Алгебрични неравенства или техните системи с рационални коефициенти, чиито решения се търсят в интегрални или цели числа. По правило броят на неизвестните в диофантовите уравнения е по-голям. По този начин те са известни още като неопределени неравенства. В съвременната математика горната концепция се прилага към алгебрични уравнения, чиито решения се търсят в алгебрични цели числа на някакво разширение на полето на Q-рационалните променливи, полето на p-адичните променливи и т.н.
Произходът на тези неравенства
Изучаването на диофантовите уравнения е на границата между теорията на числата и алгебричната геометрия. Намирането на решения в целочислени променливи е един от най-старите математически проблеми. Още в началото на второто хилядолетие пр.н.е. древните вавилонци успяват да решат системи от уравнения с две неизвестни. Този клон на математиката процъфтява най-много в древна Гърция. Аритметиката на Диофант (около 3 век сл. Хр.) е важен и основен източник, който съдържа различни видове и системи от уравнения.
В тази книга Диофант предвижда редица методи за изследване на неравенствата на второто и третотостепени, които са напълно развити през 19 век. Създаването на теорията за рационалните числа от този изследовател на древна Гърция доведе до анализ на логически решения на неопределени системи, които систематично се следват в неговата книга. Въпреки че работата му съдържа решения на специфични диофантови уравнения, има причина да се смята, че той е бил запознат и с няколко общи метода.
Изследването на тези неравенства обикновено е свързано със сериозни трудности. Поради факта, че съдържат полиноми с цели коефициенти F (x, y1, …, y). Въз основа на това бяха направени изводите, че няма единен алгоритъм, който би могъл да се използва, за да се определи за всеки даден x дали уравнението F (x, y1, …., y ). Ситуацията е разрешима за y1, …, y . Могат да бъдат написани примери за такива полиноми.
Най-простото неравенство
ax + by=1, където a и b са относително цели и прости числа, има огромен брой изпълнения (ако x0, y0 резултатът се формира, след което двойката променливи x=x0 + b и y=y0 -an, където n е произволно, също ще се счита за неравенство). Друг пример за диофантови уравнения е x2 + y2 =z2. Положителните интегрални решения на това неравенство са дължините на малките страни x, y и правоъгълните триъгълници, както и хипотенузата z с целочислени размери на страната. Тези числа са известни като питагорейски числа. Посочени са всички тройки по отношение на простото числогорните променливи са дадени от x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, където m и n са цели числа и прости числа (m>n>0).
Диофант в своята Аритметика търси рационални (не непременно интегрални) решения на специални типове на своите неравенства. Обща теория за решаване на диофантови уравнения от първа степен е разработена от К. Г. Баше през 17 век. Други учени в началото на 19-ти век основно изучават подобни неравенства като ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, където a, b, c, d, e и f са общи, хетерогенни, с две неизвестни от втора степен. Лагранж използва непрекъснати дроби в своето изследване. Гаус за квадратични форми разработи обща теория, лежаща в основата на някои видове решения.
В изследването на тези неравенства от втора степен е постигнат значителен напредък едва през 20-ти век. А. Ту установи, че Диофантовото уравнение a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, където n≧3, a0, …, a , c са цели числа и a0tn + …+ a не може да има безкраен брой цели числа. Методът на Ту обаче не е разработен правилно. А. Бейкър създаде ефективни теореми, които дават оценки за ефективността на някои уравнения от този вид. BN Delaunay предложи друг метод на изследване, приложим към по-тесен клас от тези неравенства. По-специално, формата ax3 + y3 =1 е напълно разрешима по този начин.
Диофантови уравнения: методи за решение
Теорията на Диофант има много посоки. По този начин, добре известен проблем в тази система е хипотезата, че няма нетривиално решение на диофантовите уравнения xn + y =z n ако n ≧ 3 (въпрос на Ферма). Изучаването на целочислените изпълнения на неравенството е естествено обобщение на проблема за питагоровите триплети. Ойлер получи положително решение на проблема на Ферма за n=4. По силата на този резултат, той се отнася до доказателството на липсващите цели, различни от нула изследвания на уравнението, ако n е нечетно просто число.
Проучването относно решението не е завършено. Трудностите при прилагането му са свързани с факта, че простото разлагане на множители в пръстена на алгебричните цели числа не е уникално. Теорията на делителите в тази система за много класове прости експоненти n дава възможност да се потвърди валидността на теоремата на Ферма. Така линейното диофантово уравнение с две неизвестни се изпълнява от съществуващите методи и начини.
Видове и видове описани задачи
Аритметиката на пръстените на алгебричните цели числа се използва и в много други задачи и решения на диофантови уравнения. Например, такива методи бяха приложени при изпълнение на неравенства от вида N(a1 x1 +…+ a x)=m, където N(a) е нормата на a, и x1, …, xn Намерени са интегрални рационални променливи. Този клас включва уравнението на Пел x2–dy2=1.
