През 1900 г., един от най-великите учени на миналия век, Дейвид Хилбърт, състави списък с 23 нерешени задачи по математика. Работата върху тях имаше огромно влияние върху развитието на тази област на човешкото познание. 100 години по-късно Математическият институт на Клей представи списък от 7 проблема, известни като Проблеми на хилядолетието. На всеки от тях беше предложена награда от $1 милион.
Единственият проблем, който се появи и между двата списъка с пъзели, които преследват учените повече от един век, беше хипотезата на Риман. Тя все още чака своето решение.
Кратка биографична бележка
Георг Фридрих Бернхард Риман е роден през 1826 г. в Хановер, в голямо семейство на беден пастор, и е живял само 39 години. Той успява да публикува 10 произведения. Въпреки това, още приживе Риман е смятан за наследник на своя учител Йохан Гаус. На 25 години младият учен защитава дисертация „Основи на теорията на функциите на комплексна променлива“. По-късно той формулираизвестната му хипотеза.
Прости числа
Математиката се появи, когато човекът се научи да брои. В същото време възникват първите идеи за числата, които по-късно се опитват да класифицират. Наблюдавано е, че някои от тях имат общи свойства. По-специално, сред естествените числа, т.е. тези, които са били използвани при броене (номериране) или обозначаване на броя на обектите, се разграничава група, която се делят само на едно и сами по себе си. Те се наричат прости. Елегантно доказателство на теоремата за безкрайността на множеството от такива числа е дадено от Евклид в неговите Елементи. Към момента издирването им продължава. По-специално, най-големият вече известен брой е 274 207 281 – 1.
Формула на Ойлер
Заедно с концепцията за безкрайността на множеството от прости числа, Евклид определя и втората теорема за единственото възможно разлагане на прости фактори. Според него всяко положително цяло число е продукт само на един набор от прости числа. През 1737 г. великият немски математик Леонхард Ойлер изразява първата теорема за безкрайността на Евклид като формулата по-долу.
Тя се нарича зета функция, където s е константа и p приема всички прости стойности. Изявлението на Евклид за уникалността на разширението директно следва от него.
Зета функция на Риман
Формулата на Ойлер, при по-внимателно разглеждане, е напълноизненадващо, защото дефинира връзката между прости и цели числа. В крайна сметка, безкрайно много изрази, които зависят само от прости числа, се умножават от лявата му страна, а сборът, свързан с всички положителни числа, се намира отдясно.
Риман отиде по-далеч от Ойлер. За да намери ключа към проблема за разпределението на числата, той предложи да се дефинира формула както за реални, така и за комплексни променливи. Именно тя впоследствие получи името на дзета функцията на Риман. През 1859 г. ученият публикува статия, озаглавена „За броя на простите числа, които не надвишават дадена стойност“, където обобщава всичките си идеи.
Риман предложи да се използва серия на Ойлер, която се сближава за всеки реален s>1. Ако същата формула се използва за комплекс s, тогава редът ще се сближи за всяка стойност на тази променлива с реална част, по-голяма от 1. Риман приложи аналитичната процедура за продължаване, разширявайки дефиницията на зета(и) до всички комплексни числа, но "изхвърлен" уреда. Беше изключено, защото при s=1 дзета функцията нараства до безкрайност.
Практически смисъл
Възниква логичен въпрос: защо зета функцията, която е ключова в работата на Риман върху нулевата хипотеза, е интересна и важна? Както знаете, в момента не е идентифициран прост модел, който да описва разпределението на простите числа между естествените числа. Риман успя да открие, че броят pi(x) на прости числа, които не надвишават x, се изразява чрез разпределението на нетривиалните нули на дзета функцията. Освен това хипотезата на Риман енеобходимо условие за доказване на времеви оценки за работата на някои криптографски алгоритми.
Хипотеза на Риман
Една от първите формулировки на този математически проблем, която не е доказана и до днес, звучи така: нетривиалните 0 зета функции са комплексни числа с реална част, равна на ½. С други думи, те са разположени на правата Re s=½.
Има също обобщена хипотеза на Риман, която е същото твърдение, но за обобщения на дзета функции, които обикновено се наричат L-функции на Дирихле (вижте снимката по-долу).
Във формулата χ(n) - някакъв числов знак (модул k).
Римановото твърдение се счита за така наречената нулева хипотеза, тъй като е проверено за съгласуваност със съществуващите примерни данни.
