Мощността е едно от най-важните понятия във физиката. Това причинява промяна в състоянието на всякакви обекти. В тази статия ще разгледаме каква е тази стойност, какви сили има и също така ще покажем как да намерим проекцията на силата върху оста и върху равнината.
Силата и нейното физическо значение
Във физиката силата е векторна величина, която показва промяната в импулса на тялото за единица време. Това определение счита силата за динамична характеристика. От гледна точка на статиката, силата във физиката е мярка за еластична или пластична деформация на телата.
Международната система SI изразява силата в нютони (N). Какво е 1 нютон, най-лесният начин да разберете примера на втория закон на класическата механика. Неговото математическо обозначение е както следва:
F¯=ma¯
Тук F¯ е някаква външна сила, действаща върху тяло с маса m и водеща до ускорение a¯. Количествената дефиниция на един нютон следва от формулата: 1 N е такава сила, която води до промяна в скоростта на тяло с маса 1 kg с 1 m/s за всяка секунда.
Примери за динамичнипроявления на сила са ускорението на автомобил или свободно падащо тяло в земното гравитационно поле.
Статичното проявление на силата, както беше отбелязано, е свързано с деформационни явления. Тук трябва да бъдат дадени следните формули:
F=PS
F=-kx
Първият израз свързва силата F с налягането P, което упражнява върху някаква област S. Чрез тази формула 1 N може да се дефинира като налягане от 1 паскал, приложено към площ от 1 m 2. Например колона от атмосферен въздух на морското равнище притиска място от 1 m2 със сила от 105N!
Вторият израз е класическата форма на закона на Хук. Например, разтягането или компресирането на пружина с линейна стойност x води до появата на противоположна сила F (в израза k е коефициентът на пропорционалност).
Какви сили има
Вече беше показано по-горе, че силите могат да бъдат статични и динамични. Тук казваме, че в допълнение към тази функция, те могат да бъдат контактни или далечни сили. Например силата на триене, опорните реакции са контактни сили. Причината за появата им е валидността на принципа на Паули. Последното гласи, че два електрона не могат да заемат едно и също състояние. Ето защо докосването на два атома води до тяхното отблъскване.
Силите на далечни разстояния се появяват в резултат на взаимодействието на телата през определено носещо поле. Например, такива са силата на гравитацията или електромагнитното взаимодействие. И двете мощности имат безкраен обхват,обаче интензитетът им пада като квадрат на разстоянието (законите на Кулон и гравитацията).
Мощността е векторна величина
След като се справихме със значението на разглежданата физическа величина, можем да пристъпим към изследване на въпроса за проекцията на силата върху оста. На първо място, отбелязваме, че това количество е вектор, тоест се характеризира с модул и посока. Ще покажем как да изчислим модула на силата и неговата посока.
Известно е, че всеки вектор може да бъде дефиниран еднозначно в дадена координатна система, ако са известни стойностите на координатите на неговото начало и край. Да приемем, че има насочен сегмент MN¯. Тогава неговата посока и модул могат да бъдат определени с помощта на следните изрази:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Тук координати с индекси 2 съответстват на точка N, тези с индекси 1 съответстват на точка M. Векторът MN¯ е насочен от M към N.
За общостта, ние показахме как да намерим модула и координатите (посоката) на вектор в триизмерно пространство. Подобни формули без трета координата са валидни за случая в равнината.
По този начин модулът на силата е неговата абсолютна стойност, изразена в нютони. От гледна точка на геометрията, модулът е дължината на насочения сегмент.
Върху какво е проекцията на силатаос?
Най-удобно е да говорим за проекции на насочени сегменти върху координатни оси и равнини, ако първо поставите съответния вектор в началото, тоест в точката (0; 0; 0). Да предположим, че имаме някакъв вектор на сила F¯. Нека поставим началото му в точката (0; 0; 0), тогава координатите на вектора могат да бъдат записани по следния начин:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Вектор F¯ показва посоката на силата в пространството в дадена координатна система. Сега нека начертаем перпендикулярни сегменти от края на F¯ към всяка от осите. Разстоянието от пресечната точка на перпендикуляра със съответната ос до началото се нарича проекция на силата върху оста. Не е трудно да се предположи, че в случая на силата F¯, нейните проекции върху осите x, y и z ще бъдат x1, y1и z 1, съответно. Обърнете внимание, че тези координати показват модулите на силовите проекции (дължината на сегментите).
Ъгли между силата и нейните проекции върху координатните оси
Изчисляването на тези ъгли не е трудно. Всичко, което се изисква за решаването му, е познаване на свойствата на тригонометричните функции и способността да се прилага Питагоровата теорема.
Например, нека дефинираме ъгъла между посоката на силата и нейната проекция върху оста x. Съответният правоъгълен триъгълник ще бъде образуван от хипотенузата (вектор F¯) и катета (сегмент x1). Вторият крак е разстоянието от края на вектора F¯ до оста x. Ъгълът α между F¯ и оста x се изчислява по формулата:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Както виждате, за да се определи ъгълът между оста и вектора, е необходимо и достатъчно да се знаят координатите на края на насочения сегмент.
За ъгли с други оси (y и z), можете да напишете подобни изрази:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Забележете, че във всички формули има модули в числителите, което елиминира появата на тъпи ъгли. Между силата и нейните аксиални проекции, ъглите винаги са по-малки или равни на 90o.