Стойностите a1, …, a , които се появяват, тези уравнения са разделени на два типа. Първият тип - така наречените пълни форми - включват уравнения, в които сред a има m линейно независими числа над полето на рационалните променливи Q, където m=[Q(a1, …, a):Q], в който има степен на алгебрични експоненти Q (a1, …, a ) над Q. Непълни видове са тези в при което максималният брой a i по-малък от m.
Пълните формуляри са по-прости, изучаването им е завършено и всички решения могат да бъдат описани. Вторият тип, непълните видове, е по-сложен и развитието на такава теория все още не е завършено. Такива уравнения се изучават с помощта на диофантови приближения, които включват неравенството F(x, y)=C, където F (x, y) е несводим, хомогенен полином от степен n≧3. По този начин можем да приемем, че yi→∞. Съответно, ако yi е достатъчно голямо, тогава неравенството ще противоречи на теоремата на Туе, Сийгъл и Рот, от която следва, че F(x, y)=C, където F е форма от трета степен или по-висока, несводимото не може да има безкраен брой решения.
Как да решим диофантово уравнение?
Този пример е доста тесен клас сред всички. Например, въпреки тяхната простота, x3 + y3 + z3=N и x2 +y 2 +z2 +u2 =N не са включени в този клас. Изучаването на решенията е доста внимателно проучен клон на диофантовите уравнения, където основата е представянето чрез квадратни форми на числа. Лагранжсъздаде теорема, която казва, че изпълнението съществува за всички естествени N. Всяко естествено число може да бъде представено като сума от три квадрата (теоремата на Гаус), но не трябва да бъде от формата 4a (8K- 1), където a и k са неотрицателни цели експоненти.
Рационални или интегрални решения на система от диофантово уравнение от тип F (x1, …, x)=a, където F (x 1, …, x) е квадратична форма с целочислени коефициенти. Така, според теоремата на Минковски-Хасе, неравенството ∑aijxixj=b ijи b е рационално, има интегрално решение в реални и p-адични числа за всяко просто число p само ако е разрешимо в тази структура.
Поради присъщите трудности изучаването на числата с произволни форми от трета и по-висока степен е проучено в по-малка степен. Основният метод на изпълнение е методът на тригонометричните суми. В този случай броят на решенията на уравнението се записва изрично чрез интеграла на Фурие. След това се използва методът на средата за изразяване на броя на изпълнението на неравенството на съответните конгруенции. Методът на тригонометричните суми зависи от алгебричните особености на неравенствата. Има голям брой елементарни методи за решаване на линейни диофантови уравнения.
Диофантов анализ
Катедра по математика, чийто предмет е изучаване на интегрални и рационални решения на системи от уравнения на алгебрата по методи на геометрията, от същиясфери. През втората половина на 19 век появата на тази теория на числата води до изследване на диофантовите уравнения от произволно поле с коефициенти и решенията се разглеждат или в него, или в неговите пръстени. Системата от алгебрични функции се развива паралелно с числата. Основната аналогия между двете, която беше подчертана от Д. Хилберт и по-специално Л. Кронекер, доведе до еднакво изграждане на различни аритметични понятия, които обикновено се наричат глобални.
Това е особено забележимо, ако изучаваните алгебрични функции върху крайно поле от константи са една променлива. Понятия като теория на класовите полета, делител и разклонения и резултати са добра илюстрация на горното. Тази гледна точка е възприета в системата на диофантовите неравенства едва по-късно, а системните изследвания не само с числови коефициенти, но и с коефициенти, които са функции, започват едва през 50-те години на миналия век. Един от решаващите фактори в този подход е развитието на алгебричната геометрия. Едновременното изследване на полетата на числата и функциите, които възникват като два еднакво важни аспекта на един и същи предмет, не само даде елегантни и убедителни резултати, но доведе до взаимното обогатяване на двете теми.
В алгебричната геометрия понятието многообразие се заменя с неинвариантен набор от неравенства върху дадено поле K, а техните решения се заменят с рационални точки със стойности в K или в крайното му разширение. Съответно може да се каже, че основният проблем на диофантовата геометрия е изучаването на рационалните точкина алгебрично множество X(K), докато X са определени числа в полето K. Целочисленото изпълнение има геометрично значение в линейните диофантови уравнения.
Изследвания на неравенството и опции за изпълнение
При изучаване на рационални (или интегрални) точки върху алгебрични многообразия възниква първият проблем, който е тяхното съществуване. Десетата задача на Хилберт е формулирана като задача за намиране на общ метод за решаване на този проблем. В процеса на създаване на точна дефиниция на алгоритъма и след като беше доказано, че няма такива изпълнения за голям брой задачи, проблемът придоби очевиден отрицателен резултат, а най-интересният въпрос е дефинирането на класове от диофантови уравнения за които съществува горната система. Най-естественият подход, от алгебрична гледна точка, е така нареченият принцип на Хасе: началното поле K се изучава заедно с неговите завършвания Kv върху всички възможни оценки. Тъй като X(K)=X(Kv) са необходимо условие за съществуване, а точката K взема предвид, че множеството X(Kv) не е празно за всички v.