Както Риман твърди
Забележката на немския математик първоначално беше формулирана доста небрежно. Факт е, че по това време ученият щеше да докаже теоремата за разпределението на простите числа и в този контекст тази хипотеза нямаше особено значение. Ролята му при решаването на много други проблеми обаче е огромна. Ето защо предположението на Риман сега е признато от много учени като най-важното от недоказаните математически проблеми.
Както вече споменахме, пълната хипотеза на Риман не е необходима за доказване на теоремата за разпределението и е достатъчно да се обоснове логически, че реалната част от всяка нетривиална нула на дзета функцията е вмежду 0 и 1. От това свойство следва, че сумата за всички 0 на зета функцията, която се появява в точната формула по-горе, е крайна константа. При големи стойности на x може да се загуби напълно. Единственият член на формулата, който остава същият дори за много голямо x, е самият x. Останалите комплексни членове изчезват асимптотично в сравнение с него. Така претеглената сума клони към x. Това обстоятелство може да се счита за потвърждение на истинността на теоремата за разпределението на простите числа. Така нулите на дзета функцията на Риман имат специална роля. Състои се в доказване, че такива стойности не могат да имат значителен принос към формулата за разлагане.
Последователи на Риман
Трагичната смърт от туберкулоза не позволи на този учен да доведе програмата си до логичния й край. От него обаче пое Ш-Ж. де ла Вале Пусен и Жак Адамар. Независимо един от друг, те извеждат теорема за разпределението на простите числа. Адамар и Пусен успяха да докажат, че всички нетривиални 0 зета функции са в рамките на критичната лента.
Благодарение на работата на тези учени се появи ново направление в математиката - аналитичната теория на числата. По-късно други изследователи са получили няколко по-примитивни доказателства на теоремата, върху която работи Риман. По-специално, Пал Ердош и Атле Селберг дори откриха много сложна логическа верига, която го потвърждава, което не изисква използването на сложен анализ. Въпреки това, до този момент, няколко важнитеореми, включително приближения на много функции от теорията на числата. В това отношение новата работа на Ердош и Атле Селберг на практика не повлия на нищо.
Едно от най-простите и красиви доказателства за проблема е намерено през 1980 г. от Доналд Нюман. Тя се основава на известната теорема на Коши.
Римановата хипотеза заплашва ли основите на съвременната криптография
Криптирането на данни възниква заедно с появата на йероглифи, по-точно самите те могат да се считат за първите кодове. В момента има цяла област на цифровата криптография, която разработва алгоритми за криптиране.
Прости и "полупрости" числа, т.е. тези, които се делят само на 2 други числа от същия клас, формират основата на системата с публичен ключ, известна като RSA. Има най-широко приложение. По-специално, той се използва при генериране на електронен подпис. Говорейки с термини, достъпни за манекени, хипотезата на Риман твърди съществуването на система в разпределението на прости числа. Така силата на криптографските ключове, от които зависи сигурността на онлайн транзакциите в областта на електронната търговия, е значително намалена.
Други неразрешени математически проблеми
Заслужава си да завършите статията, като посветите няколко думи на други цели на хилядолетието. Те включват:
- Равенство на класове P и NP. Проблемът е формулиран по следния начин: ако положителен отговор на конкретен въпрос се провери за полиномно време, тогава вярно ли е, че самият отговор на този въпросможе да се намери бързо?
- Предположението на Ходж. С прости думи, може да се формулира по следния начин: за някои видове проективни алгебрични многообразия (пространства), циклите на Ходж са комбинации от обекти, които имат геометрична интерпретация, т.е. алгебрични цикли.
- Предположението на Поанкаре. Това е единственото предизвикателство на хилядолетието, което е доказано досега. Според него всеки 3-измерен обект, който има специфичните свойства на 3-измерна сфера, трябва да бъде сфера, до деформация.
- Утвърждаване на квантовата теория на Ян - Милс. Необходимо е да се докаже, че квантовата теория, изложена от тези учени за пространството R 4 съществува и има 0-ти масов дефект за всяка проста компактна габаритна група G.
- Хипотезата на Бърч-Суинъртън-Дайър. Това е друг проблем, свързан с криптографията. Докосва елиптични криви.
- Проблемът за съществуването и гладкостта на решенията на уравненията на Навие-Стокс.
Сега знаете хипотезата на Риман. С прости думи формулирахме някои от другите предизвикателства на хилядолетието. Това, че ще бъдат решени или ще се докаже, че нямат решение, е въпрос на време. Освен това е малко вероятно това да се наложи да чака твърде дълго, тъй като математиката все повече използва изчислителните възможности на компютрите. Не всичко обаче е подчинено на технологиите и на първо място са необходими интуиция и креативност за решаване на научни проблеми.
