Когато трябва да решавате задачи по физика за движението на обекти, често се оказва полезно да приложите закона за запазване на импулса. Какъв е импулсът за линейното и кръгово движение на тялото и каква е същността на закона за запазване на тази стойност, се обсъжда в статията.
Концепцията за линейния импулс
Исторически данни показват, че за първи път тази стойност е разгледана в своите научни трудове от Галилео Галилей в началото на 17 век. Впоследствие Исак Нютон успява хармонично да интегрира концепцията за импулс (по-правилно име за импулс) в класическата теория за движението на обекти в пространството.
Означете импулса като p¯, тогава формулата за неговото изчисление ще бъде написана като:
p¯=mv¯.
Тук m е масата, v¯ е скоростта (векторната стойност) на движението. Това равенство показва, че количеството на движението е характеристиката на скоростта на обект, където масата играе ролята на коефициент на умножение. Брой на движениетое векторна величина, сочеща в същата посока като скоростта.
Интуитивно, колкото по-голяма е скоростта на движение и масата на тялото, толкова по-трудно е да се спре, тоест толкова по-голяма е кинетичната енергия, която има.
Обемът на движение и неговата промяна
Можете да се досетите, че за да промените p¯ стойността на тялото, трябва да приложите някаква сила. Нека силата F¯ действа през интервала от време Δt, тогава законът на Нютон ни позволява да запишем равенството:
F¯Δt=ma¯Δt; следователно F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Стойността, равна на произведението на интервала от време Δt и силата F¯, се нарича импулс на тази сила. Тъй като се оказва, че е равен на промяната в импулса, последният често се нарича просто импулс, което предполага, че някаква външна сила F¯ го е създала.
По този начин причината за промяната в импулса е импулсът на външната сила. Стойността на Δp¯ може да доведе както до увеличаване на стойността на p¯, ако ъгълът между F¯ и p¯ е остър, така и до намаляване на модула на p¯, ако този ъгъл е тъп. Най-простите случаи са ускорението на тялото (ъгълът между F¯ и p¯ е нула) и неговото забавяне (ъгълът между векторите F¯ и p¯ е 180o).
Когато импулсът е запазен: закон
Ако телесната система не е такавадействат външни сили и всички процеси в него са ограничени само от механичното взаимодействие на неговите компоненти, тогава всеки компонент на импулса остава непроменен за произволно дълго време. Това е законът за запазване на импулса на телата, който се записва математически по следния начин:
p¯=∑ipi¯=const или
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Индексът i е цяло число, което изброява обекта на системата, а индексите x, y, z описват компонентите на импулса за всяка от координатните оси в декартовата правоъгълна система.
На практика често се налага решаване на едномерни задачи за сблъсък на тела, когато са известни първоначалните условия и е необходимо да се определи състоянието на системата след удара. В този случай импулсът винаги се запазва, което не може да се каже за кинетичната енергия. Последното преди и след удара ще остане непроменено само в единичен случай: когато има абсолютно еластично взаимодействие. За този случай на сблъсък на две тела, движещи се със скорости v1 и v2,формулата за запазване на импулса ще приеме формата:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Тук скоростите u1 и u2 характеризират движението на телата след удара. Имайте предвид, че в тази форма на закона за запазване е необходимо да се вземе предвид знакът на скоростите: ако те са насочени един към друг, тогава трябва да се вземеположителен, а другият отрицателен.
За идеално нееластичен сблъсък (две тела се залепват заедно след удар), законът за запазване на импулса има формата:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Решение на задачата за закона за запазване на p¯
Нека решим следния проблем: две топки се търкалят една към друга. Масите на топките са еднакви, а скоростите им са 5 m/s и 3 m/s. Ако приемем, че има абсолютно еластичен сблъсък, е необходимо да се намерят скоростите на топките след него.
Използвайки закона за запазване на импулса за едномерния случай и като вземем предвид, че кинетичната енергия се запазва след удара, пишем:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Тук веднага намалихме масите на топките поради тяхното равенство, а също така взехме предвид факта, че телата се движат едно към друго.
По-лесно е да продължите да решавате системата, ако замените известни данни. Получаваме:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Замествайки u1 във второто уравнение, получаваме:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; следователно,u22- 2u2 - 15=0.
Получихме класическото квадратно уравнение. Решаваме го чрез дискриминанта, получаваме:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Имаме две решения. Ако ги заместим в първия израз и дефинираме u1, тогава получаваме следната стойност: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Втората двойка числа е дадена в условието на задачата, така че не съответства на реалното разпределение на скоростите след удара.
По този начин остава само едно решение: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Този любопитен резултат означава, че при централен еластичен сблъсък две топки с еднаква маса просто обменят своите скорости.
Момент на инерция
Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до линейния тип движение. Оказва се обаче, че подобни количества могат да се въведат и при кръгово преместване на тела около определена ос. Ъгловият импулс, който също се нарича ъглов импулс, се изчислява като произведението на вектора, свързващ материалната точка с оста на въртене и импулса на тази точка. Тоест формулата се изпълнява:
L¯=r¯p¯, където p¯=mv¯.
Импулсът, подобно на p¯, е вектор, който е насочен перпендикулярно на равнината, изградена върху векторите r¯ и p¯.
Стойността на L¯ е важна характеристика на въртящата се система, тъй като тя определя енергията, която се съхранява в нея.
Момент на инерцията и закон за запазване
Импулсът се запазва, ако върху системата не действат външни сили (обикновено казват, че няма момент на силите). Изразът в предишния параграф, чрез прости трансформации, може да бъде написан във форма, по-удобна за практика:
L¯=Iω¯, където I=mr2 е моментът на инерция на материалната точка, ω¯ е ъгловата скорост.
Моментът на инерция I, който се появи в израза, има точно същото значение за въртене като обичайната маса за линейно движение.
Ако има някакво вътрешно пренареждане на системата, при което I се променя, тогава ω¯ също не остава постоянно. Освен това промяната в двете физически величини става по такъв начин, че равенството по-долу остава валидно:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Това е законът за запазване на ъгловия импулс L¯. Неговото проявление е наблюдавано от всеки човек, който поне веднъж е посещавал балет или фигурно пързаляне, където спортистите изпълняват пируети с въртене.
