Теорията на вероятностите работи със случайни променливи. За случайни променливи има така наречените закони за разпределение. Такъв закон описва своята случайна променлива с абсолютна пълнота. Въпреки това, когато се работи с реални набори от случайни променливи, често е много трудно веднага да се установи законът за тяхното разпределение и се ограничават до определен набор от числови характеристики. Например, изчисляването на средната стойност и дисперсията на произволна променлива често е много полезно.
Защо е необходимо
Ако същността на математическото очакване е близка до средната стойност на количеството, тогава в този случай дисперсията показва как стойностите на нашето количество са разпръснати около това математическо очакване. Например, ако измерим коефициента на интелигентност на група хора и искаме да разгледаме резултатите от измерването (извадка), математическото очакване ще покаже приблизителната средна стойност на коефициента на интелигентност за тази група хора, а ако изчислим дисперсията на извадката, ще разберем как резултатите са групирани около математическото очакване: куп близо до него (малка вариация в IQ) или по-равномерно в целия диапазон от минимален до максимален резултат (голяма вариация и някъде по средата - математическо очакване).
За да изчислите дисперсията, имате нужда от нова характеристика на произволна променлива - отклонението на стойността от математическатачакам.
Отклонение
За да разберете как да изчислите дисперсията, първо трябва да разберете отклонението. Неговата дефиниция е разликата между стойността, която приема произволна променлива, и нейното математическо очакване. Грубо казано, за да разберете как една стойност се „разпръсква“, трябва да погледнете как се разпределя нейното отклонение. Тоест заменяме стойността на стойността със стойността на нейното отклонение от подложката. очакванията и проучете неговия закон за разпространение.
Законът за разпределение на дискретна, тоест случайна променлива, която приема отделни стойности, се записва под формата на таблица, където стойността на стойността е свързана с вероятността за нейното възникване. След това, в закона за разпределение на отклонението, случайната променлива ще бъде заменена от нейната формула, в която има стойност (която е запазила своята вероятност) и собствена мат. чакам.
Свойства на закона за разпределение на отклонението на произволна променлива
Записахме закона за разпределението за отклонението на произволна променлива. От него засега можем да извлечем само такава характеристика като математическото очакване. За удобство е по-добре да вземете числов пример.
Нека има закон за разпределение на някаква случайна променлива: X - стойност, p - вероятност.
Изчисляваме математическото очакване, използвайки формулата и веднага отклонението.
Начертаване на нова таблица за разпределение на отклоненията.
Изчисляваме очакванията и тук.
Оказва се нула. Има само един пример, но винаги ще бъде така: не е трудно да се докаже това в общия случай. Формулата за математическото очакване на отклонението може да бъде разложена на разликата между математическите очаквания на произволна променлива и, колкото и криво да звучи, математическото очакване на мат. очаквания (рекурсия обаче), които са еднакви, следователно разликата им ще бъде нула.
Това се очаква: в края на краищата отклоненията в знака могат да бъдат както положителни, така и отрицателни, следователно средно трябва да дават нула.
Как да изчислим дисперсията на отделен случай. количества
Ако мат. безсмислено е да се изчислява очакваното отклонение, трябва да се търси нещо друго. Можете просто да вземете абсолютните стойности на отклоненията (модуло); но с модулите всичко не е толкова просто, така че отклоненията се квадратират и след това се изчислява тяхното математическо очакване. Всъщност това се има предвид, когато говорят за това как да се изчисли дисперсията.
Тоест вземаме отклоненията, квадратираме ги и правим таблица с квадратни отклонения и вероятности, които съответстват на произволни променливи. Това е нов закон за дистрибуцията. За да изчислите математическото очакване, трябва да добавите произведенията на квадрата на отклонението и вероятността.
По-лесна формула
Въпреки това, статията започна с факта, че законът за разпределение на първоначалната случайна променлива често е неизвестен. Значи е необходимо нещо по-леко. Всъщност има друга формула, която ви позволява да изчислите дисперсията на извадката, като използвате само подложката.чакам:
Дисперсия - разликата между постелката. очакване на квадрата на произволна променлива и, обратно, на квадрата на нейната подложка. чакам.
Има доказателство за това, но няма смисъл да го представям тук, тъй като няма практическа стойност (а трябва само да изчислим дисперсията).
Как да изчислим дисперсията на произволна променлива във вариационни серии
В реалната статистика е невъзможно да се отразят всички произволни променливи (защото, грубо казано, по правило има безкраен брой от тях). Следователно това, което влиза в изследването, е така наречената представителна извадка от някаква обща генерална съвкупност. И тъй като числените характеристики на всяка произволна променлива от такава обща съвкупност се изчисляват от извадката, те се наричат извадка: извадкова средна стойност, съответно, извадкова дисперсия. Можете да го изчислите по същия начин като обичайния (чрез квадратните отклонения).
Въпреки това, такава дисперсия се нарича предубедена. Формулата за безпристрастна дисперсия изглежда малко по-различно. Обикновено се изисква да се изчисли.
Малко допълнение
Още една цифрова характеристика е свързана с дисперсията. Той също така служи за оценка на това как произволната променлива се разпръсква около своята подложка. очаквания. Няма голяма разлика в начина на изчисляване на дисперсията и стандартното отклонение: последното е корен квадратен от първото.
