В алгебрата има понятие за два вида равенства - тъждества и уравнения. Идентичностите са такива равенства, които са изпълними за всякакви стойности на буквите, включени в тях. Уравненията също са равенства, но са изпълними само за определени стойности на буквите, включени в тях.
Буквите обикновено не са еднакви по отношение на задачата. Това означава, че някои от тях могат да приемат всякакви разрешени стойности, наречени коефициенти (или параметри), докато други - те се наричат неизвестни - приемат стойности, които трябва да бъдат намерени в процеса на решение. По правило неизвестните количества се обозначават в уравнения с букви, последните от латинската азбука (x.y.z и т.н.), или със същите букви, но с индекс (x1, x 2 и т.н.), а известните коефициенти са дадени от първите букви на същата азбука.
Въз основа на броя на неизвестните се разграничават уравнения с едно, две и няколко неизвестни. По този начин всички стойности на неизвестните, за които решаваното уравнение се превръща в тъждество, се наричат решения на уравненията. Едно уравнение може да се счита за решено, ако всички негови решения са намерени или се докаже, че то няма нито едно. Задачата "решете уравнението" на практика е често срещана и означава, че трябва да намерите корена на уравнението.
Определение: корените на уравнението са тези стойности на неизвестните от диапазона на допустимите стойности, при които уравнението, което се решава, се превръща в идентичност.
Алгоритъмът за решаване на абсолютно всички уравнения е един и същ и смисълът му е да сведе този израз до по-проста форма с помощта на математически трансформации. Уравнения, които имат еднакви корени, се наричат еквивалентни в алгебрата.
Най-простият пример: 7x-49=0, коренът на уравнението x=7;x-7=0, по подобен начин коренът x=7, следователно, уравненията са еквивалентни. (В специални случаи еквивалентните уравнения може изобщо да нямат корени.)
Ако коренът на едно уравнение е и корен на друго, по-просто уравнение, получено от оригиналното чрез трансформации, то последното се нарича следствие от предишното уравнение.
Ако едно от двете уравнения е следствие от другото, тогава те се считат за еквивалентни. Те също се наричат еквивалентни. Примерът по-горе илюстрира това.
Решаването дори на най-простите уравнения на практика често е трудно. В резултат на решението можете да получите един корен на уравнението, два или повече, дори безкрайно число - зависи от вида на уравненията. Има и такива, които нямат корени, наричат се неразрешими.
Примери:
1) 15x -20=10; х=2. Това е единственият корен на уравнението.
2) 7x - y=0. Уравнението има безкраен брой корени, тъй като всяка променлива може да има безбройброй стойности.
3) x2=- 16. Число, повдигнато на втора степен, винаги дава положителен резултат, така че е невъзможно да се намери коренът на уравнението. Това е едно от нерешимите уравнения, споменати по-горе.
Правилността на решението се проверява чрез заместване на намерените корени вместо букви и решаване на получения пример. Ако идентичността е валидна, решението е правилно.