Важността се крие във факта, че обединява два проблема. Вторият е много по-прост, решава се по познат алгоритъм. В частния случай, когато многообразието X е проективно, лемата на Хензел и нейните обобщения правят възможна по-нататъшна редукция: проблемът може да бъде сведен до изследване на рационални точки над крайно поле. Тогава той решава да изгради концепция чрез последователни изследвания или по-ефективни методи.
Последноважно съображение е, че множествата X(Kv) не са празни за всички, освен за краен брой v, така че броят на условията винаги е краен и те могат да бъдат ефективно тествани. Принципът на Хасе обаче не се прилага за градусови криви. Например, 3x3 + 4y3=5 има точки във всички полета с p-адични числа и в система от реални числа, но няма рационални точки.
Този метод послужи като отправна точка за конструиране на концепция, описваща класовете на главните хомогенни пространства на абелеви многообразия, за да се извърши "отклонение" от принципа на Хасе. Тя е описана от гледна точка на специална структура, която може да бъде свързана с всяко многообразие (група Тейт-Шафаревич). Основната трудност на теорията се крие във факта, че методи за изчисляване на групите са трудни за получаване. Тази концепция е разширена и до други класове алгебрични многообразия.
Търсете алгоритъм за изпълнение на неравенства
Друга евристична идея, използвана при изследването на диофантовите уравнения, е, че ако броят на променливите, включени в набор от неравенства, е голям, тогава системата обикновено има решение. Това обаче е много трудно за доказване за всеки конкретен случай. Общият подход към проблемите от този тип използва аналитична теория на числата и се основава на оценки за тригонометрични суми. Този метод първоначално е бил приложен към специални видове уравнения.
По-късно обаче с негова помощ се доказа, че ако формата на нечетна степен е F, в dи n променливи и с рационални коефициенти, тогава n е достатъчно голямо в сравнение с d, така че проективната хиперповърхност F=0 има рационална точка. Според предположението на Артин този резултат е верен дори ако n > d2. Това е доказано само за квадратни форми. Подобни проблеми могат да бъдат зададени и за други области. Централният проблем на диофантовата геометрия е структурата на множеството от цели числа или рационални точки и тяхното изследване и първият въпрос, който трябва да бъде изяснен, е дали това множество е крайно. В този проблем ситуацията обикновено има краен брой изпълнения, ако степента на системата е много по-голяма от броя на променливите. Това е основното предположение.
Неравенства на линии и криви
Групата X(K) може да бъде представена като пряка сума от свободна структура с ранг r и крайна група от порядък n. От 30-те години на миналия век се изследва въпросът дали тези числа са ограничени върху множеството от всички елиптични криви върху дадено поле K. Ограничеността на усукването n е демонстрирана през седемдесетте години. Във функционалния случай има криви с произволен висок ранг. В числов случай все още няма отговор на този въпрос.
Накрая, хипотезата на Мордел гласи, че броят на интегралните точки е краен за крива от род g>1. Във функционалния случай тази концепция е демонстрирана от Ю. И. Манин през 1963 г. Основният инструмент, използван при доказване на теореми за крайност в диофантовата геометрия, е височината. От алгебричните многообразия размерностите над едно са абеловимногообразията, които са многомерните аналози на елиптичните криви, са най-задълбочено проучени.
A. Вайл обобщава теоремата за крайността на броя на генераторите на група рационални точки до абелови многообразия от произволно измерение (концепцията на Mordell-Weil), като я разширява. През 60-те години на миналия век се появява хипотезата на Бърч и Суинъртън-Дайър, подобрявайки това и групата и дзета функциите на многообразието. Числени доказателства подкрепят тази хипотеза.
Проблем с разрешимостта
Проблемът за намиране на алгоритъм, който може да се използва, за да се определи дали някое диофантово уравнение има решение. Съществена характеристика на поставения проблем е търсенето на универсален метод, който би бил подходящ за всяко неравенство. Подобен метод би позволил и решаването на горните системи, тъй като е еквивалентен на P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 или p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Проблемът за намирането на такъв универсален начин за намиране на решения за линейни неравенства в цели числа е поставен от D. Гилбърт.
В началото на 50-те години се появяват първите изследвания, целящи да докажат несъществуването на алгоритъм за решаване на диофантови уравнения. По това време се появи предположението на Дейвис, според което всяко изброимо множество също принадлежи на гръцкия учен. Тъй като примерите за алгоритмично неразрешими множества са известни, но са рекурсивно изброими. От това следва, че хипотезата на Дейвис е вярна и проблемът за разрешимостта на тези уравненияима отрицателно изпълнение.
След това, за хипотезата на Дейвис, остава да се докаже, че има метод за трансформиране на неравенство, което също (или не) в същото време има решение. Показано е, че такава промяна на диофантовото уравнение е възможна, ако то притежава горните две свойства: 1) при всяко решение от този тип v ≦ uu; 2) за всяко k има изпълнение с експоненциален растеж.
Пример за линейно диофантово уравнение от този клас завърши доказателството. Проблемът за съществуването на алгоритъм за разрешимостта и признаването на тези неравенства в рационалните числа все още се счита за важен и отворен въпрос, който не е достатъчно проучен.
