Механична система, която се състои от материална точка (тяло), окачена на неразтеглива безтегловна нишка (масата й е незначителна в сравнение с теглото на тялото) в еднородно гравитационно поле, се нарича математическо махало (друго име е осцилатор). Има и други видове това устройство. Вместо конец може да се използва безтегловна пръчка. Едно математическо махало може ясно да разкрие същността на много интересни явления. С малка амплитуда на трептене, движението му се нарича хармонично.
Преглед на механичната система
Формулата за периода на трептене на това махало е извлечена от холандския учен Хюйгенс (1629-1695). Този съвременник на И. Нютон много обичаше тази механична система. През 1656 г. той създава първия часовник с махало. Те измерваха времето с изключителноза онези времена точност. Това изобретение се превърна в важен етап в развитието на физически експерименти и практически дейности.
Ако махалото е в равновесие (виси вертикално), тогава силата на гравитацията ще бъде балансирана от силата на напрежението на конеца. Плоско махало върху неразтеглива нишка е система с две степени на свобода с връзка. Когато смените само един компонент, характеристиките на всички негови части се променят. Така че, ако нишката бъде заменена с пръчка, тогава тази механична система ще има само 1 степен на свобода. Какви са свойствата на математическото махало? В тази най-проста система хаосът възниква под влияние на периодично смущение. В случай, че точката на окачване не се движи, а осцилира, махалото има ново положение на равновесие. С бързи трептения нагоре и надолу тази механична система придобива стабилна обърната позиция. Тя също има свое име. Нарича се махалото на Капица.
Свойства на махалото
Математическото махало има много интересни свойства. Всички те се потвърждават от известни физични закони. Периодът на трептене на всяко друго махало зависи от различни обстоятелства, като размера и формата на тялото, разстоянието между точката на окачване и центъра на тежестта, разпределението на масата спрямо тази точка. Ето защо определянето на периода на висящо тяло е доста трудна задача. Много по-лесно е да се изчисли периодът на математическо махало, чиято формула ще бъде дадена по-долу. В резултат на наблюдения на подобнимеханичните системи могат да установят следните модели:
• Ако, като поддържаме една и съща дължина на махалото, окачим различни тежести, тогава периодът на техните трептения ще бъде еднакъв, въпреки че масите им ще варират значително. Следователно периодът на такова махало не зависи от масата на товара.
• При стартиране на системата, ако махалото се отклони под не твърде големи, но различни ъгли, то ще започне да трепти със същия период, но с различни амплитуди. Докато отклоненията от центъра на равновесието не са твърде големи, трептенията във формата им ще бъдат доста близки до хармоничните. Периодът на такова махало по никакъв начин не зависи от амплитудата на трептене. Това свойство на тази механична система се нарича изохронизъм (в превод от гръцки "chronos" - време, "isos" - равен).
Период на математическото махало
Този индикатор представлява периода на естествените трептения. Въпреки сложната формулировка, самият процес е много прост. Ако дължината на нишката на математическо махало е L, а ускорението на свободното падане е g, тогава тази стойност е:
T=2π√L/g
Периодът на малките собствени трептения по никакъв начин не зависи от масата на махалото и амплитудата на трептенията. В този случай махалото се движи като математическо махало с намалена дължина.
люлки на математическото махало
Математическо махало осцилира, което може да бъде описано с просто диференциално уравнение:
x + ω2 sin x=0, където x (t) е неизвестна функция (това е ъгълът на отклонение от долнатаравновесно положение в момент t, изразено в радиани); ω е положителна константа, която се определя от параметрите на махалото (ω=√g/L, където g е ускорението на свободно падане и L е дължината на математическото махало (окачване).
Уравнението на малките флуктуации близо до положението на равновесие (хармонично уравнение) изглежда така:
x + ω2 sin x=0
Оцилаторни движения на махалото
Математическо махало, което прави малки трептения, се движи по синусоида. Диференциалното уравнение от втори ред отговаря на всички изисквания и параметри на такова движение. За да определите траекторията, трябва да посочите скоростта и координатата, от които след това се определят независими константи:
x=грях (θ0 + ωt), където θ0 е началната фаза, A е амплитудата на трептене, ω е цикличната честота, определена от уравнението на движението.
Математическо махало (формули за големи амплитуди)
Тази механична система, която прави своите трептения със значителна амплитуда, се подчинява на по-сложни закони на движението. За такова махало те се изчисляват по формулата:
sin x/2=usn(ωt/u), където sn е синусът на Якоби, който за u < 1 е периодична функция, а за малко u съвпада с прост тригонометричен синус. Стойността на u се определя от следния израз:
u=(ε + ω2)/2ω2, където ε=E/mL2 (mL2 е енергията на махалото).