Сила и нейните проекции върху координатната равнина
Дефиницията на проекцията на силата върху равнината е същата като тази за оста, само че в този случай перпендикулярът трябва да се спусне не върху оста, а върху равнината.
В случай на пространствена правоъгълна координатна система имаме три взаимно перпендикулярни равнини xy (хоризонтална), yz (фронтална вертикална), xz (странична вертикална). Точките на пресичане на перпендикулярите, изпуснати от края на вектора към посочените равнини, са:
(x1; y1; 0) за xy;
(x1; 0; z1) за xz;
(0; y1; z1) за zy.
Ако всяка от отбелязаните точки е свързана с началото, тогава получаваме проекцията на силата F¯ върху съответната равнина. Какъв е модулът на силата, знаем. За да намерите модула на всяка проекция, трябва да приложите теоремата на Питагор. Нека означим проекциите на равнината като Fxy, Fxz и Fzy. Тогава равенствата ще бъдат валидни за техните модули:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Ъгли между проекциите върху равнината и вектора на силата
В горния параграф са дадени формули за модулите на проекциите върху равнината на разглеждания вектор F¯. Тези проекции, заедно с отсечката F¯ и разстоянието от неговия край до равнината, образуват правоъгълни триъгълници. Следователно, както в случая на проекции върху оста, можете да използвате дефиницията на тригонометрични функции, за да изчислите въпросните ъгли. Можете да напишете следните равенства:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Важно е да се разбере, че ъгълът между посоката на силата F¯ и съответната й проекция върху равнината е равен на ъгъла между F¯ и тази равнина. Ако разгледаме този проблем от гледна точка на геометрията, тогава можем да кажем, че насоченият сегмент F¯ е наклонен спрямо равнините xy, xz и zy.
Къде се използват проекции на сила?
Горните формули за проекции на сила върху координатните оси и върху равнината не представляват само теоретичен интерес. Те често се използват при решаване на физически проблеми. Самият процес на намиране на проекции се нарича разлагане на силата на нейните компоненти. Последните са вектори, чиято сума трябва да даде първоначалния вектор на силата. В общия случай е възможно силата да се разложи на произволни компоненти, но за решаване на проблеми е удобно да се използват проекции върху перпендикулярни оси и равнини.
Проблемите, при които се прилага концепцията за проекции на сила, могат да бъдат много различни. Например, същият втори закон на Нютон приема, че външната сила F¯, действаща върху тялото, трябва да бъде насочена по същия начин като вектора на скоростта v¯. Ако посоките им се различават с някакъв ъгъл, тогава, за да остане валидно равенството, трябва да се замести в него не самата сила F¯, а нейната проекция върху посоката v¯.
След това ще дадем няколко примера, където ще покажем как да използвате записанотоформули.
Задачата за определяне на проекции на сила върху равнината и по координатните оси
Да приемем, че има някаква сила F¯, която е представена от вектор със следните крайни и начални координати:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Необходимо е да се определи модулът на силата, както и всички нейни проекции върху координатните оси и равнини, както и ъглите между F¯ и всяка от нейните проекции.
Нека започнем да решаваме задачата, като изчислим координатите на вектора F¯. Имаме:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Тогава модулът на силата ще бъде:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Проекциите върху координатните оси са равни на съответните координати на вектора F¯. Нека изчислим ъглите между тях и посоката F¯. Имаме:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Тъй като координатите на вектора F¯ са известни, е възможно да се изчислят модулите на проекциите на сила върху координатната равнина. Използвайки горните формули, получаваме:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Накрая остава да изчислим ъглите между намерените проекции на равнината и вектора на силата. Имаме:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
По този начин векторът F¯ е най-близо до координатната равнина xy.
Проблем с плъзгаща се лента в наклонена равнина
Сега нека решим физически проблем, където ще е необходимо да приложим концепцията за проекция на сила. Нека се даде дървена наклонена равнина. Ъгълът на наклона му към хоризонта е 45o. В самолета има дървен блок с маса 3 кг. Необходимо е да се определи с какво ускорение ще се движи тази лента надолу по равнината, ако е известно, че коефициентът на триене на плъзгане е 0,7.
Първо, нека направим уравнението на движението на тялото. Тъй като върху него ще действат само две сили (проекцията на гравитацията върху равнина и силата на триене), уравнението ще приеме формата:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Тук Fg, Ff е проекцията на гравитацията и триенето, съответно. Тоест задачата се свежда до изчисляване на техните стойности.
Тъй като ъгълът, под който равнината е наклонена към хоризонта, е 45o, лесно е да се покаже, че проекцията на гравитацията Fgпо повърхността на равнината ще бъде равно на:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Тази проекция на силата се стреми да разстроидървен блок и му дайте ускорение.
Съгласно дефиницията, силата на триене при плъзгане е:
Ff=ΜN
Където Μ=0, 7 (виж условието на задачата). Реакционната сила на опората N е равна на проекцията на силата на тежестта върху оста, перпендикулярна на наклонената равнина, тоест:
N=mgcos(45o)
Тогава силата на триене е:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Заместете намерените сили в уравнението на движение, получаваме:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
По този начин блокът ще се спусне надолу по наклонената равнина, увеличавайки скоростта си с 2,08 m/s всяка секунда.
