Появата на концепцията за интеграла се дължи на необходимостта да се намери антипроизводната функция чрез нейната производна, както и да се определи количеството работа, площта на комплексните фигури, изминатото разстояние, с параметри, очертани от криви, описани с нелинейни формули.
От курс
и физиката знае, че работата е равна на произведението на силата и разстоянието. Ако цялото движение се извършва с постоянна скорост или разстоянието се преодолява с прилагането на същата сила, тогава всичко е ясно, просто трябва да ги умножите. Какво е интеграл от константа? Това е линейна функция от формата y=kx+c.
Но силата по време на работа може да се промени и то в някаква естествена зависимост. Същата ситуация възниква при изчисляването на изминатото разстояние, ако скоростта не е постоянна.
Така че е ясно за какво служи интегралът. Неговото определение като сума от произведенията на стойностите на функцията чрез безкрайно малко увеличение на аргумента напълно описва основното значение на това понятие като площ на фигура, ограничена отгоре от линията на функцията, и при ръбовете по границите на дефиницията.
Жан Гастон Дарбу, френски математик, през втората половина на XIXвек много ясно обясни какво е интеграл. Той каза толкова ясно, че като цяло не би било трудно дори за ученик в прогимназията да разбере този въпрос.
Да кажем, че има функция от всяка сложна форма. Оста y, върху която са нанесени стойностите на аргумента, е разделена на малки интервали, в идеалния случай те са безкрайно малки, но тъй като концепцията за безкрайност е доста абстрактна, достатъчно е да си представим само малки сегменти, стойността от които обикновено се обозначава с гръцката буква Δ (делта).
Функцията се оказа "нарязана" на малки тухлички.
Всяка стойност на аргумента съответства на точка по оста y, върху която са нанесени съответните стойности на функцията. Но тъй като избраната област има две граници, ще има и две стойности на функцията, повече и по-малко.
Сборът от произведенията на по-големите стойности с нарастването Δ се нарича голямата сума на Дарбу и се обозначава като S. Съответно, по-малките стойности в ограничена област, умножени по Δ, всички заедно образуват малка сума по Дарбу s. Самото сечение наподобява правоъгълен трапец, тъй като кривината на линията на функцията с нейното безкрайно малко нарастване може да бъде пренебрегната. Най-лесният начин да намерите площта на такава геометрична фигура е да съберете продуктите на по-голямата и по-малката стойност на функцията с Δ-инкремента и да разделите на две, тоест да я определите като средно аритметично.
Това е интегралът на Дарбу:
s=Σf(x) Δ е малко количество;
S=Σf(x+Δ)Δ е голяма сума.
И така, какво е интеграл? Площта, ограничена от функционалната линия и границите на дефиницията ще бъде:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Това е, средноаритметичната стойност на големи и малки суми по Дарбу.c е постоянна стойност, която е настроена на нула по време на диференцирането.
Въз основа на геометричния израз на това понятие, физическото значение на интеграла става ясно. Площта на фигурата, очертана от функцията за скорост и ограничена от интервала от време по оста на абсцисата, ще бъде дължината на изминатия път.
L=∫f(x)dx на интервала от t1 до t2, Къде
f(x) – функция за скорост, тоест формулата, по която се променя във времето;
L – дължина на пътя;
t1 – начален час;
t2 – крайно време на пътуването.
Точно по същия принцип се определя количеството работа, само разстоянието ще бъде начертано по абсцисата, а количеството приложена сила във всяка конкретна точка ще бъде нанесено по ординатата.