Определяне на периода на трептене на нелинейно махалоизвършва се по формулата:
T=2π/Ω, където Ω=π/2ω/2K(u), K е елиптичният интеграл, π - 3, 14.
Движение на махалото по сепаратриса
Сепартриса е траектория на динамична система с двумерно фазово пространство. Математическото махало се движи по него непериодично. В безкрайно отдалечен момент от време той пада от крайното горно положение встрани с нулева скорост, след което постепенно го вдига. В крайна сметка спира, връщайки се в първоначалното си положение.
Ако амплитудата на трептенията на махалото се доближи до числото π, това показва, че движението във фазовата равнина се приближава до сепаратрисата. В този случай, под действието на малка движеща периодична сила, механичната система проявява хаотично поведение.
Когато математическото махало се отклони от положението на равновесие с определен ъгъл φ, възниква тангенциална сила на тежестта Fτ=–mg sin φ. Знакът минус означава, че тази тангенциална компонента е насочена в посока, обратна на отклонението на махалото. Когато преместването на махалото по дъгата на окръжност с радиус L се означава с x, ъгловото му преместване е равно на φ=x/L. Вторият закон на Исак Нютон, предназначен за проекции на вектора на ускорението и силата, ще даде желаната стойност:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Въз основа на това съотношение е ясно, че това махало е нелинейна система, тъй като силата, която се стреми да се върнето към равновесното положение, винаги е пропорционално не на изместването x, а на sin x/L.
Само когато математическото махало прави малки трептения, то е хармоничен осцилатор. С други думи, тя се превръща в механична система, способна да извършва хармонични вибрации. Това приближение е практически валидно за ъгли от 15-20°. Трептенията на махалото с големи амплитуди не са хармонични.
Закон на Нютон за малки трептения на махало
Ако тази механична система извършва малки вибрации, 2-ри закон на Нютон ще изглежда така:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Въз основа на това можем да заключим, че тангенциалното ускорение на математическото махало е пропорционално на неговото изместване със знак минус. Това е условието, поради което системата се превръща в хармоничен осцилатор. Модулът на пропорционалното усилване между преместването и ускорението е равен на квадрата на кръговата честота:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Тази формула отразява естествената честота на малките трептения на този тип махало. Въз основа на това, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Изчисления въз основа на закона за запазване на енергията
Свойствата на осцилаторните движения на махалото също могат да бъдат описани с помощта на закона за запазване на енергията. В този случай трябва да се има предвид, че потенциалната енергия на махалото в гравитационното поле е:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Обща механична енергияравен на кинетичен или максимален потенциал: Epmax=Ekmsx=E
След като е написан законът за запазване на енергията, вземете производната на дясната и лявата страна на уравнението:
Ep + Ek=const
Тъй като производната на постоянните стойности е 0, тогава (Ep + Ek)'=0. Производната на сумата е равна на сумата от производните:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, оттук:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Въз основа на последната формула намираме: α=- g/Lx.
Практическо приложение на математическото махало
Ускорението на свободното падане варира в зависимост от географската ширина, тъй като плътността на земната кора в цялата планета не е еднаква. Там, където се срещат скали с по-висока плътност, тя ще бъде малко по-висока. Ускорението на математическо махало често се използва за геоложки проучвания. Използва се за търсене на различни минерали. Просто като преброите броя на замаха на махалото, можете да намерите въглища или руда в недрата на Земята. Това се дължи на факта, че тези вкаменелости имат плътност и маса, по-голяма от насипните скали, лежащи под тях.
Математическото махало е използвано от такива видни учени като Сократ, Аристотел, Платон, Плутарх, Архимед. Много от тях вярваха, че тази механична система може да повлияе на съдбата и живота на човек. Архимед използва математическо махало в своите изчисления. В днешно време много окултисти и екстрасенсиизползват тази механична система, за да изпълнят техните пророчества или да търсят изчезнали хора.
Известният френски астроном и натуралист К. Фламарион също използва математическо махало за своите изследвания. Той твърди, че с негова помощ е успял да предскаже откриването на нова планета, появата на Тунгусския метеорит и други важни събития. По време на Втората световна война в Германия (Берлин) работи специализиран институт Махало. Днес Мюнхенският институт по парапсихология се занимава с подобни изследвания. Служителите на тази институция наричат работата си с махалото "радиестезия".
