Тангенциално или тангенциално ускорение

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Всички тела, които ни заобикалят, са в постоянно движение. Движението на телата в пространството се наблюдава на всички мащабни нива, като се започне от движението на елементарните частици в атомите на материята и се завърши с ускореното движение на галактиките във Вселената. Във всеки случай процесът на движение протича с ускорение. В тази статия ще разгледаме подробно концепцията за тангенциалното ускорение и ще дадем формула, по която може да се изчисли.

Кинематични количества

Преди да говорим за тангенциалното ускорение, нека разгледаме какви количества е обичайно да характеризираме произволното механично движение на телата в пространството.

На първо място, това е пътят L. Той показва разстоянието в метри, сантиметри, километри и т.н., тялото е изминало за определен период от време.

Втората важна характеристика в кинематиката е скоростта на тялото. За разлика от пътя, той е векторна величина и е насочен по траекториятадвижения на тялото. Скоростта определя скоростта на промяна на пространствените координати във времето. Формулата за изчисляването му е:

v¯=dL/dt

Скоростта е производната от времето на пътя.

Накрая, третата важна характеристика на движението на телата е ускорението. Според определението във физиката, ускорението е величина, която определя промяната на скоростта с времето. Формулата за него може да бъде написана като:

a¯=dv¯/dt

Ускорението, подобно на скоростта, също е векторна величина, но за разлика от нея, то е насочено в посоката на промяна на скоростта. Посоката на ускорение също съвпада с вектора на резултантната сила, действаща върху тялото.

Траектория и ускорение

Много проблеми във физиката се разглеждат в рамките на праволинейното движение. В този случай, като правило, те не говорят за тангенциалното ускорение на точката, а работят с линейно ускорение. Въпреки това, ако движението на тялото не е линейно, тогава пълното му ускорение може да бъде разложено на два компонента:

допирателна;
нормално.

В случай на линейно движение нормалният компонент е нула, така че не говорим за векторно разширение на ускорението.

По този начин траекторията на движението до голяма степен определя естеството и компонентите на пълното ускорение. Траекторията на движение се разбира като въображаема линия в пространството, по която се движи тялото. Всякаквикриволинейната траектория води до появата на ненулеви компоненти на ускорението, отбелязани по-горе.

Определяне на тангенциалното ускорение

Тангенциалното или, както още се нарича, тангенциалното ускорение е компонент на пълното ускорение, което е насочено тангенциално към траекторията на движение. Тъй като скоростта също е насочена по траекторията, векторът на тангенциалното ускорение съвпада с вектора на скоростта.

Концепцията за ускорение като мярка за промяна в скоростта беше дадена по-горе. Тъй като скоростта е вектор, тя може да се променя по модул или по посока. Тангенциалното ускорение определя само промяната в модула на скоростта.

Забележете, че в случай на праволинейно движение, векторът на скоростта не променя посоката си, следователно, в съответствие с горната дефиниция, тангенциалното ускорение и линейното ускорение са еднакви стойности.

Получаване на уравнението за тангенциално ускорение

Да приемем, че тялото се движи по някаква извита траектория. Тогава неговата скорост v¯ в избраната точка може да бъде представена по следния начин:

v¯=vu_t¯

Тук v е модулът на вектора v¯, u_{t¯ е единичният вектор на скоростта, насочен тангенциално към траекторията.}

Използвайки математическата дефиниция на ускорението, получаваме:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

При намиране на производната тук е използвано свойството на произведението на две функции. Виждаме, че общото ускорение a¯ в разглежданата точка съответства на сумата от два члена. Те са съответно допирателната и нормалното ускорение на точката.

Нека кажем няколко думи за нормалното ускорение. Той е отговорен за промяната на вектора на скоростта, тоест за промяната на посоката на движение на тялото по кривата. Ако изрично изчислим стойността на втория член, получаваме формулата за нормално ускорение:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

Нормалното ускорение е насочено по нормалното, възстановено до дадената точка на кривата. В случай на кръгово движение, нормалното ускорение е центростремително.

