Един от основните раздели на математическия анализ е интегралното смятане. Той обхваща най-широкото поле от обекти, където първият е неопределеният интеграл. Струва си да го позиционирате като ключ, който дори в гимназията разкрива все по-голям брой перспективи и възможности, които висшата математика описва.
Външен вид
На пръв поглед интегралът изглежда напълно модерен, актуален, но на практика се оказва, че се е появил още през 1800 г. пр.н.е. Египет официално се счита за родина, тъй като по-ранни доказателства за съществуването му не са достигнали до нас. Той, поради липса на информация, през цялото това време беше позициониран просто като феномен. Той още веднъж потвърди нивото на развитие на науката сред народите от онези времена. Накрая са открити трудовете на древногръцки математици, датиращи от 4-ти век пр.н.е. Те описват метод, при който се използва неопределен интеграл, чиято същност е да се намери обемът или площта на криволинейна фигура (триизмернаи съответно двуизмерни равнини). Принципът на изчисление се основаваше на разделяне на оригиналната фигура на безкрайно малки компоненти, при условие че техният обем (площ) вече е известен. С течение на времето методът се разраства, Архимед го използва, за да намери площта на парабола. Подобни изчисления бяха извършени по същото време от учени в древен Китай и те бяха напълно независими от гръцките си колеги в науката.
Разработка
Следващият пробив през 11-ти век сл. Хр. е дело на арабския учен-"универсален" Абу Али ал-Басри, който премества границите на това, което вече е известно, извеждайки формули въз основа на интеграла за изчисляване на сумите на редове и суми от степени от първа до четвърта, прилагайки за това познатия ни метод на математическа индукция.
Умовете на съвремието се възхищават как древните египтяни създават невероятни архитектурни паметници без никакви специални устройства, освен може би ръцете си, но не е ли по-малко чудо силата на ума на учените от онова време? В сравнение с днешния живот животът им изглежда почти примитивен, но решението на неопределените интеграли се извлича навсякъде и се използва на практика за по-нататъшно развитие.
Следващата стъпка се извършва през 16-ти век, когато италианският математик Кавалиери разработва метода на неделимите, който е възприет от Пиер Ферма. Именно тези две личности положиха основата на съвременното интегрално смятане, което е известно в момента. Те свързаха понятията за диференциация и интеграция, които бяха предитретирани като автономни единици. Като цяло математиката от онези времена беше фрагментирана, частиците от заключенията съществуваха сами, с ограничен обхват. Пътят на обединението и търсенето на допирни точки е единственият верен по това време, благодарение на който съвременният математически анализ получава възможност да расте и се развива.
Всичко се е променило с времето, включително записването на интеграла. Като цяло учените го обозначават с всички средства, например Нютон използва квадратна икона, в която поставя интегрируема функция или просто я поставя до нея.
Това несъответствие продължава до 17-ти век, когато ученият Готфрид Лайбниц, забележителност за цялата теория на математическия анализ, въвежда толкова познатия за нас символ. Удълженото "S" наистина се основава на тази буква от латинската азбука, тъй като обозначава сбора от антипроизводни. Интегралът получи името си благодарение на Якоб Бернули 15 години по-късно.
Официална дефиниция
Неопределеният интеграл директно зависи от дефиницията на първопроизводната, така че нека първо го разгледаме.
Антипроизводната е функция, която е обратна на производна, на практика се нарича още примитивна. В противен случай: антипроизводната на функция d е функция D, чиято производна е равна на v V'=v. Търсенето на антипроизводната е изчисляването на неопределения интеграл, а самият този процес се нарича интегриране.
Пример:
Функция s(y)=y3 и нейната антидеривация S(y)=(y4/4).
Множеството от всички първопроизводни на разглежданата функция е неопределен интеграл, той се обозначава по следния начин: ∫v(x)dx.
Поради факта, че V(x) е само някаква първопроизводна на оригиналната функция, изразът се изпълнява: ∫v(x)dx=V(x) + C, където C е константа. Произволна константа е всяка константа, тъй като нейната производна е равна на нула.
Свойства
Свойствата, които притежава неопределеният интеграл, се основават на основната дефиниция и свойствата на производните.
Нека разгледаме ключовите точки:
- интегралът от производната на антипроизводната е самата антипроизводна плюс произволна константа С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- производната на интеграла на функцията е оригиналната функция (∫v(x)dx)'=v(x);
- константата се изважда от под интегралния знак ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, където k е произволен;
- интегралът, взет от сбора, е идентично равен на сбора от интегралите ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
От последните две свойства можем да заключим, че неопределеният интеграл е линеен. Благодарение на това имаме: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
За да консолидирате, разгледайте примери за решаване на неопределени интеграли.
Необходимо е да се намери интегралът ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
От примера можем да заключим:не знаете как да решавате неопределени интеграли? Просто намерете всички примитиви! Но принципите на търсенето ще бъдат разгледани по-долу.
Методи и примери
За да решите интеграла, можете да прибягвате до следните методи:
- използвайте подготвената маса;
- интегриране по части;
- интегриране чрез промяна на променливата;
- подвеждане под диференциалния знак.
Маси
Най-лесният и приятен начин. В момента математическият анализ може да се похвали с доста обширни таблици, в които са записани основните формули на неопределените интеграли. С други думи, има шаблони, които са разработени преди вас и за вас, остава само да ги използвате. Ето списък на основните позиции в таблицата, от които можете да извлечете почти всеки пример, който има решение:
- ∫0dy=C, където C е константа;
- ∫dy=y + C, където C е константа;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, където C е константа и n - не едно число;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, където C е константа;
- ∫eydy=ey + C, където C е константа;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, където C е константа;
- ∫cosydy=siny + C, където C е константа;
- ∫sinydy=-cosy + C, където C е константа;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, където C е константа;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, където C е константа;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, където C е константа;
- ∫chydy=срамежлив + C, където C -константа;
- ∫shydy=chy + C, където C е константа.
