Изследването на свойствата на газоагрегатното състояние на материята е една от важните области на съвременната физика. Разглеждайки газовете в микроскопичен мащаб, могат да се получат всички макроскопични параметри на системата. Тази статия ще разкрие важен въпрос от молекулярно-кинетичната теория на газовете: какво е Максуелското разпределение на молекулите по отношение на скоростите.
Историческа справка
Идеята за газа като система от микроскопични движещи се частици възниква в древна Гърция. Отне повече от 1700 години, за да го развие науката.
Основателят на съвременната молекулярно-кинетична теория (MKT) на газа е справедливо да разгледа Даниел Бернули. През 1738 г. той публикува труд, наречен "Хидродинамика". В него Бернули очертава идеите на MKT, които се използват и до днес. Така ученият вярвал, че газовете са съставени от частици, които се движат произволно във всички посоки. Множество сблъсъцичастиците със стени на съда се възприемат като наличие на налягане в газовете. Скоростите на частиците са тясно свързани с температурата на системата. Научната общност не прие смелите идеи на Бернули, защото законът за запазване на енергията все още не е установен.
Впоследствие много учени се заеха с изграждането на кинетичен модел на газове. Сред тях трябва да се отбележи Рудолф Клаузиус, който през 1857 г. създава прост модел на газ. В него ученият обърна специално внимание на наличието на транслационни, ротационни и вибрационни степени на свобода в молекулите.
През 1859 г., изучавайки работата на Клаузиус, Джеймс Максуел формулира така нареченото разпределение на Максуел върху молекулярните скорости. Всъщност Максуел потвърди идеите на MKT, подкрепяйки ги с математически апарат. Впоследствие Лудвиг Болцман (1871) обобщава изводите от разпределението на Максуел. Той постулира по-общо статистическо разпределение на молекулите по скорости и енергии. Понастоящем е известно като разпределението на Максуел-Болцман.
Идеален газ. Основни постулати на ILC
За да разберете какво представлява функцията за разпределение на Maxwell, трябва ясно да разберете системите, за които тази функция е приложима. Говорим за идеален газ. Във физиката това понятие се разбира като течно вещество, което се състои от практически безразмерни частици, които нямат потенциална енергия. Тези частици се движат с висока скорост, така че тяхното поведение се определя изцяло от кинетичната енергия. Освен това разстоянията между частиците са твърде големи зав сравнение с техните размери, така че последните се пренебрегват.
Идеалните газове са описани в MKT. Основните му постулати са както следва:
- газовите системи са съставени от огромен брой свободни частици;
- частиците се движат произволно с различни скорости в различни посоки по прави траектории;
- частиците се сблъскват еластично със стените на съда (вероятността частиците да се сблъскат една с друга е ниска поради малкия им размер);
- Температурата на системата се определя уникално от средната кинетична енергия на частиците, която се запазва във времето, ако в системата се установи термодинамично равновесие.
Законът за разпространение на Максуел
Ако човек има инструмент, с който е възможно да се измери скоростта на една газова молекула, тогава, след провеждане на подходящ експеримент, той ще бъде изненадан. Експериментът би показал, че всяка молекула от всяка газова система се движи с напълно произволна скорост. В този случай, в рамките на една система в топлинно равновесие с околната среда, ще бъдат открити както много бавни, така и много бързи молекули.
Законът на Максуел за разпределение на скоростта на газовите молекули е инструмент, който ви позволява да определите вероятността за откриване на частици с дадена скорост v в изследваната система. Съответната функция изглежда така:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
В този израз, m -маса на частица (молекула), k - константа на Болцман, T - абсолютна температура. По този начин, ако химическата природа на частиците (стойността на m) е известна, тогава функцията f(v) се определя еднозначно от абсолютната температура. Функцията f(v) се нарича плътност на вероятността. Ако вземем интеграла от него за някакво ограничение на скоростта (v; v+dv), тогава получаваме броя на частиците Ni, които имат скорости в посочения интервал. Съответно, ако вземем интеграла от плътността на вероятността f(v) за границите на скоростта от 0 до ∞, тогава получаваме общия брой молекули N в системата.
Графично представяне на плътността на вероятността f(v)
Функцията на плътността на вероятността има малко сложна математическа форма, така че не е лесно да се представи нейното поведение при дадена температура. Този проблем може да бъде решен, ако го изобразите на двуизмерна графика. Схематичен изглед на графиката на разпределението на Максуел е показан по-долу на фигурата.
