Хората са свикнали да приемат очевидното за даденост. Поради това те често изпадат в неприятности, преценяват погрешно ситуацията, доверяват се на интуицията си и не отделят време да обмислят критично своя избор и последствията от него.
Какъв е парадоксът на Монти Хол? Това е ясна илюстрация за неспособността на човек да прецени шансовете си за успех в лицето на избора на благоприятен изход при наличието на повече от един неблагоприятен.
Формулиране на парадокса на Монти Хол
И така, какво животно е това? За какво точно говорим? Най-известният пример за парадокса на Монти Хол е телевизионното шоу, популярно в Америка в средата на миналия век, наречено Let's Make a Bet! Между другото, благодарение на водещия на този тест парадоксът на Монти Хол по-късно получи името си.
Играта се състоеше от следното: на участника бяха показани три врати, които изглеждаха абсолютно еднакви. Зад една от тях обаче скъпа нова кола чакаше играча, но зад другите две коза нетърпеливо мърдаше. Както обикновено се случва при викторините, това, което беше зад вратата, избрана от състезателя, става неговопечеливш.
Какъв е трикът?
Но не всичко е толкова просто. След като изборът беше направен, домакинът, знаейки къде е скрита главната награда, отвори една от останалите две врати (разбира се, тази, зад която се криеше артиодактилът), след което попита играча дали иска да промени решението си.
Парадоксът на Монти Хол, формулиран от учени през 1990 г., е, че противно на интуицията, че няма разлика при вземането на водещо решение въз основа на въпрос, човек трябва да се съгласи да промени своя избор. Ако искате да получите страхотна кола, разбира се.
Как работи?
Има няколко причини хората да не искат да се откажат от избора си. Интуицията и простата (но неправилна) логика казват, че нищо не зависи от това решение. Още повече, че не всеки иска да последва примера на друг – това е истинска манипулация, нали? Не, не така. Но ако всичко беше веднага интуитивно ясно, тогава те дори нямаше да го нарекат парадокс. Няма нищо странно в това да имаш съмнения. Когато този пъзел беше публикуван за първи път в едно от големите списания, хиляди читатели, включително признати математици, изпратиха писма до редактора, в които твърдяха, че отговорът, отпечатан в броя, не е верен. Ако съществуването на теорията на вероятността не беше новина за човек, който влезе в шоуто, тогава може би той щеше да успее да реши този проблем. И по този начин да увеличи шансоветепечеля. Всъщност обяснението на парадокса на Монти Хол се свежда до проста математика.
Обяснение първо, по-сложно
Вероятността наградата да е зад първоначално избраната врата е едно към три. Шансът да го намерите зад един от останалите два е два от три. Логично, нали? Сега, след като една от тези врати е отворена и зад нея се намери коза, във втория комплект остава само една опция (тази, която отговаря на 2/3 шанс за успех). Стойността на тази опция остава същата и е равна на две от три. Така става очевидно, че като промени решението си, играчът ще удвои вероятността за победа.
Обяснение номер две, по-просто
След подобна интерпретация на решението мнозина все още настояват, че няма смисъл от този избор, защото има само две опции и едната от тях определено е печеливша, а другата определено води до поражение.
Но теорията на вероятностите има свой собствен поглед върху този проблем. И това става още по-ясно, ако си представим, че първоначално имаше не три врати, а, да речем, сто. В този случай шансът да познаете къде е наградата от първия път е само един на деветдесет и девет. Сега състезателят прави своя избор и Монти елиминира деветдесет и осем кози врати, оставяйки само две, една от които играчът е избрал. Така избраната опция първоначално запазва шансовете за печалба равна на 1/100, а втората предложена опция е 99/100. Изборът трябва да е очевиден.
Има ли опровержения?
Отговорът е прост: не. НикойНяма обосновано опровержение на парадокса на Монти Хол. Всички „откровения“, които могат да бъдат намерени в мрежата, се свеждат до неразбиране на принципите на математиката и логиката.
За всеки, който е запознат с математическите принципи, неслучайността на вероятностите е абсолютно очевидна. Само тези, които не разбират как работи логиката, могат да не са съгласни с тях. Ако всичко по-горе звучи все още неубедително - обосновката за парадокса беше тествана и потвърдена в известната програма MythBusters и на кого друг да вярваме, ако не на тях?
Способността да виждате ясно
Добре, нека всички звучим убедително. Но това е само теория, възможно ли е по някакъв начин да се погледне работата на този принцип в действие, а не само с думи? Първо, никой не отменя живите хора. Намерете партньор, който ще поеме ролята на лидер и ще ви помогне да изиграете горния алгоритъм в реалността. За удобство можете да вземете кутии, кутии или дори да рисувате на хартия. След като повторите процеса няколко десетки пъти, сравнете броя на печалбите в случай на промяна на първоначалния избор с това колко победи донесоха упоритост и всичко ще стане ясно. И можете да направите още по-лесно и да използвате Интернет. В мрежата има много симулатори на парадокса на Монти Хол, в които можете да проверите всичко сами и без излишни подпори.
Каква е ползата от това знание?
Може да изглежда като поредната дразнеща мозъка пъзел игра, която служи само за развлекателни цели. Въпреки това, практическото му приложениеПарадоксът на Монти Хол се намира предимно в хазарта и различните лотарии. Тези, които имат богат опит, са добре запознати с общите стратегии за увеличаване на шансовете за намиране на стойностен залог (от английската дума value, която буквално означава "стойност" - такава прогноза, която ще се сбъдне с по-голяма вероятност, отколкото букмейкърите оценяват). И една такава стратегия директно ангажира парадокса на Монти Хол.
Пример за работа с тотализатор
Един спортен пример ще се различава малко от класическия. Да кажем, че има три отбора от първа дивизия. В следващите три дни всеки от тези отбори трябва да изиграе по един решаващ мач. Този, който набере повече точки в края на мача от другите две, ще остане в първа дивизия, а останалите ще бъдат принудени да я напуснат. Офертата на букмейкъра е проста: трябва да заложите на запазване на позициите на един от тези футболни клубове, като коефициентите на залозите са равни.
За удобство се приемат условия, при които съперниците на участващите в селекцията клубове са приблизително равни по сила. По този начин няма да е възможно еднозначно да се определи фаворит преди началото на игрите.
Тук трябва да запомните историята за козите и колата. Всеки отбор има шанс да остане на мястото си в един случай от три. Избира се всеки от тях, на него се прави залог. Нека бъде "Балтика". Според резултатите от първия ден един от клубовете губи, а двама тепърва ще играят. Това е същата "Балтика" и, да речем, "Шинник".
Мнозинството ще запази първоначалния си залог - Балтика ще остане в първа дивизия. Но трябва да се помни, че шансовете й останаха същите, но шансовете на „Шинник“се удвоиха. Затова е логично да направите още един, по-голям залог за победата на „Шинник“.
Идва следващият ден и мачът с Балтика е равен. Следващият играе „Шинник“, а играта му завършва с победа с 3:0. Оказва се, че той ще остане в първа дивизия. Следователно, въпреки че първият залог на B altika е загубен, тази загуба се покрива от печалбата от новия залог на Shinnik.
Може да се предположи и повечето ще го направят, че победата на “Шинник” е просто случайност. Всъщност приемането на вероятността за случайност е най-голямата грешка за човек, участващ в спортни лотарии. В крайна сметка професионалистът винаги ще каже, че всяка вероятност се изразява предимно в ясни математически модели. Ако знаете основите на този подход и всички нюанси, свързани с него, тогава рисковете от загуба на пари ще бъдат сведени до минимум.
Полезно при прогнозиране на икономически процеси
И така, в спортните залагания парадоксът на Монти Хол е просто необходимо да се знае. Но обхватът на неговото приложение не се ограничава до една лотария. Теорията на вероятностите винаги е тясно свързана със статистиката, поради което разбирането на принципите на парадокса е не по-малко важно в политиката и икономиката.