Ако е необходимо, направете няколко стъпки, приведете интегрираното число в табличен вид и се насладете на победата. Пример: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Според решението е ясно, че за табличния пример на интегралната функция липсва коефициент 5. Събираме го, като го умножаваме по 1/5 успоредно, така че общият израз да не се промени.
Интегриране по части
Помислете за две функции - z(y) и x(y). Те трябва да бъдат непрекъснато диференцируеми в цялата област на дефиниция. Според едно от свойствата на диференциация имаме: d(xz)=xdz + zdx. Интегрирайки двете части на уравнението, получаваме: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Пренаписвайки полученото равенство, получаваме формула, която описва метода на интегриране по части: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Защо е необходимо? Въпросът е, че някои примери могат да се опростят, условно казано, да намалят ∫zdx до ∫xdz, ако последното е близко до табличен вид. Също така, тази формула може да се прилага повече от веднъж, като се постигат оптимални резултати.
Как да решим неопределени интеграли по този начин:
трябва да се изчисли ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
трябва да се изчисли ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Замяна на променлива
Този принцип за решаване на неопределени интеграли е не по-малко търсен от двата предишни, въпреки че е по-сложен. Методът е следният: нека V(x) е интегралът от някаква функция v(x). В случай, че самият интеграл в примера се окаже сложен, има голяма вероятност да се объркате и да поемете по грешен път на решение. За да се избегне това, се практикува преходът от променливата x към z, при който общият израз е визуално опростен, като се поддържа зависимостта на z от x.
Математически изглежда така: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), където x=y(z) е заместване. И, разбира се, обратната функция z=y-1(x) напълно описва зависимостта и връзката на променливите. Важна забележка - диференциалът dx задължително се заменя с нов диференциал dz, тъй като замяната на променлива в неопределения интеграл предполага нейната замяна навсякъде, а не само в интеграла.
Пример:
трябва да намерите ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Приложете заместването z=(s+1)/(s2+2s-5). Тогава dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. В резултат на това получаваме следния израз, който е много лесен за изчисляване:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
трябва да се намери интегралът∫2sesdx
За да решим, пренаписваме израза в следната форма:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Обозначете с a=2e (тази стъпка не е заместител на аргумента, тя все още е s), ние привеждаме нашия привидно сложен интеграл в елементарна таблична форма:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Подвеждане под диференциалния знак
Като цяло този метод на неопределените интеграли е брат-близнак на принципа на промяната на променливите, но има разлики в процеса на проектиране. Нека разгледаме по-отблизо.
Ако ∫v(x)dx=V(x) + C и y=z(x), тогава ∫v(y)dy=V(y) + C.
В този случай не бива да забравяме тривиалните интегрални трансформации, сред които:
- dx=d(x + a), където a е произволна константа;
- dx=(1 / a)d(ax + b), където a отново е константа, но не е равно на нула;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ако разгледаме общия случай, когато изчисляваме неопределения интеграл, примерите могат да бъдат обобщени под общата формула w'(x)dx=dw(x).
Примери:
трябва да се намери ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Онлайн помощ
В някои случаи, чиято вина може да е или мързел, или спешна нужда, можете да използвате онлайн съвети или по-скоро да използвате калкулатора с неопределен интеграл. Въпреки цялата привидна сложност и спорност на интегралите, тяхното решаване е подчинено на определен алгоритъм, който се основава на принципа „ако не…, то…“.
Разбира се, такъв калкулатор няма да овладее особено сложни примери, тъй като има случаи, в които решението трябва да се намери изкуствено, „насилствено” въвеждане на определени елементи в процеса, тъй като резултатът не може да се постигне очевидно начини. Въпреки всички противоречия на това твърдение, то е вярно, тъй като математиката по принцип е абстрактна наука и счита необходимостта от разширяване на границите на възможностите за своя основна задача. Наистина е изключително трудно да се движите нагоре и да се развивате в съответствие с плавни, внедряващи се теории, така че не трябва да приемате, че примерите за решаване на неопределени интеграли, които дадохме, са височината на възможностите. Но да се върнем към техническата страна на нещата. Поне за да проверите изчисленията, можете да използвате услугите, в които всичко е написано преди нас. Ако има нужда от автоматично изчисляване на сложен израз, тогава те не могат да бъдат премахнати, ще трябва да прибягвате до по-сериозен софтуер. Струва си да се обърне внимание преди всичко на средата на MatLab.
Заявление
Решението на неопределени интеграли на пръв поглед изглежда напълно извън досег с реалността, тъй като е трудно да се видят очевидните области на приложение. Всъщност те не могат да се използват директно навсякъде, но се считат за необходим междинен елемент в процеса на извеждане на решения, използвани в практиката. И така, интегрирането е обратно на диференцирането, поради което активно участва в процеса на решаване на уравнения.
От своя страна тези уравнения оказват пряко влияние върху решаването на механични задачи, изчисляването на траектории и топлопроводимост - накратко, всичко, което съставя настоящето и оформя бъдещето. Неопределеният интеграл, примери за който разгледахме по-горе, е тривиален само на пръв поглед, тъй като е в основата на правенето на все повече и повече нови открития.