Виждаме, че започва от нула, тъй като скоростта v на молекулите не може да има отрицателни стойности. Графиката завършва някъде в областта на високите скорости, плавно падайки до нула (f(∞)->0). Следната характеристика също е поразителна: гладката крива е асиметрична, намалява по-рязко при малки скорости.
Важна характеристика на поведението на функцията на плътността на вероятността f(v) е наличието на един изразен максимум върху нея. Според физическото значение на функцията този максимум съответства на най-вероятната стойност на скоростите на молекулите в газасистема.
Важни скорости за функцията f(v)
Функцията на плътността на вероятностите f(v) и нейното графично представяне ни позволяват да дефинираме три важни типа скорост.
Първият вид скорост, който е очевиден и който беше споменат по-горе, е най-вероятната скорост v1. На графиката стойността му съответства на максимума на функцията f(v). Именно тази скорост и близки до нея стойности ще имат повечето от частиците на системата. Не е трудно да се изчисли, за това е достатъчно да вземем първата производна по отношение на скоростта на функцията f(v) и да я приравним на нула. В резултат на тези математически операции получаваме крайния резултат:
v1=√(2RT/M).
Тук R е универсалната газова константа, M е моларната маса на молекулите.
Вторият вид скорост е нейната средна стойност за всички N частици. Нека го обозначим v2. Може да се изчисли чрез интегриране на функцията vf(v) по всички скорости. Резултатът от отбелязаното интегриране ще бъде следната формула:
v2=√(8RT/(piM)).
Тъй като съотношението е 8/pi>2, средната скорост винаги е малко по-висока от най-вероятната.
Всеки човек, който знае малко от физиката, разбира, че средната скорост v2 на молекулите трябва да е от голямо значение в газовата система. Това обаче е погрешно предположение. Много по-важна е RMS скоростта. Нека го обозначимv3.
Според дефиницията, средноквадратната скорост е сумата от квадратите на отделните скорости на всички частици, разделена на броя на тези частици и взета като корен квадратен. Може да се изчисли за разпределението на Максуел, ако дефинираме интеграла по всички скорости на функцията v2f(v). Формулата за средната квадратична скорост ще приеме формата:
v3=√(3RT/M).
Равенството показва, че тази скорост е по-голяма от v2 и v1 за всяка газова система.
По този начин всички разглеждани типове скорости на графиката на разпределението на Максуел лежат или на екстремума, или вдясно от него.
Важност на v3
Беше отбелязано по-горе, че средната квадратна скорост е по-важна за разбирането на физическите процеси и свойства на газова система, отколкото простата средна скорост v2. Това е вярно, тъй като кинетичната енергия на идеалния газ зависи точно от v3, а не от v2.
Ако разглеждаме едноатомен идеален газ, тогава за него е верен следният израз:
mv32/2=3/2kT.
Тук всяка част от уравнението представлява кинетичната енергия на една частица с маса m. Защо изразът съдържа точно стойността v3, а не средната скорост v2? Много просто: когато се определя кинетичната енергия на всяка частица, нейната индивидуална скорост v се квадратира, след което всички скоростисе добавят и разделят на броя на частиците N. Тоест самата процедура за определяне на кинетичната енергия води до стойността на средната квадратна скорост.
Зависимост на функция f(v) от температурата
Ние установихме по-горе, че плътността на вероятността на молекулярните скорости зависи уникално от температурата. Как ще се промени функцията, ако T се увеличи или намали? Таблицата по-долу ще ви помогне да отговорите на този въпрос.
Вижда се, че нагряването на затворената система води до размазване на пика и изместването му към по-високи скорости. Повишаването на температурата води до увеличаване на всички видове скорости и до намаляване на плътността на вероятността на всеки от тях. Пиковата стойност намалява поради запазването на броя на частиците N в затворена система.
След това ще решим няколко проблема, за да консолидираме получения теоретичен материал.
Проблем с азотните молекули във въздуха
Необходимо е да се изчислят скоростите v1, v2 и v3 за въздушен азот при температура 300 K (около 27 oC).
Моларната маса на азота N2 е 28 g/mol. Използвайки горните формули, получаваме:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Проблем с кислородния резервоар
Кислородът в цилиндъра беше с определена температура T1. След това балонът се поставя в по-студено помещение. Как ще се промени графиката за разпределение на скоростта на Максуел за молекулите на кислорода, когато системата стигне до термодинамично равновесие?
Спомняйки си теорията, можем да отговорим на въпроса за проблема по този начин: стойностите на всички видове скорости на молекулите ще намалеят, пикът на функцията f(v) ще се измести наляво, стават все по-тесни и по-високи.
