение, в коетоединствената основна променлива е x1. Нека направим същото с него като с x2.
Всички основни променливи, от които има две, се изразяват чрез три безплатни, сега можете да напишете отговора в общ вид.
Можете също да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:
-16, 23, 0, 0, 0.
Пример за непоследователна система
Решаването на непоследователни системи от уравнения по метода на Гаус е най-бързото. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и тъжен, изчезва. Обмисля се следната система:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Както обикновено, матрицата се компилира:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
И намалено до стъпаловидна форма:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение от вида
0=7, няма решение. Следователно систематае непоследователно и отговорът е празният набор.
Предимства и недостатъци на метода
Ако изберете кой метод да решите SLAE на хартия с химикал, тогава методът, който беше разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. При елементарните трансформации е много по-трудно да се объркате, отколкото се случва, ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, минорни, обратни и транспонирани матрици и т.н.. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешка, по-целесъобразно е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляване на детерминанти и обратни матрици.
Заявление
Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство "за манекени", трябва да се каже, че най-лесното място за поставяне на метода са електронните таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операции с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрица (също сопределени ограничения), намиране на обратната и транспонирана матрици и най-важното - изчисляване на детерминанта. Ако тази отнемаща време задача се замени с една команда, е много по-бързо да се определи ранга на матрица и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.