Уравнение за тангенциално ускорение a_{t¯ е:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Този израз казва, че тангенциалното ускорение съответства не на промяна в посоката, а на промяна в модула на скоростта v¯ за момент от време. Тъй като тангенциалното ускорение е насочено тангенциално към разглежданата точка от траекторията, то винаги е перпендикулярно на нормалния компонент.

Тангенциално ускорение и общ модул на ускорение

Всичката информация по-горе беше представена, която ви позволява да изчислите общото ускорение през допирателната и нормата. Всъщност, тъй като двата компонента са взаимно перпендикулярни, техните вектори образуват катета на правоъгълен триъгълник,чиято хипотенуза е векторът на пълното ускорение. Този факт ни позволява да напишем формулата за модула за общо ускорение в следната форма:

a=√(a² + a_t²⁾

Ъгълът θ между пълното ускорение и тангенциалното ускорение може да бъде дефиниран, както следва:

θ=arccos(a_t/a)

Колкото по-голямо е тангенциалното ускорение, толкова по-близки са посоките на тангенциалното и пълното ускорение.

Връзка между тангенциалното и ъгловото ускорение

Типична криволинейна траектория, по която се движат телата в технологиите и природата, е кръг. Всъщност движението на зъбни колела, лопатки и планети около собствената им ос или около техните светила става точно в кръг. Движението, съответстващо на тази траектория, се нарича ротация.

Кинематиката на въртене се характеризира със същите стойности като кинематиката на движението по права линия, но те имат ъглов характер. Така че, за да се опише въртенето, се използват централният ъгъл на въртене θ, ъгловата скорост ω и ускорението α. Следните формули са валидни за тези количества:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Да приемем, че тялото е направило един оборот около оста на въртене за време t, тогава за ъгловата скорост можем да запишем:

ω=2pi/t

Линейната скорост в този случай ще бъде равна на:

v=2pir/t

Където r е радиусът на траекторията. Последните два израза ни позволяват да пишемформулата за свързване на две скорости:

v=ωr

Сега изчисляваме производната по време на лявата и дясната страна на уравнението, получаваме:

dv/dt=rdω/dt

Дясната страна на равенството е произведението на ъгловото ускорение и радиуса на окръжността. Лявата страна на уравнението е промяната в модула на скоростта, тоест тангенциалното ускорение.

По този начин тангенциалното ускорение и подобна ъглова стойност са свързани с равенство:

a_t=αr

Ако приемем, че дискът се върти, тогава тангенциалното ускорение на точка при постоянна стойност на α ще нараства линейно с увеличаване на разстоянието от тази точка до оста на въртене r.

След това ще решим два проблема, използвайки горните формули.

Определяне на тангенциалното ускорение от известна функция на скоростта

Известно е, че скоростта на тяло, което се движи по определена извита траектория, се описва със следната функция на времето:

v=2t2+ 3t + 5

Необходимо е да се определи формулата за тангенциалното ускорение и да се намери неговата стойност в момент t=5 секунди.

Първо, нека напишем формулата за модула за тангенциално ускорение:

a_t=dv/dt

Тоест, за да изчислите функцията a_{t(t), трябва да определите производната на скоростта по отношение на времето. Имаме:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Замествайки времето t=5 секунди в получения израз, стигаме до отговора: a_t=23 m/s^2.

Забележете, че графиката на скоростта спрямо времето в този проблем е парабола, докато графиката на тангенциалното ускорение е права линия.

Задача за тангенциално ускорение

Известно е, че материалната точка е започнала равномерно ускорено въртене от нулевия момент на времето. 10 секунди след началото на въртенето, центростремителното му ускорение стана равно на 20 m/s2. Необходимо е да се определи тангенциалното ускорение на точка след 10 секунди, ако е известно, че радиусът на въртене е 1 метър.

Първо запишете формулата за центростремително или нормално ускорение a_c: