В много области на ежедневния живот геометрията помага на хората да отговарят на важни въпроси и да решават житейски проблеми. Преди поне 4 хиляди години това знание вече е било използвано, например, в древен Египет за управление на земята. И днес много професии, от модни дизайнери до архитекти, се нуждаят от основни познания по геометрия, за да знаят как да изчислят площта.
Повърхност на тялото и неговата площ
Това е мярка за това колко пространство има вътре в плоска форма. Най-общо, площта на повърхността е сумата от всички области на геометрични форми, покриващи повърхността на обект. Изчисляването на повърхността на тялото често се изисква в ежедневието, например, за да разберете колко боя трябва да закупите, за да покриете стена, или шисти за ремонт на покрива на къща.
Хората отдавна са се научили да определят площта на плоските геометрични фигури, използвайки метода на мрежата. Състои се във факта, че мащабирана мрежа от най-проститеквадрати, например, 1x1 см. След това можете лесно да изчислите квадратната площ, като преброите броя на квадратите на мрежата във формата. В този случай всеки квадрат от мрежата е 1 см широк и 1 см висок, а площта на този квадрат на мрежата е един квадратен сантиметър.
Използването на мрежа за броене на квадрати във форма е много прост начин за определяне на площ, но не може да се използва за определяне на площта на сложни форми. Площта на такива сложни обекти може да се изчисли с помощта на прости математически формули. Най-простите и най-използваните изчисления в живота са площите на квадратите и правоъгълниците и трябва да знаете как да изчислявате площта в метри.
Често действителните изчисления могат да бъдат по-сложни. Например, типичен етажен план за стая може да не е обикновен правоъгълник или квадрат. В този случай, преди да изчислите общата площ, трябва да разделите измерената сложна повърхност на няколко прости геометрични фигури.
Просто изчисление на правоъгълник
Ако се огледате внимателно, можете да видите много примери за правоъгълници. По дефиниция правоъгълникът е четиристранен многоъгълник, чиито ъгли са под прав ъгъл от 90 градуса. Изчисляването на повърхността на тялото на правоъгълник е проста математическа операция, която най-често се използва от човек в ежедневието. Защо е важно да знаете формулата на площта? Има много предмети и среди около човекправоъгълна форма: къща, стени, под, покрив. И много често трябва да знаете района им за строителство или ремонт.
Ако правоъгълник има дължина b и ширина h, можем да намерим площта S, като умножим ширината по дължината му. Следователно: S=bxh.
Пример. Как да изчислим площта на правоъгълник, ако страната и ширината са известни, например дължината е 4 см, а ширината е 3 см, тогава: S=4x3=12.
Отговор: 12 см2.
Квадратът е вид правоъгълник с равни ъгли и страни.
S=bxb=b2.
Пример. Ако квадратът има страни от 3 cm, можем да намерим S, като квадратуваме стойността на страната. Следователно имаме: S=3х3=9.
Отговор: 9 см2.
Формули на паралелограм
Паралелограмът е четиристранен многоъгълник с две двойки успоредни страни с еднаква дължина. По дефиниция правоъгълникът също е вид паралелограм, но с равни ъгли. Площта на успоредник се изчислява по същия начин, както за правоъгълник (височина × ширина), но е важно да се разбере, че височината не означава дължината на вертикалните страни, а разстоянието между страните.
От фигурата се вижда, че височината е разстоянието между две успоредни страни на паралелограма, разположени под прав ъгъл между тях. S=ADxh. S=bxh, където AD=b - основа, h - височина.
Пример. Ако успоредникът има основа 3 cm и височина 2 cm, тогава площта S е равна на произведението на основата и височината. Следователно имаме: S=3х2=6.
Отговор: 6 см2.
трапецовидна основа
Нека помислим как правилно да изчислим площта на трапец. Трапецът е четиристранен многоъгълник с една двойка успоредни страни. Ако две неуспоредни страни са с еднаква дължина, формата се нарича равнобедрен или правилен трапец. Ако неуспоредните страни имат различни дължини, се наричат неравнобедрени. Въпреки това, въпреки тази допълнителна сложност в дефиницията, площта на неправилен трапец може да се изчисли с помощта на проста формула.
Измервания за изчисляване на площта на трапец:
- Подравнете правия ръб на транспортира по по-късата от двете успоредни страни.
- Използвайте транспортир, за да начертаете линия, перпендикулярна от основата на трапеца чак до противоположната успоредна страна.
- Измерете разстоянието на височина с линийка.
- Измерете дължината на по-късата успоредна страна.
- Измерете дължината на по-дългата успоредна страна.
- За да намерите площта на трапец, първо трябва да изчислите средната стойност на двете му успоредни страни: (a+b)/2.
- Площта на равнобедрен (или какъвто и да е) трапец е равна на произведението на средната дължина на основата и върха на височината.
- Площ на трапец: S=1/2×h×(a + b).
Забележете, че височината на трапец винаги е перпендикулярна на основата, точно като височината на успоредник. Пример: a=3cm, b=5cm, h=4cm. S=4x(3+5)/2=16.
Отговор: 16 см2.
Видове триъгълници
Триъгълникът е многоъгълник, който има три страни и може да бъде класифициран в следните типове:
- Равностранният триъгълник има равни страни и равни ъгли.
- Равнобедрен триъгълник има две равни страни и два равни ъгъла.
- Скален триъгълник има три неравни страни и три неравни ъгъла.
- Правоъгълният триъгълник има един прав ъгъл от 90 градуса.
- Остър триъгълник има всички ъгли под 90 градуса.
- Тъп триъгълник има един ъгъл, по-голям от 90 градуса.
Площта на всеки триъгълник се определя от формули.
1. Как да изчислим площта на триъгълник, ако знаете височината и основата на триъгълника:
- S=1⁄2×a×h, където: h е височината, a е основата.
- S=1⁄2xa×b×sinα, където: a, b са произволни две страни, α е ъгълът между тях.
- S=p×r, където: p=(a+b+c) / 2 - полупериметър, a, b, c - три страни, r - радиус на окръжността.
Площ на равностранен триъгълник:
S=a2х√3 ⁄4, където a=b=c.
Площ на равнобедрен триъгълник:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Как да изчислим площта на триъгълник с дадени две страни и ъгъла между тях:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
Пример 1: Намерете S на триъгълник, чиято страна е 14 см, а височината е 10 см.
Решение: b=14 cm, h=10 cm,A=1⁄2х14х10=70
Отговор: 70 см2.
Пример 2. Намерете площта на триъгълник, чиито страни и ъгълът между тях са дадени, както следва: a=5 cm и b=7 cm, C=45 градуса.
Решение: Площ на триъгълник=1⁄2xaxbxsin 45.
Площ=1⁄2×5×7×0,707 (тъй като sin45=0,707)
Площ=1⁄2×24, 745=12, 3725
Отговор: 12, 3725 см2.
Пример 3. Намерете площта (в m2) на равнобедрен триъгълник, чиито страни са 10 m, а основата е 12 m.
Решение: Площта на равнобедрен триъгълник се определя от:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)А=48
Отговор: 48 m2.
Пример 4. Намерете площта на триъгълник, чиито страни са съответно 8, 9 и 11. Всички единици са в метри (m).
Решение: Страни a=8, b=9 и c=11. Според формулата на Херон площта на триъгълник може да се определи по следната формула: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Първо, трябва да дефинираме s, което е полупериметърът на триъгълника: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Сега, като вмъкнем стойността на полупериметъра във формулата на Херон, можем да определим площта на триъгълника: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Отговор: 35, 50 m2.
Измерване на площта на ромб
Ромбът е специален вид паралелограм с равни страни и равнипротивоположни ъгли. Площта на ромб може да се определи по три метода.
1. Метод за височина на основата. Първо изберете която и да е една страна като основа, тъй като те са с еднаква дължина. След това определете височината - перпендикулярното разстояние от избраната основа до противоположната страна.
Площта е произведението на тези две количества и се определя по формулата: S=a×h, където: S е площта на ромба, h е височината на ромба, AB=BC=AD=DC=a е страната на ромба
2. диагонален метод. Друга проста формула за площта на ромб, когато са известни дължините на диагоналите. Площта е половината от произведението на диагоналите.
Като формула: S=1/2xACxBD, където: S е площта на ромба, AC е по-големият диагонал, BD е по-малкият диагонал
3. Използване на тригонометрия. В тригонометрията има удобна формула, когато дължината на страната и всеки ъгъл са известни:
S=a2×sin α, където: S е площта на ромба, B=BC=AD=DC=a е страната на ромба, α е остър ъгъл, β е тъп ъгъл
Кръгова повърхност
Кръгът е форма, състояща се от затворена извита линия. Всяка част от линията е на същото разстояние от центъра на областта, наречена радиус. От древни времена е известно как да се изчисли площта на кръг, даден радиус. Площта на кръг се изчислява по формулата S=πxr2, където: S е площта на кръг, π - pi (3,1415), r - радиус на окръжността.
За да намерите площта на кръг, направете следното. Запишете дадения радиус или величина на диаметъра като r или dсъответно. Как да изчислим площта на кръг, като се има предвид диаметърът? Изобщо не е трудно, трябва да изчислите радиуса, като разделите диаметъра на 2 и умножите данните с помощта на калкулатор или ръчно. Вашият отговор ще бъде в квадратни единици.
Проблем: Намерете площта на окръжност с радиус 10 cm.
Решение: Имаме радиус на окръжността=10 см. Площта на окръжността=3, 1416×10×10=314, 16.
Отговор: 314, 16 см2.
Намерете площта на кръг с диаметър 15 см.
Решение: Имаме диаметър на окръжност=15 см. Радиус=15/2=7,5 см. Площ на кръг=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (закръглете до 2 знака след запетая).
Отговор: 176,63 см2.
Прости геометрични форми на покриви
Преди да извършите покривни работи, трябва да знаете как да изчислите площта на покрива, за да определите колко материал е необходим. Неговото количество винаги трябва да се взема с марж и да се добавя поне 10 процента от общата площ на покрива, за да се отчетат строителните отпадъци.
Преди изчислението схемата на покрива е разделена на прости геометрични фигури, в нашия пример това са два трапеца и два триъгълника. Как да изчислим площта на покрива за трапецовидни елементи? Площта се изчислява по следната формула: S=(a+b)xh/2, където: a - ширина на долния надвес - 10 m, b - ширина по билото - 7 m, h - височина - 5 m.
За триъгълни елементи се прилага формулата: S=axh/2, където: a - ширина на наклона по долния надвес - 7 m, h - височина на наклона - 3 m.
Поръчка за измерване:
- Измерете дължината, ширината ивисочината на всяка геометрична форма на покрива, включително вятърни прозорци. Тази информация може да е налична в първоначалния план на сградата на дома или ако повърхността на покрива е сравнително ниска и плоска, можете да я измерите сами. Ако собственикът на къщата не може безопасно да се изкачи на покрива, изчислението може да се направи според външните измервания на сградата.
- Умножете дължината и ширината на всяка триъгълна или трапецовидна равнина поотделно.
- Изчислете площта за симетрични триъгълни равнини, като умножите дължината на основата на триъгълника (най-дългата страна) по неговата височина (разстоянието от средата на най-дългата страна до противоположния ъгъл).
- След това разделете на 2, за да получите резултата в квадратни метри. S=axh/2=7х3/2=10,5 m2.
- Изчислете площта на трапеца, като умножите ширината на долния надвес плюс ширината на билото по неговата височина (разстоянието от средата на най-дългата страна до противоположния ъгъл).
- След това разделете общата сума на 2, за да получите резултата в квадратни метри.
- Умножете площта по 0,1, за да получите 10% надбавка за запасите от покривен материал S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5m2.
- Добавете областите на всички форми заедно. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106m2.
- Резултатът е обща площ на покрива от 106 m2, с марж от 116 m2.
Инструментални измервания у дома
За да измерите площта на една къща, ще ви трябват инструменти, за да направите много точни изчисления, които могат да формират основатаза извършване на ремонт, покупко-продажба или застраховка на къщата. Преди да изчислите площта, трябва да вземете рулетка, молив и тетрадка, върху която да нарисувате най-простата диаграма на план на къща. Може да се вземе от паспорта на разработчика или други документи по проекта. С последния източник трябва да бъдете внимателни, посочените цифри може да не винаги са точни, например някои ремонти може да не бъдат взети предвид в тях. Следователно би било по-правилно да измерите площта сами.
Как да изчислим площта на къщата ръчно? Ако трябва да измерите площта на пода ръчно, най-добре е да измерите външните стени, като не забравяте различните вдлъбнатини на сградите, помощните помещения, горните етажи, отделните сгради или гаражите. Когато се правят прости основни измервания, площта се изчислява чрез умножаване на дължината на къщата по ширината.
В зависимост от формата на строителния план може да се наложи да го разбиете на прости геометрични форми. В този пример къщата е с размери 9 метра на 12 метра, което ни дава 108 квадратни метра. Гаражът е 6 метра на 3 метра, което е 18 квадратни метра, общата площ е 126 квадратни метра.
Измервания на пода преди ремонт
Как да изчислим площта на пода преди извършване на ремонт, като смяна на линолеум или боядисване? За квадратна или правоъгълна стая първо трябва да измерите дължината и ширината на стаята. След това умножете дължината и ширината, получаваме дължина x ширина=площ. По този начин, ако една стая е широка 3 метра и дълга 5 метра, общата площще бъде 15 квадратни метра.
Това измерване може да се използва за изчисляване на необходимото количество разтвор за плочки, уплътнител, линолеум, който собственикът планира да използва за своя проект. За да изчислите площта за бране на материали, обикновено трябва да добавите 10% коефициент на безопасност: просто умножете площта по 1, 1 и след това закръглете до цяло число.
В примера, където общата площ е 15m2, ще трябва да поръчате допълнителни плочки и хоросан за 16,5 квадратни метра. Ако стаята не е правоъгълна, трябва да я разделите на две или повече елементарни геометрични фигури, за да изчислите общата площ.
Калкулатор за неправилна форма
Много често измерваното пространство има много сложна форма, която не винаги може да бъде разбита на прости елементи.
За лесно определяне на такава област трябва да използвате интернет приложението SketchAndCalc. Това е калкулатор на площ за неправилни форми за всяка форма на изображение. Това е единственият калкулатор на площ, способен да изчислява от качени изображения, той има уникална функция, която позволява на потребителя да зададе мащаба на чертежа на всяко изображение, преди да начертае периметъра. Така ъглите или кривите на неправилна фигура се изчисляват лесно.
Просто казано, ако има изображение за качване или адрес на карта за търсене, можете да изчислите площта на неправилна форма, без значение колко сложна е тя, просто като начертаетепериметър на зоната. Калкулаторът може дори да сумира множество изчисления на площ заедно чрез рисуване на слоеве. След като изчислите първата площ, можете да добавите нов чертожен слой, който ви позволява да извършвате неограничен брой изчисления на площи.
Резултатите от калкулатора на площта се показват в инчове и метри, увеличавайки неговата полезност и елиминирайки необходимостта от преобразуване. Това, заедно с прецизните инструменти за рисуване и мащабиране, гарантира, че площите на всяка неправилна форма се изчисляват точно. Може също да поставя правилни многоъгълни форми с фиксирани ъгли и прецизни линии.
Инструментът за ограничени шаблони се захваща към общите ъгли и линията с дължина може да се редактира ръчно с помощта на клавиатурата. Приложението е полезно, ако площта за измерване има права страна или дължина. Друга уникална характеристика на SketchAndCalc TM е, че има усъвършенстван инструмент за рисуване на криви за неправилни форми. Някои приложения за калкулатор на площ ви позволяват да търсите по карта.
SketchAndCalc прави това много точно, използвайки търсене на дължина и ширина. Независимо дали измерваната площ е на земеделска земя или в морето, потребителят ще прекара по-малко време в търсене и повече време за изчисляване на площта. Това е универсална помощна програма, използвана в много индустрии, в строителството, градинарството. Използва се и от ентусиасти за подобряване на дома и местността. Пейзаж калкулатор или калкулатор на земя също е намереннеговите потребители сред геодезистите. Сега те знаят как да изчисляват площта на парцел бързо и лесно.
В допълнение към тези общи приложения, много хора, работещи в областта на образованието, медицината, науката и научните изследвания, трябва да изчислят площта на неправилни форми, като клетъчни мембрани или други обекти, открити в биологията, и да се радват да използват това приложение.
За да приложите математиката в ежедневието, не е достатъчно да можете да преброите едно плюс едно. Съществен аспект на околната среда са геометричните структури, тоест представянето на ежедневни предмети в правоъгълна, квадратна, кръгла или триъгълна форма. И трябва да можете да изчислите необходимата площ.
В допълнение, геометричните форми се използват и при изграждането на диаграми, диаграми, презентации. Ето защо е толкова важно да можете да правите различни изчисления, включително изчисляване на площта.
