Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големите трудности, е тригонометрията. Нищо чудно: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способност да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изразите и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрия при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.
Произходът на тригонометрията
Въведението в тази наука трябва да започне с дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.
В исторически план правоъгълните триъгълници са били основният обект на изследване в този раздел на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса прави възможно извършването на различни операции, които позволяват двестрани и един ъгъл или два ъгъла и една страна, за да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура. В миналото хората забелязаха този модел и започнаха активно да го използват в строителството на сгради, навигация, астрономия и дори изкуство.
Начало
Първоначално хората говореха за връзката на ъглите и страните изключително на примера на правоъгълните триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в ежедневието на този раздел от математиката.
Изучаването на тригонометрията в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с които започва в гимназията.
Сферична тригонометрия
По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс, котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където се прилагат други правила и сумата от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото земната повърхност, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка маркировка на повърхността ще бъде "дъговидна" " в триизмерно пространство.
Вземете глобус и конец. Прикрепете конеца към произволни две точки на глобуса, така че да е опънат. Обърнете внимание - той е придобил формата на дъга. Той се занимава с такива формисферична геометрия, използвана в геодезия, астрономия и други теоретични и приложни области.
Прасен триъгълник
След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво представляват синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използваме.
На първо място, трябва да разберете понятията, свързани с правоъгълния триъгълник. Първо, хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числена стойност е равна на корена от сбора на квадратите на другите две страни.
Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.
Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.
Определение
Накрая, като имаме солидно разбиране на геометричната основа, можем да се обърнем към дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъл.
Синусът на ъгъла е съотношението на противоположния крак (тоест страната срещу желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъла е отношението на съседния катет към хипотенузата.
Не забравяйте, че нито синусът, нито косинусът могат да бъдат по-големи от единица! Защо?Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник. Без значение колко е дълъг кракът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното съотношение винаги ще бъде по-малко от единица. По този начин, ако получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на задачата, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор очевидно е грешен.
Накрая, тангенсът на ъгъла е отношението на противоположната страна към съседната страна. Същият резултат ще даде разделянето на синуса на косинус. Вижте: според формулата делим дължината на страната на хипотенузата, след което разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. По този начин получаваме същото съотношение като в дефиницията на допирателната.
Котангенс, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на допирателната.
И така, разгледахме дефинициите за това какво е синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да се справим с формули.
Прости формули
В тригонометрията не може без формули - как да намерим синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаване на проблеми.
Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, казва, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъла е равна на единица. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да разберете стойността на ъгъла, а не на страната.
Много студенти не могат да си спомнят втората формула, също многопопулярни при решаването на училищни задачи: сумата от единица и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само двете страни на идентичността бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво е синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.
Формули за двоен ъгъл и добавяне на аргументи
Още две формули за изучаване са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сумата и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория случай се добавя двойният продукт на синуса и косинуса.
Има и формули, свързани с аргументи за двоен ъгъл. Те са изцяло получени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла на алфа равен на ъгъла на бета.
Накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат преобразувани, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.
Теореми
Двете основни теореми в основната тригонометрия са теоремата за синусите и теоремата за косинусите. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса, а оттам и площта на фигурата и величинатавсяка страна и т.н.
Теоремата за синусите гласи, че в резултат на разделянето на дължината на всяка от страните на триъгълника на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, т.е. окръжността, съдържаща всички точки от дадения триъгълник.
Косинусовата теорема обобщава питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сбора на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния до тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така теоремата на Питагор се оказва частен случай на косинусовата теорема.
Грешки поради невнимание
Дори като знаем какво са синус, косинус и тангенс, е лесно да се направи грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните от тях.
Първо, не преобразувайте обикновени дроби в десетични, преди да получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако в условието не е посочено друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от задачата могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще губите време за ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото се срещат в задачите на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването."Грозни" числа.
След това имайте предвид, че косинусовата теорема се отнася за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, вие не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълно неразбиране на темата. Това е по-лошо от небрежна грешка.
Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синусът от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги смесите и неизбежно ще получите грешен резултат.
Заявление
Много студенти не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията в една или друга форма се използва навсякъде, от музика до медицина.
В заключение
Знаете какво са синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и успешно да решавате училищни проблеми.
Цялата точкатригонометрията се свежда до факта, че според известните параметри на триъгълника е необходимо да се изчислят неизвестните. Има общо шест параметъра: дължините на трите страни и величините на три ъгъла. Цялата разлика в задачите се крие във факта, че се дават различни входни данни.
Как да намерите синус, косинус, тангенс на базата на известни дължини на катета или хипотенузата, вече знаете. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук обичайната училищна математика ще ви помогне.
