Обратните тригонометрични функции традиционно създават трудности за учениците. Възможността за изчисляване на дъговата тангенс на число може да се изисква при USE задачи по планиметрия и стереометрия. За да решите успешно уравнение и проблем с параметър, трябва да имате разбиране за свойствата на функцията на дъгата допирателна.
Определение
Дъговата допирателна на число x е число y, чиято допирателна е x. Това е математическата дефиниция.
Функцията арктангенс се записва като y=arctg x.
По-общо: y=Carctg (kx + a).
Изчисление
За да разберете как работи обратната тригонометрична функция на арктангенса, първо трябва да запомните как се определя стойността на тангенса на число. Нека разгледаме по-отблизо.
Тангенсът на x е отношението на синуса на x към косинуса на x. Ако е известна поне една от тези две величини, тогава модулът на втората може да се получи от основната тригонометрична идентичност:
sin2 x + cos2 x=1.
Разбира се, ще е необходима оценка за отключване на модула.
Акосамото число е известно, а не неговите тригонометрични характеристики, тогава в повечето случаи е необходимо приблизително да се оцени тангенса на числото, като се позовава на таблицата на Брадис.
Изключения са така наречените стандартни стойности.
Те са представени в следната таблица:
В допълнение към горното, всички стойности, получени от данните чрез добавяне на число от формата ½πк (к - всяко цяло число, π=3, 14), могат да се считат за стандартни.
Точно същото важи и за дъговата допирателна: най-често приблизителната стойност може да се види от таблицата, но само няколко стойности са известни със сигурност:
На практика при решаване на задачи по училищна математика е обичайно да се дава отговор под формата на израз, съдържащ дъговата допирателна, а не нейната приблизителна оценка. Например, arctg 6, arctg (-¼).
Изчертаване на графика
Тъй като допирателната може да приеме произволна стойност, домейнът на функцията арктангенс е цялата числова права. Нека обясним по-подробно.
Същата допирателна съответства на безкраен брой аргументи. Например, не само тангенсът на нулата е равен на нула, но и тангенсът на произволно число от вида π k, където k е цяло число. Следователно математиците се съгласиха да избират стойности за дъговата тангенс от интервала от -½ π до ½ π. Трябва да се разбира по този начин. Обхватът на функцията арктангенс е интервалът (-½ π; ½ π). Краищата на празнината не са включени, тъй като допирателната -½p и ½p не съществува.
На посочения интервал допирателната е непрекъснатасе увеличава. Това означава, че обратната функция на допирателната на дъгата също непрекъснато нараства по цялата числова права, но ограничена отгоре и отдолу. В резултат на това има два хоризонтални асимптота: y=-½ π и y=½ π.
В този случай, tg 0=0, други точки на пресичане с оста на абсцисата, с изключение на (0;0), графиката не може да има поради увеличение.
Както следва от четността на допирателната функция, арктангенсът има подобно свойство.
За да построите графика, вземете няколко точки от стандартните стойности:
Производната на функцията y=arctg x във всяка точка се изчислява по формулата:
Забележете, че производната му навсякъде е положителна. Това е в съответствие със заключението, направено по-рано за непрекъснатото увеличаване на функцията.
Втората производна на арктангенса изчезва в точка 0, е отрицателна за положителни стойности на аргумента и обратно.
Това означава, че графиката на функцията на дъговата допирателна има точка на прегъване при нула и е изпъкнала надолу на интервала (-∞; 0] и изпъкнала нагоре на интервала [0; +∞).