В лицето на икономическата несигурност, с която анализаторите често се справят, човек трябва да помни следното, произтичащо отзаключение за решаване на проблеми: не е необходимо да се знае точно единственото правилно решение. Шансовете за успешна прогноза винаги се увеличават, ако знаете какво точно няма да се случи. Всъщност това е най-полезният извод от парадокса на Монти Хол.
Когато светът е на ръба на икономически сътресения, политиците винаги се опитват да отгатнат правилния курс на действие, за да намалят до минимум последствията от кризата. Връщайки се към предишните примери, в областта на икономиката задачата може да се опише по следния начин: пред лидерите на страните има три врати. Едното води до хиперинфлация, второто до дефлация, а третото до желания умерен растеж на икономиката. Но как намирате правилния отговор?
Политиците твърдят, че по един или друг начин те ще доведат до повече работни места и растеж на икономиката. Но водещи икономисти, опитни хора, включително дори носители на Нобелова награда, ясно им демонстрират, че една от тези опции определено няма да доведе до желания резултат. Ще променят ли политиците избора си след това? Малко вероятно е, тъй като в това отношение те не се различават много от същите участници в телевизионното шоу. Следователно, вероятността от грешка само ще нараства с увеличаването на броя на съветниците.
Това изчерпва ли информацията по темата?
Всъщност досега тук е разглеждана само "класическата" версия на парадокса, тоест ситуацията, в която водещият знае точно зад коя врата е наградата и отваря само вратата с козата. Но има и други механизми на поведение на лидера, в зависимост от които ще бъде принципът на алгоритъма и резултатът от неговото изпълнениебъди различен.
Влиянието на поведението на лидера върху парадокса
И какво може да направи домакинът, за да промени хода на събитията? Нека разрешим различни опции.
Така нареченият "Devil Monty" е ситуация, в която домакинът винаги ще предлага на играча да промени избора си, при условие че първоначално е бил прав. В този случай промяната на решението винаги ще доведе до поражение.
Напротив, "Angelic Monty" е подобен принцип на поведение, но в случай, че изборът на играча първоначално е бил неправилен. Логично е, че в такава ситуация промяната на решението ще доведе до победа.
Ако домакинът отвори вратите на случаен принцип, без да има представа какво се крие зад всяка от тях, тогава шансовете за победа винаги ще бъдат равни на петдесет процента. В този случай колата може да бъде и зад отворената водеща врата.
Домакинът може 100% да отвори вратата с коза, ако играчът е избрал кола, и с 50% шанс, ако играчът е избрал коза. С този алгоритъм на действия, ако играчът промени избора, той винаги ще спечели в един случай от два.
Когато играта се повтаря отново и отново и вероятността определена врата да бъде победител винаги е произволна (както и коя врата отваря домакинът, докато той знае къде се крие колата, и той винаги отваря вратата с коза и предлага да промените избора) - шансът за победа винаги ще бъде равен на едно на три. Това се нарича равновесие на Неш.
Както и в същия случай, но при условие, че водещият не е длъжен да отваряедна от вратите изобщо - вероятността за печалба пак ще бъде 1/3.
Докато класическата схема е сравнително лесна за тестване, експериментите с други възможни алгоритми за поведение на лидера са много по-трудни за изпълнение на практика. Но с дължимата педантичност на експериментатора, това също е възможно.
И все пак, какъв е смисълът на всичко това?
Разбирането на механизмите на действие на всякакви логически парадокси е много полезно за човек, неговия мозък и разбирането как всъщност може да работи светът, доколко неговата структура може да се различава от обичайната представа на индивида за него.
Колкото повече човек знае как работят нещата около него в ежедневието и за какво изобщо не е свикнал да мисли, толкова по-добре работи съзнанието му и толкова по-ефективен може да бъде в своите действия и стремежи.
