Изучаването на физиката започва с разглеждането на механичното движение. В общия случай телата се движат по извити траектории с променливи скорости. За тяхното описание се използва понятието ускорение. В тази статия ще разгледаме какво представляват тангенциалното и нормалното ускорение.
Кинематични количества. Скорост и ускорение във физиката
Кинематиката на механичното движение е клон от физиката, който изучава и описва движението на телата в пространството. Кинематиката оперира с три основни величини:
- проминат път;
- скорост;
- ускорение.
В случай на движение по окръжност се използват подобни кинематични характеристики, които се свеждат до централния ъгъл на окръжността.
Всички са запознати с концепцията за скорост. Той показва скоростта на промяна в координатите на телата в движение. Скоростта винаги е насочена тангенциално към линията, по която се движи тялото (траектории). Освен това, линейната скорост ще бъде обозначена с v¯, а ъгловата скорост с ω¯.
Ускорението е скоростта на промяна на v¯ и ω¯. Ускорението също е векторна величина, но посоката му е напълно независима от вектора на скоростта. Ускорението винаги е насочено по посока на силата, действаща върху тялото, което предизвиква промяна на вектора на скоростта. Ускорението за всеки тип движение може да се изчисли по формулата:
a¯=dv¯ / dt
Колкото повече се променя скоростта през интервала от време dt, толкова по-голямо ще бъде ускорението.
За да разберете информацията, представена по-долу, трябва да запомните, че ускорението е резултат от всяка промяна в скоростта, включително промени както в нейната величина, така и в нейната посока.
Тангенциално и нормално ускорение
Да приемем, че материална точка се движи по някаква крива линия. Известно е, че в някакъв момент t скоростта му е била равна на v¯. Тъй като скоростта е векторна допирателна към траекторията, тя може да бъде представена по следния начин:
v¯=v × ut¯
Тук v е дължината на вектора v¯ и ut¯ е векторът на единичната скорост.
За да изчислите общия вектор на ускорение в момент t, трябва да намерите времевата производна на скоростта. Имаме:
a¯=dv¯ / dt=d (v × ut¯) / dt
Тъй като модулът на скоростта и единичният вектор се променят с времето, тогава, използвайки правилото за намиране на производната на произведението на функциите, получаваме:
a¯=dv / dt ×ut¯ + d (ut¯) / dt × v
Първият член във формулата се нарича тангенциален или тангенциален компонент на ускорението, вторият член е нормалното ускорение.
Тангенциално ускорение
Нека отново запишем формулата за изчисляване на тангенциалното ускорение:
at¯=dv / dt × ut¯
Това равенство означава, че тангенциалното (тангенциалното) ускорение е насочено по същия начин като вектора на скоростта във всяка точка от траекторията. Той определя числено промяната в модула на скоростта. Например, в случай на праволинейно движение, общото ускорение се състои само от тангенциална компонента. Нормалното ускорение за този тип движение е нула.
Причината за появата на количеството at¯ е въздействието на външна сила върху движещо се тяло.
В случай на въртене с постоянно ъглово ускорение α, компонентът на тангенциалното ускорение може да се изчисли по следната формула:
at=α × r
Тук r е радиусът на въртене на разглежданата материална точка, за която се изчислява стойността at.
Нормално или центростремително ускорение
Сега нека напишем отново втория компонент на общото ускорение:
ac¯=d (ut¯) / dt × v
От геометрични съображения може да се покаже, че производната по време на единичната допирателна към вектора на траекторията е равна на отношението на модула на скоростта v към радиуса r вмомент във времето t. Тогава изразът по-горе ще бъде написан по следния начин:
ac=v2 / r
Тази формула за нормално ускорение показва, че за разлика от тангенциалната компонента, тя не зависи от промяната в скоростта, а се определя от квадрата на модула на самата скорост. Също така, ac се увеличава с намаляване на радиуса на въртене при константа v.
Нормалното ускорение се нарича центростремително, защото е насочено от центъра на масата на въртящо се тяло към оста на въртене.
Причината за това ускорение е централният компонент на силата, действаща върху тялото. Например, в случай на въртене на планетите около нашето Слънце, центростремителната сила е гравитационно привличане.
Нормалното ускорение на тялото променя само посоката на скоростта. Не може да смени модула си. Този факт е неговата важна разлика от тангенциалния компонент на общото ускорение.
Тъй като центростремителното ускорение винаги възниква, когато векторът на скоростта се върти, то съществува и в случай на равномерно кръгово въртене, при което тангенциалното ускорение е нула.
На практика можете да усетите ефекта от нормалното ускорение, ако сте в кола, когато прави дълъг завой. В този случай пътниците се притискат към обратната посока на въртене на вратата на автомобила. Това явление е резултат от действието на две сили: центробежна (изместване на пътниците от местата им) и центростремителна (натиск върху пътниците отстрани на вратата на автомобила).
Модул и посока на пълно ускорение
И така, установихме, че тангенциалният компонент на разглежданата физическа величина е насочен тангенциално към траекторията на движение. От своя страна нормалната компонента е перпендикулярна на траекторията в дадена точка. Това означава, че двата компонента на ускорението са перпендикулярни един на друг. Тяхното векторно добавяне дава пълния вектор на ускорение. Можете да изчислите неговия модул, като използвате следната формула:
a=√(at2 + ac2)
Посоката на вектора a¯ може да се определи както спрямо вектора at¯, така и спрямо ac¯. За да направите това, използвайте съответната тригонометрична функция. Например, ъгълът между пълно и нормално ускорение е:
φ=arccos(ac / a)
Решение на проблема с центростремителното ускорение
Колело с радиус от 20 см се върти с ъглово ускорение от 5 rad/s2 за 10 секунди. Необходимо е да се определи нормалното ускорение на точките, разположени по периферията на колелото след определеното време.
За да решим проблема, използваме формулата за връзката между тангенциалното и ъгловото ускорение. Получаваме:
at=α × r
Тъй като равномерно ускореното движение продължи за времето t=10 секунди, линейната скорост, придобита през това време, беше равна на:
v=at × t=α × r × t
Заместваме получената формула в съответния израз за нормално ускорение:
ac=v2 / r=α2 × t 2 × r
Остава да заменим известните стойности в това уравнение и да запишем отговора: ac=500 m/s2.
